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6.如图，D是线段AB的中点，E是线段BC的中点，AE=10，CD=8，则线段DE的长为。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
首先根据线段中点的性质，中点会将对应线段分为长度相等的两部分，因此我们可以设AD=DB=x，BE=EC=y。接下来把已知的AE、CD分别用含x、y的式子表示，得到两个关系式，再观察所求线段DE的长度刚好是DB+BE=x+y，对得到的两个关系式做变形即可求出x+y的值，也就是DE的长度。
【解析】
设$AD=DB=x$，$BE=EC=y$，
∵ D是AB的中点，
∴ $AB=AD+DB=2x$，
∵ E是BC的中点，
∴ $BC=BE+EC=2y$，
由图可得：$AE = AB + BE = 2x + y = 10$ ①，
$CD = DB + BC = x + 2y = 8$ ②，
将①+②得：$3x + 3y = 18$，
等式两边同时除以3得：$x + y = 6$，
又
∵ $DE = DB + BE = x + y$，
∴ $DE = 6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；整体代入求值
【点评】
本题考查线段的相关计算，解题的关键是利用中点性质设未知数表示各段线段的长度，再结合已知条件找到所求线段和已知线段的关系，利用整体思想简化计算，无需单独求出每个未知数的值。
【难度系数】
0.7
首先根据线段中点的性质，中点会将对应线段分为长度相等的两部分，因此我们可以设AD=DB=x，BE=EC=y。接下来把已知的AE、CD分别用含x、y的式子表示，得到两个关系式，再观察所求线段DE的长度刚好是DB+BE=x+y，对得到的两个关系式做变形即可求出x+y的值，也就是DE的长度。
【解析】
设$AD=DB=x$，$BE=EC=y$，
∵ D是AB的中点，
∴ $AB=AD+DB=2x$，
∵ E是BC的中点，
∴ $BC=BE+EC=2y$，
由图可得：$AE = AB + BE = 2x + y = 10$ ①，
$CD = DB + BC = x + 2y = 8$ ②，
将①+②得：$3x + 3y = 18$，
等式两边同时除以3得：$x + y = 6$，
又
∵ $DE = DB + BE = x + y$，
∴ $DE = 6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算；整体代入求值
【点评】
本题考查线段的相关计算，解题的关键是利用中点性质设未知数表示各段线段的长度，再结合已知条件找到所求线段和已知线段的关系，利用整体思想简化计算，无需单独求出每个未知数的值。
【难度系数】
0.7
7.定义:如图,有公共端点B的两条线段BA,BC组成一条折线A－B－C,若该折线A－B－C上一点O把这条折线分成相等的两部分,我们把这个点O叫作这条折线的“折中点”.已知点Q是折线M－P－N的“折中点”,且点Q在NP上,K为线段MP的中点.若PQ=2PK=4,则线段NP的长为.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
首先明确“折中点”的核心性质：折中点将折线分成的两部分总长度相等。已知点Q在NP上，因此折线M-P-N被Q分成的两部分长度分别为MP+PQ和QN，二者相等。解题时先根据2PK=4求出PK的长度，再结合K是MP中点的条件求出MP的长度，随后利用折中点的等量关系求出QN的长度，最后通过线段和差计算得到NP的长度即可。
【解析】
1. 由$2PK=4$，计算得$PK = 4÷2=2$。
2. 因为K是线段MP的中点，根据线段中点的定义，$MP=2PK=2×2=4$。
3. 已知Q是折线M-P-N的“折中点”，且Q在NP上，因此折线被Q分成的两部分长度相等，即$MP + PQ = QN$。
代入已知$PQ=4$，$MP=4$，得$QN=4+4=8$。
4. 线段NP的长度为PQ与QN的和：$NP=PQ + QN=4+8=12$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
线段中点的定义，新定义理解，线段和差计算
【点评】
本题结合新定义考查线段的相关计算，解题的关键是准确理解“折中点”的含义，将新定义转化为线段长度的等量关系，再结合线段中点的性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
首先明确“折中点”的核心性质：折中点将折线分成的两部分总长度相等。已知点Q在NP上，因此折线M-P-N被Q分成的两部分长度分别为MP+PQ和QN，二者相等。解题时先根据2PK=4求出PK的长度，再结合K是MP中点的条件求出MP的长度，随后利用折中点的等量关系求出QN的长度，最后通过线段和差计算得到NP的长度即可。
【解析】
1. 由$2PK=4$，计算得$PK = 4÷2=2$。
2. 因为K是线段MP的中点，根据线段中点的定义，$MP=2PK=2×2=4$。
3. 已知Q是折线M-P-N的“折中点”，且Q在NP上，因此折线被Q分成的两部分长度相等，即$MP + PQ = QN$。
代入已知$PQ=4$，$MP=4$，得$QN=4+4=8$。
4. 线段NP的长度为PQ与QN的和：$NP=PQ + QN=4+8=12$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
线段中点的定义，新定义理解，线段和差计算
【点评】
本题结合新定义考查线段的相关计算，解题的关键是准确理解“折中点”的含义，将新定义转化为线段长度的等量关系，再结合线段中点的性质逐步推导计算即可。
【难度系数】
0.7
8.如图,线段$AB=1,A_1$是线段AB的中点,$A_2$是线段$A_1B$的中点,$A_3$是线段$A_2B$的中点……以此类推,$A_{n+1}$是线段$A_nB$的中点.
(1)线段$A_3B$的长为.
(2)线段$A_nB$的长为.
(3)求$AA_1+A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_6A_7$的值.
(1)线段$A_3B$的长为.
(2)线段$A_nB$的长为.
(3)求$AA_1+A_1A_2+A_2A_3+\dots+A_6A_7$的值.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{8}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2^n}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{127}{128}}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2^n}}$
(3) $\boldsymbol{\frac{127}{128}}$
解析
【分析】
本题是结合线段中点的规律探究题，解题思路如下：1. 依据线段中点定义，每次得到的新线段长度是前一段对应线段的$\frac{1}{2}$，逐步计算就能求出$A_3B$的长度；2. 列出前几段$A_nB$的长度，归纳共性可得到$A_nB$的通用表达式；3. 观察所求的线段和，可发现这些线段首尾相接，总和等于总线段$AB$减去最后一段$A_7B$的长度，结合前面得到的规律即可快速计算，无需逐个求和，简化运算过程。
【解析】
(1) 已知$AB=1$，
∵ $A_1$是$AB$的中点，
∴ $A_1B = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$，
∵ $A_2$是$A_1B$的中点，
∴ $A_2B = \frac{1}{2}A_1B = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
∵ $A_3$是$A_2B$的中点，
∴ $A_3B = \frac{1}{2}A_2B = \frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$。
(2) 由(1)的计算结果可得：
$A_1B = \frac{1}{2^1}$，$A_2B = \frac{1}{2^2}$，$A_3B = \frac{1}{2^3}$，……，
以此类推，可得$A_nB = \frac{1}{2^n}$。
(3) 观察线段和的结构可知：
$AA_1 + A_1A_2 + A_2A_3 + … + A_6A_7 = AB - A_7B$，
由(2)的规律得$A_7B = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$，
又$AB=1$，
∴ 原式 = $1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{8}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2^n}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{127}{128}}$
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；规律探究
【点评】
本题侧重考察线段的基本性质与归纳推理能力，解题的核心是先推导出线段$A_nB$的长度规律，计算多段线段和时运用整体思想可大幅简化运算，是线段规律类的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是结合线段中点的规律探究题，解题思路如下：1. 依据线段中点定义，每次得到的新线段长度是前一段对应线段的$\frac{1}{2}$，逐步计算就能求出$A_3B$的长度；2. 列出前几段$A_nB$的长度，归纳共性可得到$A_nB$的通用表达式；3. 观察所求的线段和，可发现这些线段首尾相接，总和等于总线段$AB$减去最后一段$A_7B$的长度，结合前面得到的规律即可快速计算，无需逐个求和，简化运算过程。
【解析】
(1) 已知$AB=1$，
∵ $A_1$是$AB$的中点，
∴ $A_1B = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$，
∵ $A_2$是$A_1B$的中点，
∴ $A_2B = \frac{1}{2}A_1B = \frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
∵ $A_3$是$A_2B$的中点，
∴ $A_3B = \frac{1}{2}A_2B = \frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$。
(2) 由(1)的计算结果可得：
$A_1B = \frac{1}{2^1}$，$A_2B = \frac{1}{2^2}$，$A_3B = \frac{1}{2^3}$，……，
以此类推，可得$A_nB = \frac{1}{2^n}$。
(3) 观察线段和的结构可知：
$AA_1 + A_1A_2 + A_2A_3 + … + A_6A_7 = AB - A_7B$，
由(2)的规律得$A_7B = \frac{1}{2^7} = \frac{1}{128}$，
又$AB=1$，
∴ 原式 = $1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{8}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2^n}}$；(3) $\boldsymbol{\frac{127}{128}}$
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；规律探究
【点评】
本题侧重考察线段的基本性质与归纳推理能力，解题的核心是先推导出线段$A_nB$的长度规律，计算多段线段和时运用整体思想可大幅简化运算，是线段规律类的典型题型。
【难度系数】
0.7
9.已知一副直角三角尺按如图所示的方式放置，其中$∠ COD=60°$，$∠ AOB=45°$，经测量$∠ BOC=80°$，则$∠ AOD$的度数为（）
A.$20°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
A.$20°$
B.$25°$
C.$35°$
D.$45°$
答案
B
解析
【分析】
拿到题目先观察图形特征：所有角的顶点都为点O，我们需要结合已知角的度数，通过角的和差关系推导未知角∠AOD的度数。首先可以先求出∠BOD的度数：∠BOC由∠BOD和∠COD组成，用∠BOC减去∠COD即可得到∠BOD；接下来∠AOB由∠BOD和∠AOD组成，用∠AOB减去已经求出的∠BOD，就能得到∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ $∠ BOC=80°$，$∠ COD=60°$，
∴ $∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=80°-60°=20°$，
又
∵ $∠ AOB=45°$，
∴ $∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=45°-20°=25°$。
【答案】
B
【知识点】
角的和差计算
【点评】
本题重点考查角度的和差运算，解题核心是结合图形理清各个角之间的位置和数量关系，属于基础类题型，认真观察图形就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
拿到题目先观察图形特征：所有角的顶点都为点O，我们需要结合已知角的度数，通过角的和差关系推导未知角∠AOD的度数。首先可以先求出∠BOD的度数：∠BOC由∠BOD和∠COD组成，用∠BOC减去∠COD即可得到∠BOD；接下来∠AOB由∠BOD和∠AOD组成，用∠AOB减去已经求出的∠BOD，就能得到∠AOD的度数。
【解析】
解：
∵ $∠ BOC=80°$，$∠ COD=60°$，
∴ $∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=80°-60°=20°$，
又
∵ $∠ AOB=45°$，
∴ $∠ AOD=∠ AOB-∠ BOD=45°-20°=25°$。
【答案】
B
【知识点】
角的和差计算
【点评】
本题重点考查角度的和差运算，解题核心是结合图形理清各个角之间的位置和数量关系，属于基础类题型，认真观察图形就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
10.钟表在8:25时,时针与分针的夹角的度数是（）
A.$101.5°$
B.$102.5°$
C.$120°$
D.$125°$
A.$101.5°$
B.$102.5°$
C.$120°$
D.$125°$
答案
B
解析
【分析】
要计算钟表8:25时的时针与分针夹角，首先需明确钟面的角度规律：整个钟面为360°周角，被平均分成12个大格，每大格对应30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°。解题时可分别计算该时刻时针、分针相对于12点位置的总转过角度，再求两个角度的差值，即为所求夹角度数，注意不要忽略时针会随分钟流逝缓慢移动。
【解析】
步骤1：计算基础转动角度：
钟面一周为360°，共12个大格，因此每个大格的度数为 $ 360° ÷ 12 = 30° $；
分针60分钟转一周，因此分针每分钟转动度数为 $ 360° ÷ 60 = 6° $；
时针12小时转一周，12小时=720分钟，因此时针每分钟转动度数为 $ 360° ÷ 720 = 0.5° $。
步骤2：计算8:25时分针的总转过角度：
25分钟时分针转过的角度为 $ 25 × 6° = 150° $。
步骤3：计算8:25时时针的总转过角度：
8小时对应的角度为 $ 8 × 30° = 240° $，25分钟内时针额外转动的角度为 $ 25 × 0.5° = 12.5° $，因此时针总转过角度为 $ 240° + 12.5° = 252.5° $。
步骤4：计算夹角：
时针与分针的夹角为两个角度的差，即 $ 252.5° - 150° = 102.5° $。
【答案】
B
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟面角的常规考法，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，特别注意不要遗漏时针随分钟的移动，避免直接按整点位置计算夹角导致出错。
【难度系数】
0.7
要计算钟表8:25时的时针与分针夹角，首先需明确钟面的角度规律：整个钟面为360°周角，被平均分成12个大格，每大格对应30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°。解题时可分别计算该时刻时针、分针相对于12点位置的总转过角度，再求两个角度的差值，即为所求夹角度数，注意不要忽略时针会随分钟流逝缓慢移动。
【解析】
步骤1：计算基础转动角度：
钟面一周为360°，共12个大格，因此每个大格的度数为 $ 360° ÷ 12 = 30° $；
分针60分钟转一周，因此分针每分钟转动度数为 $ 360° ÷ 60 = 6° $；
时针12小时转一周，12小时=720分钟，因此时针每分钟转动度数为 $ 360° ÷ 720 = 0.5° $。
步骤2：计算8:25时分针的总转过角度：
25分钟时分针转过的角度为 $ 25 × 6° = 150° $。
步骤3：计算8:25时时针的总转过角度：
8小时对应的角度为 $ 8 × 30° = 240° $，25分钟内时针额外转动的角度为 $ 25 × 0.5° = 12.5° $，因此时针总转过角度为 $ 240° + 12.5° = 252.5° $。
步骤4：计算夹角：
时针与分针的夹角为两个角度的差，即 $ 252.5° - 150° = 102.5° $。
【答案】
B
【知识点】
钟面角计算、角的和差运算
【点评】
本题是钟面角的常规考法，解题核心是准确掌握时针、分针的转动速度，特别注意不要遗漏时针随分钟的移动，避免直接按整点位置计算夹角导致出错。
【难度系数】
0.7
11. 如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则$∠1$，$∠2$，$∠3$三个角的数量关系为 （）
A.$∠1+∠2+∠3=90°$
B.$∠1+∠2-∠3=90°$
C.$∠1-∠2+∠3=90°$
D.$∠1+2∠2-∠3=90°$
A.$∠1+∠2+∠3=90°$
B.$∠1+∠2-∠3=90°$
C.$∠1-∠2+∠3=90°$
D.$∠1+2∠2-∠3=90°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先明确正方形的每个内角都是90°，我们可以通过设∠1和∠3之间的夹角为∠4，∠2和∠3之间的夹角为∠5，利用三个正方形在公共顶点处的直角分别写出角的和为90°的等式，再通过代入消去中间的∠4和∠5，即可得到∠1、∠2、∠3的数量关系。
【解析】
设∠1与∠3的夹角为∠4，∠2与∠3的夹角为∠5。
∵正方形的内角均为90°，
∴可得：
$\begin{cases}∠1+∠4+∠3=90°\quad①\\∠4+∠3+∠5=90°\quad②\\∠2+∠5+∠3=90°\quad③\end{cases}$
将①+③得：$∠1+∠2+∠4+∠5+2∠3=180°$ ④
由②变形得：$∠4+∠5=90°-∠3$，将其代入④：
$∠1+∠2+(90°-∠3)+2∠3=180°$
化简后可得：$∠1+∠2+∠3=90°$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；角的和差计算
【点评】
本题解题的核心是利用正方形内角为直角的性质，通过增设中间未知角作为过渡，消去无关量后即可得到所求角的数量关系，解题时要注意观察图形中各角的位置关联。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确正方形的每个内角都是90°，我们可以通过设∠1和∠3之间的夹角为∠4，∠2和∠3之间的夹角为∠5，利用三个正方形在公共顶点处的直角分别写出角的和为90°的等式，再通过代入消去中间的∠4和∠5，即可得到∠1、∠2、∠3的数量关系。
【解析】
设∠1与∠3的夹角为∠4，∠2与∠3的夹角为∠5。
∵正方形的内角均为90°，
∴可得：
$\begin{cases}∠1+∠4+∠3=90°\quad①\\∠4+∠3+∠5=90°\quad②\\∠2+∠5+∠3=90°\quad③\end{cases}$
将①+③得：$∠1+∠2+∠4+∠5+2∠3=180°$ ④
由②变形得：$∠4+∠5=90°-∠3$，将其代入④：
$∠1+∠2+(90°-∠3)+2∠3=180°$
化简后可得：$∠1+∠2+∠3=90°$
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；角的和差计算
【点评】
本题解题的核心是利用正方形内角为直角的性质，通过增设中间未知角作为过渡，消去无关量后即可得到所求角的数量关系，解题时要注意观察图形中各角的位置关联。
【难度系数】
0.7
12. 上周末，小聪和小颖一起去参观了二七纪念塔.
如图，小聪家(点A)位于二七纪念塔(点O)北偏东$58°30'$方向，小颖家(点B)位于二七纪念塔南偏东$22°30'$方向，则图中$∠ AOB=$.
如图，小聪家(点A)位于二七纪念塔(点O)北偏东$58°30'$方向，小颖家(点B)位于二七纪念塔南偏东$22°30'$方向，则图中$∠ AOB=$.
答案
$\boldsymbol{99°}$
解析
【分析】
首先明确过观测点O的正北、正南方向在同一条直线上，二者构成的平角为180°。要求∠AOB的度数，只需用平角的总度数，减去小聪家方向与正北方向的夹角，再减去小颖家方向与正南方向的夹角即可，计算时注意度和分的换算为60进制。
【解析】
由方向标识可知，过点O的南北方向线构成平角，角度为180°。
已知小聪家在O点北偏东$58°30'$方向，小颖家在O点南偏东$22°30'$方向，因此：
$\begin{aligned}∠AOB&=180°-58°30'-22°30'\\&=180°-(58°30'+22°30')\\&=180°-81°\\&=99°\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{99°}$
【知识点】
方向角的认识、角度的运算、平角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查方向角相关的角度计算，解题核心是明确南北方向形成平角，再进行角度加减即可，计算时注意度分的60进制规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
首先明确过观测点O的正北、正南方向在同一条直线上，二者构成的平角为180°。要求∠AOB的度数，只需用平角的总度数，减去小聪家方向与正北方向的夹角，再减去小颖家方向与正南方向的夹角即可，计算时注意度和分的换算为60进制。
【解析】
由方向标识可知，过点O的南北方向线构成平角，角度为180°。
已知小聪家在O点北偏东$58°30'$方向，小颖家在O点南偏东$22°30'$方向，因此：
$\begin{aligned}∠AOB&=180°-58°30'-22°30'\\&=180°-(58°30'+22°30')\\&=180°-81°\\&=99°\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{99°}$
【知识点】
方向角的认识、角度的运算、平角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查方向角相关的角度计算，解题核心是明确南北方向形成平角，再进行角度加减即可，计算时注意度分的60进制规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
13.某校为了缓解上午放学餐厅拥挤，同时给学生们营造轻松的就餐环境，特实施分年级错时放学，七年级上午11:35放学，此时钟表上时针与分针的夹角是。
答案
$\boldsymbol{137.5°}$
解析
【分析】
要解决钟表时针与分针的夹角问题，首先要明确钟表的基本特征：整个表盘是360°的周角，被平均分成12个大格，每大格对应30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°。解题时先分别计算11:35时，时针、分针各自相对于12点方向的角度，再求两个角度的差（取小于180°的绝对值即为所求夹角），注意不要忽略时针会随分钟流逝向后续整点偏移。
【解析】
1. 先确定指针转动的基础角度：
表盘总角度为360°，共12个大格，因此每个大格角度为 $ 360° ÷ 12 = 30° $；
分针每分钟转：$ 360° ÷ 60 = 6° $；
时针每分钟转：$ 30° ÷ 60 = 0.5° $。
2. 计算11:35时分针的角度：
35分钟时，分针相对于12点的角度为 $ 35 × 6° = 210° $。
3. 计算11:35时时针的角度：
11点整时，时针相对于12点的角度为 $ 11 × 30° = 330° $；
经过35分钟，时针额外转动的角度为 $ 35 × 0.5° = 17.5° $；
因此11:35时，时针总角度为 $ 330° + 17.5° = 347.5° $。
4. 计算两针夹角：
两针的角度差为 $ |347.5° - 210°| = 137.5° $，该值小于180°，即为所求夹角。
【答案】
$\boldsymbol{137.5°}$
【知识点】
钟表夹角计算；角的度量
【点评】
本题是钟表角度计算的典型题型，解题的核心是明确时针、分针的转动速度，易错点是忽略时针会随分钟增加发生偏移，直接按整点时的时针位置数大格计算，导致结果偏小。
【难度系数】
0.6
要解决钟表时针与分针的夹角问题，首先要明确钟表的基本特征：整个表盘是360°的周角，被平均分成12个大格，每大格对应30°；分针每分钟转动6°，时针每分钟转动0.5°。解题时先分别计算11:35时，时针、分针各自相对于12点方向的角度，再求两个角度的差（取小于180°的绝对值即为所求夹角），注意不要忽略时针会随分钟流逝向后续整点偏移。
【解析】
1. 先确定指针转动的基础角度：
表盘总角度为360°，共12个大格，因此每个大格角度为 $ 360° ÷ 12 = 30° $；
分针每分钟转：$ 360° ÷ 60 = 6° $；
时针每分钟转：$ 30° ÷ 60 = 0.5° $。
2. 计算11:35时分针的角度：
35分钟时，分针相对于12点的角度为 $ 35 × 6° = 210° $。
3. 计算11:35时时针的角度：
11点整时，时针相对于12点的角度为 $ 11 × 30° = 330° $；
经过35分钟，时针额外转动的角度为 $ 35 × 0.5° = 17.5° $；
因此11:35时，时针总角度为 $ 330° + 17.5° = 347.5° $。
4. 计算两针夹角：
两针的角度差为 $ |347.5° - 210°| = 137.5° $，该值小于180°，即为所求夹角。
【答案】
$\boldsymbol{137.5°}$
【知识点】
钟表夹角计算；角的度量
【点评】
本题是钟表角度计算的典型题型，解题的核心是明确时针、分针的转动速度，易错点是忽略时针会随分钟增加发生偏移，直接按整点时的时针位置数大格计算，导致结果偏小。
【难度系数】
0.6
14.如图,点A,B,C,O分别表示小亮家、小明家、小华家、学校的位置.点A位于点O的北偏西$65°$方向上,点B位于点O的北偏东$25°$方向上.
(1)求$∠ AOB$的度数.
(2)若$∠ BOC=125°$,直接写出小华家C相对学校的方向.
(1)求$∠ AOB$的度数.
(2)若$∠ BOC=125°$,直接写出小华家C相对学校的方向.
答案
解：
(1) 由题意得，正北方向线与OA的夹角为65°，正北方向线与OB的夹角为25°，
因此∠AOB = 65° + 25° = 90°。
(2) 小华家C相对学校的方向为南偏东30°方向。
(1) 由题意得，正北方向线与OA的夹角为65°，正北方向线与OB的夹角为25°，
因此∠AOB = 65° + 25° = 90°。
(2) 小华家C相对学校的方向为南偏东30°方向。
解析
【分析】
(1) 求解∠AOB的度数首先要明确方位角的含义：北偏西65°是指OA与正北方向线向西的夹角为65°，北偏东25°是指OB与正北方向线向东的夹角为25°，两个夹角分别在正北方向线两侧，因此直接将两个角度相加即可得到∠AOB的度数。
(2) 要确定小华家C相对学校的方向，需要先计算OC与基准方向（正南、正东等）的夹角。已知∠BOC=125°，结合正北、正南方向线共线形成180°平角，先算出OB与正南方向线的夹角，再用该夹角减去∠BOC的度数，就能得到OC与正南方向线的向东夹角，最终确定C的方位。
【解析】
(1) 根据方位角的定义：
OA与正北方向的向西夹角为65°，OB与正北方向的向东夹角为25°，两个角分布在正北方向线两侧，因此
$∠ AOB=65°+25°=90°$
(2) 正北方向线与正南方向线的夹角为$180°$，已知OB与正北方向夹角为25°，因此OB与正南方向线的夹角为$180°-25°=155°$。
又已知$∠ BOC=125°$，因此OC与正南方向线的向东夹角为$155°-125°=30°$，即小华家C在学校的南偏东30°方向。
【答案】
(1) $∠ AOB=90°$
(2) 小华家C相对学校的方向为南偏东$30°$方向
【知识点】
方位角的认识，角的和差计算
【点评】
本题属于方位角的基础应用题型，解题的关键是准确理解方位角的定义，理清各方向线之间的角度关系，结合角的和差运算即可快速求解，熟练掌握方位角的表示规则是解决这类生活中方向类问题的基础。
【难度系数】
0.8
(1) 求解∠AOB的度数首先要明确方位角的含义：北偏西65°是指OA与正北方向线向西的夹角为65°，北偏东25°是指OB与正北方向线向东的夹角为25°，两个夹角分别在正北方向线两侧，因此直接将两个角度相加即可得到∠AOB的度数。
(2) 要确定小华家C相对学校的方向，需要先计算OC与基准方向（正南、正东等）的夹角。已知∠BOC=125°，结合正北、正南方向线共线形成180°平角，先算出OB与正南方向线的夹角，再用该夹角减去∠BOC的度数，就能得到OC与正南方向线的向东夹角，最终确定C的方位。
【解析】
(1) 根据方位角的定义：
OA与正北方向的向西夹角为65°，OB与正北方向的向东夹角为25°，两个角分布在正北方向线两侧，因此
$∠ AOB=65°+25°=90°$
(2) 正北方向线与正南方向线的夹角为$180°$，已知OB与正北方向夹角为25°，因此OB与正南方向线的夹角为$180°-25°=155°$。
又已知$∠ BOC=125°$，因此OC与正南方向线的向东夹角为$155°-125°=30°$，即小华家C在学校的南偏东30°方向。
【答案】
(1) $∠ AOB=90°$
(2) 小华家C相对学校的方向为南偏东$30°$方向
【知识点】
方位角的认识，角的和差计算
【点评】
本题属于方位角的基础应用题型，解题的关键是准确理解方位角的定义，理清各方向线之间的角度关系，结合角的和差运算即可快速求解，熟练掌握方位角的表示规则是解决这类生活中方向类问题的基础。
【难度系数】
0.8
