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15. 如图，$∠ AOB$与$∠ COD$都是直角.
(1)若$∠ BOC=113°$,求$∠ AOD$的度数.
(2)以$OD$为一边,作$∠ DOE=∠ DOB$,且$OE$与$OB$不重合.(要求:尺规作图,保留作图痕迹)
(3)在(2)的条件下,如果$∠ AOD$的度数比$∠ BOD$度数的$3$倍还多$10°$,那么$∠ AOE$的度数为________.
(1)若$∠ BOC=113°$,求$∠ AOD$的度数.
(2)以$OD$为一边,作$∠ DOE=∠ DOB$,且$OE$与$OB$不重合.(要求:尺规作图,保留作图痕迹)
(3)在(2)的条件下,如果$∠ AOD$的度数比$∠ BOD$度数的$3$倍还多$10°$,那么$∠ AOE$的度数为________.
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
本题围绕角的性质、作图及计算展开，解题思路如下：(1)利用直角为90°的性质，先通过∠BOC与∠AOB的差求出∠AOC，再用∠COD的度数减去∠AOC即可得到∠AOD；(2)按照尺规作一个角等于已知角的步骤作图即可；(3)先根据∠AOB是直角得到∠AOD与∠BOD的和为90°，结合题干给出的两个角的数量关系列方程求出∠BOD的度数，再根据∠DOE=∠BOD，利用角的和差关系计算∠AOE的度数。
【解析】
(1) 解：
∵∠AOB为直角，
∴∠AOB=90°，
∵∠BOC=113°，
∴∠AOC=∠BOC - ∠AOB=113°-90°=23°，
又
∵∠COD为直角，
∴∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COD - ∠AOC=90°-23°=67°。
(2) 尺规作图步骤：①以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OB、OD于点P、Q；②以Q为圆心，PQ长为半径画弧，在∠AOD内部与前弧交于点E；③作射线OE，∠DOE即为所求，保留作图痕迹即可。
(3) 解：设∠BOD的度数为x，则∠AOD的度数为3x+10°，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOD + ∠BOD = 90°，
代入得：3x+10° + x = 90°，
解得x=20°，即∠BOD=20°，
∵∠DOE=∠BOD，
∴∠DOE=20°，
又
∵∠AOD=90°-20°=70°，
∴∠AOE=∠AOD - ∠DOE=70°-20°=50°。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
直角的性质；角的和差计算；尺规作相等角
【点评】
本题综合考查了角度计算、尺规作图和方程思想的应用，解题的关键是准确梳理各角之间的数量关系，规范作图，细心计算。
【难度系数】
0.7
本题围绕角的性质、作图及计算展开，解题思路如下：(1)利用直角为90°的性质，先通过∠BOC与∠AOB的差求出∠AOC，再用∠COD的度数减去∠AOC即可得到∠AOD；(2)按照尺规作一个角等于已知角的步骤作图即可；(3)先根据∠AOB是直角得到∠AOD与∠BOD的和为90°，结合题干给出的两个角的数量关系列方程求出∠BOD的度数，再根据∠DOE=∠BOD，利用角的和差关系计算∠AOE的度数。
【解析】
(1) 解：
∵∠AOB为直角，
∴∠AOB=90°，
∵∠BOC=113°，
∴∠AOC=∠BOC - ∠AOB=113°-90°=23°，
又
∵∠COD为直角，
∴∠COD=90°，
∴∠AOD=∠COD - ∠AOC=90°-23°=67°。
(2) 尺规作图步骤：①以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OB、OD于点P、Q；②以Q为圆心，PQ长为半径画弧，在∠AOD内部与前弧交于点E；③作射线OE，∠DOE即为所求，保留作图痕迹即可。
(3) 解：设∠BOD的度数为x，则∠AOD的度数为3x+10°，
∵∠AOB是直角，
∴∠AOD + ∠BOD = 90°，
代入得：3x+10° + x = 90°，
解得x=20°，即∠BOD=20°，
∵∠DOE=∠BOD，
∴∠DOE=20°，
又
∵∠AOD=90°-20°=70°，
∴∠AOE=∠AOD - ∠DOE=70°-20°=50°。
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
直角的性质；角的和差计算；尺规作相等角
【点评】
本题综合考查了角度计算、尺规作图和方程思想的应用，解题的关键是准确梳理各角之间的数量关系，规范作图，细心计算。
【难度系数】
0.7
16.将一个半径为2的圆分成八个完全相同的小扇形，则每个小扇形的圆心角为°,面积为(结果保留π).
答案
解：
整个圆的圆心角为$360°$，分成8个完全相同的小扇形，
每个小扇形的圆心角为：$360° ÷ 8 = 45°$。
半径为2的圆的总面积为：$π × 2^2 = 4π$，
每个小扇形的面积为：$4π ÷ 8 = \frac{π}{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{45}$；$\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
整个圆的圆心角为$360°$，分成8个完全相同的小扇形，
每个小扇形的圆心角为：$360° ÷ 8 = 45°$。
半径为2的圆的总面积为：$π × 2^2 = 4π$，
每个小扇形的面积为：$4π ÷ 8 = \frac{π}{2}$。
答案依次为：$\boldsymbol{45}$；$\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
解析
【分析】
解题时先明确圆的基本性质：整个圆的圆心角为周角360°，圆的面积公式为$S=π r^2$。由于8个小扇形完全相同，因此每个小扇形的圆心角是将360°平均分成8份求每份的度数，每个小扇形的面积是将整个圆的面积平均分成8份求每份的大小，均用除法计算即可。
【解析】
1. 计算小扇形的圆心角：
整个圆的圆心角为$360°$，平均分成8个完全相同的小扇形，
每个小扇形的圆心角为：$360° ÷ 8 = 45°$。
2. 计算小扇形的面积：
先求半径为2的圆的总面积：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π × 2^2=4π$，
每个小扇形的面积为：$4π ÷ 8 = \frac{π}{2}$。
【答案】
$45$；$\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
【知识点】
周角的度数，圆的面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查对圆和扇形性质的理解，掌握圆的圆心角数值、面积计算公式，结合平均分的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先明确圆的基本性质：整个圆的圆心角为周角360°，圆的面积公式为$S=π r^2$。由于8个小扇形完全相同，因此每个小扇形的圆心角是将360°平均分成8份求每份的度数，每个小扇形的面积是将整个圆的面积平均分成8份求每份的大小，均用除法计算即可。
【解析】
1. 计算小扇形的圆心角：
整个圆的圆心角为$360°$，平均分成8个完全相同的小扇形，
每个小扇形的圆心角为：$360° ÷ 8 = 45°$。
2. 计算小扇形的面积：
先求半径为2的圆的总面积：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π × 2^2=4π$，
每个小扇形的面积为：$4π ÷ 8 = \frac{π}{2}$。
【答案】
$45$；$\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
【知识点】
周角的度数，圆的面积计算，扇形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，考查对圆和扇形性质的理解，掌握圆的圆心角数值、面积计算公式，结合平均分的思路即可快速求解。
【难度系数】
0.9
17.若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为 （）
A.14 或 15
B.13 或 14
C.13 或 14 或 15
D.14 或 15 或 16
A.14 或 15
B.13 或 14
C.13 或 14 或 15
D.14 或 15 或 16
答案
C
解析
【分析】
解决本题需要先明确多边形截去一个角时，截线位置不同，截后多边形的边数变化规律不同，需分三类情况讨论：①截线不经过任何顶点；②截线经过1个顶点；③截线经过2个相邻顶点，再结合截后是十四边形反推原多边形的边数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论多边形截去一个角的边数变化：
1. 若截线不经过原多边形的任何顶点，截去一个角后，新多边形的边数比原多边形多1。已知截后为十四边形，则原多边形边数为$14-1=13$；
2. 若截线经过原多边形的1个顶点，截去一个角后，新多边形的边数与原多边形相等，则原多边形边数为$14$；
3. 若截线经过原多边形的2个相邻顶点，截去一个角后，新多边形的边数比原多边形少1，则原多边形边数为$14+1=15$。
综上，原来的多边形的边数可能为13、14或15，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略截角的不同情况，只考虑1到2种边数变化导致漏解，解题时要全面考虑截线的位置，分类讨论才能得出所有可能的结果。
【难度系数】
0.7
解决本题需要先明确多边形截去一个角时，截线位置不同，截后多边形的边数变化规律不同，需分三类情况讨论：①截线不经过任何顶点；②截线经过1个顶点；③截线经过2个相邻顶点，再结合截后是十四边形反推原多边形的边数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论多边形截去一个角的边数变化：
1. 若截线不经过原多边形的任何顶点，截去一个角后，新多边形的边数比原多边形多1。已知截后为十四边形，则原多边形边数为$14-1=13$；
2. 若截线经过原多边形的1个顶点，截去一个角后，新多边形的边数与原多边形相等，则原多边形边数为$14$；
3. 若截线经过原多边形的2个相邻顶点，截去一个角后，新多边形的边数比原多边形少1，则原多边形边数为$14+1=15$。
综上，原来的多边形的边数可能为13、14或15，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略截角的不同情况，只考虑1到2种边数变化导致漏解，解题时要全面考虑截线的位置，分类讨论才能得出所有可能的结果。
【难度系数】
0.7
18. 综合与实践
【特例感知】
(1)如图1，已知线段$AB=14\ \mathrm{cm}$，点$C$为线段$AB$上的一个动点，点$D,E$分别是线段$AC$和$BC$的中点。
①若$AC=4\ \mathrm{cm}$，则线段$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
②若$AC=a\ \mathrm{cm}(a＜14)$，则线段$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
【知识迁移】
(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若$∠ AOB=120°$，$OC$是$∠ AOB$内部的一条射线，射线$OM$平分$∠ AOC$，射线$ON$平分$∠ BOC$，求$∠ MON$的度数。
【拓展探究】
(3)已知$∠ COD$在$∠ AOB$内部的位置如图3所示，$∠ AOB=∠ α(∠ α＜180°)$，$∠ COD=30°$，且$∠ DOM=2∠ AOM$，$∠ CON=2∠ BON$，请直接写出$∠ MON=$
【特例感知】
(1)如图1，已知线段$AB=14\ \mathrm{cm}$，点$C$为线段$AB$上的一个动点，点$D,E$分别是线段$AC$和$BC$的中点。
①若$AC=4\ \mathrm{cm}$，则线段$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
②若$AC=a\ \mathrm{cm}(a＜14)$，则线段$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$。
【知识迁移】
(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若$∠ AOB=120°$，$OC$是$∠ AOB$内部的一条射线，射线$OM$平分$∠ AOC$，射线$ON$平分$∠ BOC$，求$∠ MON$的度数。
【拓展探究】
(3)已知$∠ COD$在$∠ AOB$内部的位置如图3所示，$∠ AOB=∠ α(∠ α＜180°)$，$∠ COD=30°$，且$∠ DOM=2∠ AOM$，$∠ CON=2∠ BON$，请直接写出$∠ MON=$
$\frac{2}{3}∠α +10°$
(用含$α$的代数式表示)。答案
(1)①7 ②7
(2)
∵OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC,
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC.
∵∠AOB=120°,
∴∠MON=∠CON+∠COM=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°.
(3)$\frac{2}{3}∠α +10°$
(2)
∵OC是∠AOB内部的一条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC,
∴∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC.
∵∠AOB=120°,
∴∠MON=∠CON+∠COM=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠AOC)=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°.
(3)$\frac{2}{3}∠α +10°$
解析
【分析】
(1) 利用线段中点的性质求解：点D、E分别是AC、BC的中点，因此$DC=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，$DE=DC+CE$，推导可发现$DE$恒等于$AB$长度的一半，与$AC$的长度无关。
(2) 类比线段中点的规律，利用角平分线的性质求解：$OM$、$ON$分别平分$∠AOC$、$∠BOC$，因此$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC$，$∠MON=∠COM+∠CON$，提取公因式后可转化为$\frac{1}{2}∠AOB$，代入角度计算即可。
(3) 先根据三等分角的关系得到$∠AOM=\frac{1}{3}∠AOD$、$∠BON=\frac{1}{3}∠BOC$，再将$∠MON$表示为$∠AOB$减去$∠AOM$和$∠BON$，结合$∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠COD$，代入化简即可得到结果。
【解析】
(1) ①已知$AB=14\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，则$BC=AB-AC=10\ \mathrm{cm}$。
∵点$D$是$AC$中点，点$E$是$BC$中点，
∴$DC=\frac{1}{2}AC=2\ \mathrm{cm}$，$CE=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=DC+CE=2+5=7\ \mathrm{cm}$。
②若$AC=a\ \mathrm{cm}(a＜14)$，则$BC=(14-a)\ \mathrm{cm}$，
同理可得$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{14-a}{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=\frac{a}{2}+\frac{14-a}{2}=\frac{14}{2}=7\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵$OC$是$∠AOB$内部的射线，射线$OM$平分$∠AOC$，射线$ON$平分$∠BOC$，
∴$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC$，
∴$∠MON=∠COM+∠CON=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)$，
又
∵$∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°$，
∴$∠MON=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(3)
∵$∠DOM=2∠AOM$，
∴$∠AOM=\frac{1}{3}∠AOD$，
∵$∠CON=2∠BON$，
∴$∠BON=\frac{1}{3}∠BOC$，
∵$∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠COD=∠α-30°$，
∴$∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=∠α-\frac{1}{3}∠AOD-\frac{1}{3}∠BOC$
$=∠α-\frac{1}{3}(∠AOD+∠BOC)=∠α-\frac{1}{3}(∠α-30°)=\frac{2}{3}∠α+10°$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{7}$；②$\boldsymbol{7}$
(2)$∠MON$的度数为$\boldsymbol{60°}$
(3)$\boldsymbol{\frac{2}{3}∠α +10°}$
【知识点】
线段中点的性质；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题从线段中点的规律迁移到角平分线的规律，再拓展到三等分角的计算，体现了类比思想和整体代入思想的应用，解题的关键是熟练掌握线段和角的和差关系，灵活运用中点、角平分线的性质化简计算。
【难度系数】
0.6
(1) 利用线段中点的性质求解：点D、E分别是AC、BC的中点，因此$DC=\frac{1}{2}AC$，$CE=\frac{1}{2}BC$，$DE=DC+CE$，推导可发现$DE$恒等于$AB$长度的一半，与$AC$的长度无关。
(2) 类比线段中点的规律，利用角平分线的性质求解：$OM$、$ON$分别平分$∠AOC$、$∠BOC$，因此$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC$，$∠MON=∠COM+∠CON$，提取公因式后可转化为$\frac{1}{2}∠AOB$，代入角度计算即可。
(3) 先根据三等分角的关系得到$∠AOM=\frac{1}{3}∠AOD$、$∠BON=\frac{1}{3}∠BOC$，再将$∠MON$表示为$∠AOB$减去$∠AOM$和$∠BON$，结合$∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠COD$，代入化简即可得到结果。
【解析】
(1) ①已知$AB=14\ \mathrm{cm}$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，则$BC=AB-AC=10\ \mathrm{cm}$。
∵点$D$是$AC$中点，点$E$是$BC$中点，
∴$DC=\frac{1}{2}AC=2\ \mathrm{cm}$，$CE=\frac{1}{2}BC=5\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=DC+CE=2+5=7\ \mathrm{cm}$。
②若$AC=a\ \mathrm{cm}(a＜14)$，则$BC=(14-a)\ \mathrm{cm}$，
同理可得$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}\ \mathrm{cm}$，$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{14-a}{2}\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=\frac{a}{2}+\frac{14-a}{2}=\frac{14}{2}=7\ \mathrm{cm}$。
(2)
∵$OC$是$∠AOB$内部的射线，射线$OM$平分$∠AOC$，射线$ON$平分$∠BOC$，
∴$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC$，$∠CON=\frac{1}{2}∠BOC$，
∴$∠MON=∠COM+∠CON=\frac{1}{2}∠AOC+\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOC)$，
又
∵$∠AOC+∠BOC=∠AOB=120°$，
∴$∠MON=\frac{1}{2}×120°=60°$。
(3)
∵$∠DOM=2∠AOM$，
∴$∠AOM=\frac{1}{3}∠AOD$，
∵$∠CON=2∠BON$，
∴$∠BON=\frac{1}{3}∠BOC$，
∵$∠AOD+∠BOC=∠AOB-∠COD=∠α-30°$，
∴$∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BON=∠α-\frac{1}{3}∠AOD-\frac{1}{3}∠BOC$
$=∠α-\frac{1}{3}(∠AOD+∠BOC)=∠α-\frac{1}{3}(∠α-30°)=\frac{2}{3}∠α+10°$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{7}$；②$\boldsymbol{7}$
(2)$∠MON$的度数为$\boldsymbol{60°}$
(3)$\boldsymbol{\frac{2}{3}∠α +10°}$
【知识点】
线段中点的性质；角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题从线段中点的规律迁移到角平分线的规律，再拓展到三等分角的计算，体现了类比思想和整体代入思想的应用，解题的关键是熟练掌握线段和角的和差关系，灵活运用中点、角平分线的性质化简计算。
【难度系数】
0.6
