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1.如图,从电线杆离地面6米处向地面拉一条10米长的钢缆,地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离AB是 （
A.6米
B.7米
C.8米
D.9米
C
）A.6米
B.7米
C.8米
D.9米
答案
1.C
解析
【分析】
首先观察图形可知电线杆与地面垂直，因此钢缆顶端、电线杆底部B、地面固定点A三点构成直角三角形，且∠B为直角。题目已知直角边BC（电线杆离地面高度）为6米，斜边AC（钢缆长度）为10米，要求另一条直角边AB的长度，我们可直接利用勾股定理，代入已知边长计算求解。
【解析】
解：
∵电线杆垂直于地面，
∴∠B=90°，即△ABC为直角三角形。
由题意得：BC=6米，AC=10米，
根据勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
变形可得：$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}$，
代入数值计算：$AB = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$（米）。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题关键是将实际场景转化为直角三角形的数学模型，再结合勾股定理计算边长，主要考查对基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察图形可知电线杆与地面垂直，因此钢缆顶端、电线杆底部B、地面固定点A三点构成直角三角形，且∠B为直角。题目已知直角边BC（电线杆离地面高度）为6米，斜边AC（钢缆长度）为10米，要求另一条直角边AB的长度，我们可直接利用勾股定理，代入已知边长计算求解。
【解析】
解：
∵电线杆垂直于地面，
∴∠B=90°，即△ABC为直角三角形。
由题意得：BC=6米，AC=10米，
根据勾股定理：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
变形可得：$AB = \sqrt{AC^2 - BC^2}$，
代入数值计算：$AB = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$（米）。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的基础应用题，解题关键是将实际场景转化为直角三角形的数学模型，再结合勾股定理计算边长，主要考查对基础公式的运用能力。
【难度系数】
0.8
2.如图，长方形阴影部分的面积是 （
A.$16\ \mathrm{cm}^2$
B.$17\ \mathrm{cm}^2$
C.$30\ \mathrm{cm}^2$
D.$34\ \mathrm{cm}^2$
D
）A.$16\ \mathrm{cm}^2$
B.$17\ \mathrm{cm}^2$
C.$30\ \mathrm{cm}^2$
D.$34\ \mathrm{cm}^2$
答案
2.D
解析
【分析】
要计算阴影长方形的面积，已知长方形的宽为2cm，只需先求出长方形的长。观察图形可得，长方形的长与左侧直角三角形的斜边长度相等，因此可先通过勾股定理求出直角三角形的斜边长，再代入长方形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：计算直角三角形的斜边长：
已知直角三角形的两条直角边长分别为8cm、15cm，根据勾股定理，斜边长度为：
$\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{cm}$
即阴影长方形的长为17cm。
第二步：计算阴影长方形的面积：
长方形面积=长×宽，已知宽为2cm，因此：
$S=17 × 2 = 34\ \mathrm{cm}^2$
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到阴影长方形的长和直角三角形斜边的对应关系，结合基础面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算阴影长方形的面积，已知长方形的宽为2cm，只需先求出长方形的长。观察图形可得，长方形的长与左侧直角三角形的斜边长度相等，因此可先通过勾股定理求出直角三角形的斜边长，再代入长方形面积公式计算即可。
【解析】
第一步：计算直角三角形的斜边长：
已知直角三角形的两条直角边长分别为8cm、15cm，根据勾股定理，斜边长度为：
$\sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\ \mathrm{cm}$
即阴影长方形的长为17cm。
第二步：计算阴影长方形的面积：
长方形面积=长×宽，已知宽为2cm，因此：
$S=17 × 2 = 34\ \mathrm{cm}^2$
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；长方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，解题的核心是找到阴影长方形的长和直角三角形斜边的对应关系，结合基础面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.若要将一块不能弯曲的正方形(厚度忽略不计)搬进室内,需要通过一扇如图所示的高为2 m,宽为1 m的门,以下边长的木块中哪块可以通过此门（
A.2.8 m
B.2.5 m
C.2.2 m
D.以上答案都不对
C
）A.2.8 m
B.2.5 m
C.2.2 m
D.以上答案都不对
答案
3.C
解析
【分析】
要判断正方形木块能否通过该长方形门，核心是明确木块斜着通过门时，可通过的最大长度等于门的对角线长度：若正方形边长小于等于门的对角线长度，即可顺利通过。因此我们只需要先利用勾股定理求出门的对角线长度，再将各选项的边长与对角线长度对比即可。
【解析】
已知门为长方形，高2m，宽1m，根据勾股定理，门的对角线长度$ l $满足：
$ l^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $
计算得$ l = \sqrt{5} \approx 2.236\ \mathrm{m} $
对比各选项边长：
A. $ 2.8\ \mathrm{m} ＞ 2.236\ \mathrm{m} $，无法通过；
B. $ 2.5\ \mathrm{m} ＞ 2.236\ \mathrm{m} $，无法通过；
C. $ 2.2\ \mathrm{m} ＜ 2.236\ \mathrm{m} $，可以通过。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；长方形对角线计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是将“能否过门”的实际问题转化为比较边长和对角线长度的数学问题，计算时要注意无理数近似取值的准确性。
【难度系数】
0.7
要判断正方形木块能否通过该长方形门，核心是明确木块斜着通过门时，可通过的最大长度等于门的对角线长度：若正方形边长小于等于门的对角线长度，即可顺利通过。因此我们只需要先利用勾股定理求出门的对角线长度，再将各选项的边长与对角线长度对比即可。
【解析】
已知门为长方形，高2m，宽1m，根据勾股定理，门的对角线长度$ l $满足：
$ l^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $
计算得$ l = \sqrt{5} \approx 2.236\ \mathrm{m} $
对比各选项边长：
A. $ 2.8\ \mathrm{m} ＞ 2.236\ \mathrm{m} $，无法通过；
B. $ 2.5\ \mathrm{m} ＞ 2.236\ \mathrm{m} $，无法通过；
C. $ 2.2\ \mathrm{m} ＜ 2.236\ \mathrm{m} $，可以通过。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的应用；长方形对角线计算
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题关键是将“能否过门”的实际问题转化为比较边长和对角线长度的数学问题，计算时要注意无理数近似取值的准确性。
【难度系数】
0.7
4.(教材P14 随堂练习 T1 变式)有五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是 (
C
)答案
4.C
解析
【分析】
要判断正确的摆法，需运用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a、b、c$满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形。首先计算所有木棒长度的平方，再逐一验证每个选项的两个三角形是否都满足勾股定理逆定理，同时保证5根木棒无重复使用即可。
【解析】
先计算各木棒长度的平方：
$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$。
对各选项逐一分析：
选项A：右侧三角形三边长为15、20、24，$15^2+20^2=625≠24^2=576$，不是直角三角形，排除；
选项B：右侧三角形三边长为15、20、24，同理$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除；
选项C：第一个三角形三边长为15、20、25，$15^2+20^2=225+400=625=25^2$，是直角三角形；第二个三角形三边长为7、24、25，$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，是直角三角形，且用到的木棒为7、15、20、24、25，无重复，符合要求；
选项D：其中一个三角形三边长为15、20、24，$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股数
【点评】
本题是勾股定理逆定理的实际应用问题，解题核心是准确计算边长平方，验证三边是否满足勾股关系，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
要判断正确的摆法，需运用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长$a、b、c$满足$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形。首先计算所有木棒长度的平方，再逐一验证每个选项的两个三角形是否都满足勾股定理逆定理，同时保证5根木棒无重复使用即可。
【解析】
先计算各木棒长度的平方：
$7^2=49$，$15^2=225$，$20^2=400$，$24^2=576$，$25^2=625$。
对各选项逐一分析：
选项A：右侧三角形三边长为15、20、24，$15^2+20^2=625≠24^2=576$，不是直角三角形，排除；
选项B：右侧三角形三边长为15、20、24，同理$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除；
选项C：第一个三角形三边长为15、20、25，$15^2+20^2=225+400=625=25^2$，是直角三角形；第二个三角形三边长为7、24、25，$7^2+24^2=49+576=625=25^2$，是直角三角形，且用到的木棒为7、15、20、24、25，无重复，符合要求；
选项D：其中一个三角形三边长为15、20、24，$15^2+20^2≠24^2$，不是直角三角形，排除。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理；勾股数
【点评】
本题是勾股定理逆定理的实际应用问题，解题核心是准确计算边长平方，验证三边是否满足勾股关系，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
5.如图,在长方形ABCD中,AB=8,AD=10.将长方形ABCD沿直线AF折叠,使点D落在BC上的点E处,则CE的长为
4
. 答案
5.4
解析
【分析】
解决本题需结合折叠性质、长方形性质和勾股定理逐步推导：第一步，先明确折叠的核心性质：折叠前后对应边相等，由此可得AE与AD长度相等；第二步，利用长方形的性质可知∠B为直角，且BC与AD长度相等，因此△ABE是直角三角形，已知AB和AE的长度，可通过勾股定理求出BE的长度；第三步，用BC的长度减去BE的长度即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，BC=AD=10，
根据折叠的性质可得：AE=AD=10，
在Rt△ABE中，AB=8，AE=10，由勾股定理得：
$BE^2=AE^2-AB^2=10^2-8^2=100-64=36$，
∴BE=6（线段长度为正数，舍去负根），
∴$CE=BC-BE=10-6=4$。
【答案】
4
【知识点】
折叠的性质，长方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类问题的基础题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的特征，把已知条件转化到直角三角形中，再用勾股定理求解未知线段长度。
【难度系数】
0.7
解决本题需结合折叠性质、长方形性质和勾股定理逐步推导：第一步，先明确折叠的核心性质：折叠前后对应边相等，由此可得AE与AD长度相等；第二步，利用长方形的性质可知∠B为直角，且BC与AD长度相等，因此△ABE是直角三角形，已知AB和AE的长度，可通过勾股定理求出BE的长度；第三步，用BC的长度减去BE的长度即可得到CE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=90°，BC=AD=10，
根据折叠的性质可得：AE=AD=10，
在Rt△ABE中，AB=8，AE=10，由勾股定理得：
$BE^2=AE^2-AB^2=10^2-8^2=100-64=36$，
∴BE=6（线段长度为正数，舍去负根），
∴$CE=BC-BE=10-6=4$。
【答案】
4
【知识点】
折叠的性质，长方形的性质，勾股定理
【点评】
本题是折叠类问题的基础题型，解题的核心是抓住折叠前后对应边相等的特征，把已知条件转化到直角三角形中，再用勾股定理求解未知线段长度。
【难度系数】
0.7
6. 下图是$5×9$的方格纸,每个小正方形的边长都是1 cm,一只蚂蚁沿图中折线$(A→B→C→D)$从点A爬到点D,共爬行了
12
cm.答案
6.12
解析
【分析】
要求蚂蚁爬行的总路程，需分别求出AB、BC、CD三段的长度再求和。其中BC是水平线段，直接数方格数就能得到长度；AB和CD是斜线段，可将它们分别看作直角三角形的斜边，数出对应直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理算出斜边长度，最后把三段长度相加即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：观察线段AB，横向占4个小格，纵向占3个小格，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
2. 计算BC的长度：BC是水平线段，共占2个小格，因此$BC=2\ \mathrm{cm}$
3. 计算CD的长度：观察线段CD，横向占3个小格，纵向占4个小格，根据勾股定理可得：
$CD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
4. 总爬行长度为三段长度之和：
$AB+BC+CD=5+2+5=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，网格线段长度计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题核心是将斜线段转化为直角三角形的斜边，通过数方格得到直角边长度后用勾股定理计算，易错点是数方格时容易数错直角边的格数，做题时要仔细核对。
【难度系数】
0.8
要求蚂蚁爬行的总路程，需分别求出AB、BC、CD三段的长度再求和。其中BC是水平线段，直接数方格数就能得到长度；AB和CD是斜线段，可将它们分别看作直角三角形的斜边，数出对应直角三角形的两条直角边长度，再用勾股定理算出斜边长度，最后把三段长度相加即可。
【解析】
1. 计算AB的长度：观察线段AB，横向占4个小格，纵向占3个小格，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
2. 计算BC的长度：BC是水平线段，共占2个小格，因此$BC=2\ \mathrm{cm}$
3. 计算CD的长度：观察线段CD，横向占3个小格，纵向占4个小格，根据勾股定理可得：
$CD=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
4. 总爬行长度为三段长度之和：
$AB+BC+CD=5+2+5=12\ \mathrm{cm}$
【答案】
12
【知识点】
勾股定理，网格线段长度计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用类题目，解题核心是将斜线段转化为直角三角形的斜边，通过数方格得到直角边长度后用勾股定理计算，易错点是数方格时容易数错直角边的格数，做题时要仔细核对。
【难度系数】
0.8
7.如图,有人在离水面高度为8米的岸上,用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为17米,几分钟后船到达点D的位置,此时绳子CD的长为10米,则船向岸边移动了
9
米.答案
7.9
解析
【分析】
本题可通过勾股定理求解船移动的距离，解题思路如下：首先由岸边垂直水面可知△CAB和△CAD均为直角三角形，船向岸边移动的距离为BD=AB-AD，因此只需要分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出AB和AD的长度，再作差即可得到结果。
【解析】
由题意得，∠A=90°，AC=8米。
在Rt△CAB中，BC=17米，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$（米）
在Rt△CAD中，CD=10米，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$（米）
因此船移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9$（米）
【答案】
9
【知识点】
勾股定理，直角三角形的实际应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，利用已知边长结合勾股定理计算未知边长，解题时注意明确所求距离是两段水平距离的差值。
【难度系数】
0.8
本题可通过勾股定理求解船移动的距离，解题思路如下：首先由岸边垂直水面可知△CAB和△CAD均为直角三角形，船向岸边移动的距离为BD=AB-AD，因此只需要分别在两个直角三角形中利用勾股定理求出AB和AD的长度，再作差即可得到结果。
【解析】
由题意得，∠A=90°，AC=8米。
在Rt△CAB中，BC=17米，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$（米）
在Rt△CAD中，CD=10米，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{CD^2-AC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$（米）
因此船移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9$（米）
【答案】
9
【知识点】
勾股定理，直角三角形的实际应用
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题关键是从实际场景中抽象出直角三角形模型，利用已知边长结合勾股定理计算未知边长，解题时注意明确所求距离是两段水平距离的差值。
【难度系数】
0.8
8.(2024·吉林)图1中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中$AB=AB'$，$AB⊥B'C$于点$C$，$BC=0.5$尺，$B'C=2$尺。设$AC$的长度为$x$尺，可列方程为
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
。答案
8.$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
解析
【分析】
首先将古算诗的实际问题转化为直角三角形的几何问题求解：第一步明确各线段的数量关系，设水深AC为x尺，红莲的总高度AB等于水深加上露出水面的高度，即AB=x+0.5；第二步由题意AB=AB'，可得直角三角形的斜边AB'的长度也为x+0.5；第三步观察到△ACB'是直角三角形，∠C为直角，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出对应方程。
【解析】
设AC的长度为x尺，
∵BC=0.5尺，
∴红莲总长度$AB=AC+BC=x+0.5$（尺），
由题意可知$AB=AB'$，
∴$AB'=x+0.5$（尺），
又
∵$AC⊥B'C$，即△ACB'是直角三角形，$∠ C=90°$，$B'C=2$尺，
根据勾股定理可得：$AC^2+B'C^2=AB'^2$，
代入对应边长得：$x^2+2^2=(x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解实际问题
【点评】
本题结合传统古算文化考查勾股定理的实际应用，解题关键是准确梳理出直角三角形各边的数量关系，将实际问题转化为几何方程问题，侧重考查数学建模能力。
【难度系数】
0.7
首先将古算诗的实际问题转化为直角三角形的几何问题求解：第一步明确各线段的数量关系，设水深AC为x尺，红莲的总高度AB等于水深加上露出水面的高度，即AB=x+0.5；第二步由题意AB=AB'，可得直角三角形的斜边AB'的长度也为x+0.5；第三步观察到△ACB'是直角三角形，∠C为直角，根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出对应方程。
【解析】
设AC的长度为x尺，
∵BC=0.5尺，
∴红莲总长度$AB=AC+BC=x+0.5$（尺），
由题意可知$AB=AB'$，
∴$AB'=x+0.5$（尺），
又
∵$AC⊥B'C$，即△ACB'是直角三角形，$∠ C=90°$，$B'C=2$尺，
根据勾股定理可得：$AC^2+B'C^2=AB'^2$，
代入对应边长得：$x^2+2^2=(x+0.5)^2$。
【答案】
$x^2+2^2=(x+0.5)^2$
【知识点】
勾股定理；列方程解实际问题
【点评】
本题结合传统古算文化考查勾股定理的实际应用，解题关键是准确梳理出直角三角形各边的数量关系，将实际问题转化为几何方程问题，侧重考查数学建模能力。
【难度系数】
0.7
