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9. 如图，$∠ AOB=90°$，$OA=18\ \mathrm{dm}$，$OB=6\ \mathrm{dm}$，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球。如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
答案
9.解:
∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时间相等,
∴BC=AC. 设 AC=x dm,则 OC=(18−x)dm. 由勾股定理,得$OB^2+OC^2=BC^2$,即$6^2+(18−x)^2=x^2$. 解得 x=10. 答:机器人行走的路程 BC 是 10 dm.
∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时间相等,
∴BC=AC. 设 AC=x dm,则 OC=(18−x)dm. 由勾股定理,得$OB^2+OC^2=BC^2$,即$6^2+(18−x)^2=x^2$. 解得 x=10. 答:机器人行走的路程 BC 是 10 dm.
解析
【分析】
解题首先要抓住核心等量关系：小球和机器人的运动速度相等、运动时间相等，因此二者行驶的路程相等，即$BC=AC$。再观察图形可知$△ OBC$是直角三角形，$∠ AOB=90°$，符合勾股定理的使用条件，我们可以设$BC$的长度为未知数，用含未知数的式子表示出$OC$的长度，代入勾股定理公式列方程求解即可。
【解析】
解：$\because$小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，且二者运动时间相等，
$\therefore$二者行驶路程相等，即$BC=AC$。
设$AC=x\ \mathrm{dm}$，则$BC=x\ \mathrm{dm}$，$OC=OA-AC=(18-x)\ \mathrm{dm}$，
$\because ∠ AOB=90°$，$△ OBC$为直角三角形，
根据勾股定理可得：$OB^2+OC^2=BC^2$，
代入数值：$6^2+(18-x)^2=x^2$，
展开计算：$36+324-36x+x^2=x^2$，
化简得：$36x=360$，
解得$x=10$。
【答案】
机器人行走的路程BC是$\boxed{10\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理应用；行程等量关系；列方程求解
【点评】
本题是勾股定理结合实际行程问题的典型基础题，解题关键是挖掘出"速度、时间均相等时路程相等"这一隐藏等量关系，再结合直角三角形的特性用勾股定理列方程求解，对实际问题转化为数学模型的能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
解题首先要抓住核心等量关系：小球和机器人的运动速度相等、运动时间相等，因此二者行驶的路程相等，即$BC=AC$。再观察图形可知$△ OBC$是直角三角形，$∠ AOB=90°$，符合勾股定理的使用条件，我们可以设$BC$的长度为未知数，用含未知数的式子表示出$OC$的长度，代入勾股定理公式列方程求解即可。
【解析】
解：$\because$小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，且二者运动时间相等，
$\therefore$二者行驶路程相等，即$BC=AC$。
设$AC=x\ \mathrm{dm}$，则$BC=x\ \mathrm{dm}$，$OC=OA-AC=(18-x)\ \mathrm{dm}$，
$\because ∠ AOB=90°$，$△ OBC$为直角三角形，
根据勾股定理可得：$OB^2+OC^2=BC^2$，
代入数值：$6^2+(18-x)^2=x^2$，
展开计算：$36+324-36x+x^2=x^2$，
化简得：$36x=360$，
解得$x=10$。
【答案】
机器人行走的路程BC是$\boxed{10\ \mathrm{dm}}$。
【知识点】
勾股定理应用；行程等量关系；列方程求解
【点评】
本题是勾股定理结合实际行程问题的典型基础题，解题关键是挖掘出"速度、时间均相等时路程相等"这一隐藏等量关系，再结合直角三角形的特性用勾股定理列方程求解，对实际问题转化为数学模型的能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7
10. 数学文化·《九章算术》《九章算术》中有一道题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”大致意思:一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,那么折断处离地面的高度为
4.55
尺.(1丈=10尺)答案
10.4.55
解析
【分析】
首先将实际问题转化为直角三角形数学模型：未折断的竹子部分、地面、折断的竹子部分刚好构成直角三角形。先统一单位，1丈换算为10尺，设折断处离地面高度为x尺，则折断部分的长度为(10-x)尺，也就是直角三角形的斜边，两条直角边分别为x尺和3尺，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先换算单位：1丈=10尺。
设折断处离地面的高度为x尺，则折断的竹子部分长度为(10 - x)尺，该部分为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为x尺、3尺。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
展开方程右边：
$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去两边的$x^2$，整理得：
$20x = 100 - 9$
$20x = 91$
解得：$x = \frac{91}{20} = 4.55$
【答案】
4.55
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程求解，实际问题建模
【点评】
本题结合传统数学文化出题，将生活场景转化为几何问题，核心考查勾股定理在实际问题中的使用，需要学生掌握设未知数、找三边关系列方程的解题思路，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
首先将实际问题转化为直角三角形数学模型：未折断的竹子部分、地面、折断的竹子部分刚好构成直角三角形。先统一单位，1丈换算为10尺，设折断处离地面高度为x尺，则折断部分的长度为(10-x)尺，也就是直角三角形的斜边，两条直角边分别为x尺和3尺，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
首先换算单位：1丈=10尺。
设折断处离地面的高度为x尺，则折断的竹子部分长度为(10 - x)尺，该部分为直角三角形的斜边，两条直角边长度分别为x尺、3尺。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
展开方程右边：
$x^2 + 9 = 100 - 20x + x^2$
消去两边的$x^2$，整理得：
$20x = 100 - 9$
$20x = 91$
解得：$x = \frac{91}{20} = 4.55$
【答案】
4.55
【知识点】
勾股定理的应用，一元一次方程求解，实际问题建模
【点评】
本题结合传统数学文化出题，将生活场景转化为几何问题，核心考查勾股定理在实际问题中的使用，需要学生掌握设未知数、找三边关系列方程的解题思路，是勾股定理应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
11. 一艘船早晨8:00从港口出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘船从同一港口出发，以12海里/时的速度向南航行，则上午10:00，两艘船相距
20
海里。答案
11.20
解析
【分析】
解题时首先明确两艘船的航行方向互相垂直，因此港口位置、上午10:00时两艘船的位置三点可构成直角三角形，所求的两艘船距离就是该直角三角形的斜边。解题步骤为：①先分别计算两艘船从出发到上午10:00的航行时间；②根据“路程=速度×时间”分别算出两艘船航行的路程，即直角三角形的两条直角边长；③最后利用勾股定理求出斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
解：首先计算两艘船的航行路程：
1. 向东航行的船从8:00到10:00，共航行2小时，
行驶路程：$s_1 = 8 × 2 = 16$（海里）
2. 向南航行的船从9:00到10:00，共航行1小时，
行驶路程：$s_2 = 12 × 1 = 12$（海里）
3. 由于东、南方向互相垂直，因此两艘船的距离为直角三角形的斜边长，根据勾股定理：
两船距离$d = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$（海里）
【答案】
20
【知识点】
1. 勾股定理的应用
2. 行程基本公式
【点评】
本题将行程问题与勾股定理结合，解题的核心是通过两个垂直的航行方向构造直角三角形，需注意准确计算两艘船的航行时间，避免因时间计算错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两艘船的航行方向互相垂直，因此港口位置、上午10:00时两艘船的位置三点可构成直角三角形，所求的两艘船距离就是该直角三角形的斜边。解题步骤为：①先分别计算两艘船从出发到上午10:00的航行时间；②根据“路程=速度×时间”分别算出两艘船航行的路程，即直角三角形的两条直角边长；③最后利用勾股定理求出斜边长度，就是两船的距离。
【解析】
解：首先计算两艘船的航行路程：
1. 向东航行的船从8:00到10:00，共航行2小时，
行驶路程：$s_1 = 8 × 2 = 16$（海里）
2. 向南航行的船从9:00到10:00，共航行1小时，
行驶路程：$s_2 = 12 × 1 = 12$（海里）
3. 由于东、南方向互相垂直，因此两艘船的距离为直角三角形的斜边长，根据勾股定理：
两船距离$d = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$（海里）
【答案】
20
【知识点】
1. 勾股定理的应用
2. 行程基本公式
【点评】
本题将行程问题与勾股定理结合，解题的核心是通过两个垂直的航行方向构造直角三角形，需注意准确计算两艘船的航行时间，避免因时间计算错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.8
12. 一辆装满货物的卡车,其外形的宽为2.4米,高为3.9米,这辆卡车
能
(填“能”或“不能”)通过如图所示的隧道.答案
12.能
解析
【分析】
要判断卡车能否通过隧道，需计算隧道对应卡车宽度位置的最大高度，再与卡车高度比较。首先明确隧道结构：下部是高2.5米、宽4米的矩形，上部是直径为4米的半圆。卡车宽2.4米，行驶时沿隧道正中通行，只需计算距离隧道中心线水平距离1.2米处上半部分半圆的高度，加上下部矩形的高度，再和卡车高度3.9米比较即可。计算半圆处高度可通过构造直角三角形，用勾股定理求解。
【解析】
解：由图可知，隧道上部半圆的直径为4米，因此半圆半径$OC=4÷2=2$米。
卡车宽度为2.4米，若沿隧道正中行驶，其单侧超出中心线的水平距离为$2.4÷2=1.2$米，即$OD=1.2$米。
在$Rt△ OCD$中，根据勾股定理：
$CD^2 + OD^2 = OC^2$
代入数值可得：
$CD^2 = OC^2 - OD^2 = 2^2 - 1.2^2 = 4 - 1.44 = 2.56$
因此$CD=\sqrt{2.56}=1.6$米。
该位置隧道的总高度为下部矩形高度加CD的长度：$2.5 + 1.6 = 4.1$米。
因为$4.1米＞3.9米$，所以卡车能通过隧道。
【答案】
能
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题将实际通行问题转化为几何计算问题，解题关键是合理构造直角三角形，利用勾股定理求出对应位置的隧道高度后与卡车高度比较，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
要判断卡车能否通过隧道，需计算隧道对应卡车宽度位置的最大高度，再与卡车高度比较。首先明确隧道结构：下部是高2.5米、宽4米的矩形，上部是直径为4米的半圆。卡车宽2.4米，行驶时沿隧道正中通行，只需计算距离隧道中心线水平距离1.2米处上半部分半圆的高度，加上下部矩形的高度，再和卡车高度3.9米比较即可。计算半圆处高度可通过构造直角三角形，用勾股定理求解。
【解析】
解：由图可知，隧道上部半圆的直径为4米，因此半圆半径$OC=4÷2=2$米。
卡车宽度为2.4米，若沿隧道正中行驶，其单侧超出中心线的水平距离为$2.4÷2=1.2$米，即$OD=1.2$米。
在$Rt△ OCD$中，根据勾股定理：
$CD^2 + OD^2 = OC^2$
代入数值可得：
$CD^2 = OC^2 - OD^2 = 2^2 - 1.2^2 = 4 - 1.44 = 2.56$
因此$CD=\sqrt{2.56}=1.6$米。
该位置隧道的总高度为下部矩形高度加CD的长度：$2.5 + 1.6 = 4.1$米。
因为$4.1米＞3.9米$，所以卡车能通过隧道。
【答案】
能
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题将实际通行问题转化为几何计算问题，解题关键是合理构造直角三角形，利用勾股定理求出对应位置的隧道高度后与卡车高度比较，体现了数学知识在实际生活中的应用。
【难度系数】
0.7
13. 铁路上A,B两站(视为直线上的两点)相距25 km,C,D为两村庄(视为两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B(如图),已知DA=10 km,CB=15 km.现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等,则收购站E到A站的距离为
15
km.答案
13.15
解析
【分析】
要使C、D两村到E站距离相等，即DE=CE，我们可以通过设未知数结合勾股定理列方程求解。首先设AE的长度为x km，则BE的长度为(25-x)km，由DA⊥AB、CB⊥AB可知△ADE和△BCE都是直角三角形，DE、CE分别为两个直角三角形的斜边，根据DE=CE可得二者平方相等，代入勾股定理公式即可列出方程求解x的值。
【解析】
解：设收购站E到A站的距离为x km，则E到B站的距离为(25 - x) km。
∵ DA⊥AB，CB⊥AB
∴ ∠A = ∠B = 90°，△ADE和△BCE均为直角三角形
根据勾股定理：
在Rt△ADE中，$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 10^2 + x^2$
在Rt△BCE中，$CE^2 = BC^2 + BE^2 = 15^2 + (25 - x)^2$
∵ DE = CE
∴ $DE^2 = CE^2$，即：
$10^2 + x^2 = 15^2 + (25 - x)^2$
展开得：$100 + x^2 = 225 + 625 - 50x + x^2$
消去$x^2$，移项计算得：$50x = 750$
解得：$x = 15$
【答案】
15
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程求解；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是利用“距离相等”的条件建立等量关系，通过勾股定理将几何长度关系转化为代数方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要使C、D两村到E站距离相等，即DE=CE，我们可以通过设未知数结合勾股定理列方程求解。首先设AE的长度为x km，则BE的长度为(25-x)km，由DA⊥AB、CB⊥AB可知△ADE和△BCE都是直角三角形，DE、CE分别为两个直角三角形的斜边，根据DE=CE可得二者平方相等，代入勾股定理公式即可列出方程求解x的值。
【解析】
解：设收购站E到A站的距离为x km，则E到B站的距离为(25 - x) km。
∵ DA⊥AB，CB⊥AB
∴ ∠A = ∠B = 90°，△ADE和△BCE均为直角三角形
根据勾股定理：
在Rt△ADE中，$DE^2 = AD^2 + AE^2 = 10^2 + x^2$
在Rt△BCE中，$CE^2 = BC^2 + BE^2 = 15^2 + (25 - x)^2$
∵ DE = CE
∴ $DE^2 = CE^2$，即：
$10^2 + x^2 = 15^2 + (25 - x)^2$
展开得：$100 + x^2 = 225 + 625 - 50x + x^2$
消去$x^2$，移项计算得：$50x = 750$
解得：$x = 15$
【答案】
15
【知识点】
勾股定理的应用；一元一次方程求解；垂直的性质
【点评】
本题是勾股定理结合实际场景的基础应用题，解题核心是利用“距离相等”的条件建立等量关系，通过勾股定理将几何长度关系转化为代数方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
