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14. 图图和涵涵在创意文化市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度。以下是他们测量高度的过程(如图)：
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米.
已知点A,B,C,D在同一平面内.
(1)求风筝离地面的垂直高度CD.
(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题:在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD的长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题.
①先测得放飞点与风筝的水平距离BD的长为8米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AC的长为10米；
③牵线放风筝的手离地面的距离AB为1.5米.
已知点A,B,C,D在同一平面内.
(1)求风筝离地面的垂直高度CD.
(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题:在手中剩余线仅剩7.5米的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升9米，BD的长度不变，能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题.
答案
14.解:(1)过点 A 作$AE⊥CD$于点 E. 则 AE=BD=8 米,AB=DE=1.5 米,$∠AEC=90°$. 由勾股定理,得$CE^2=AC^2−AE^2=10^2−8^2=36$,
∴CE=6 米.
∴CD=CE+DE=6+1.5=7.5(米). (2)能成功. 理由如下:延长 DC 至点 F,使 CF=9 米,连接 AF.
∵CF=9 米,
∴EF=CE+CF=6+9=15(米). 由勾股定理,得$AF^2=AE^2+EF^2=8^2+15^2=289$,
∴AF=17 米.
∵AC=10 米,余线仅剩 7.5 米,
∴10+7.5=17.5＞17.
∴风筝能上升 9 米,即能成功.
∴CE=6 米.
∴CD=CE+DE=6+1.5=7.5(米). (2)能成功. 理由如下:延长 DC 至点 F,使 CF=9 米,连接 AF.
∵CF=9 米,
∴EF=CE+CF=6+9=15(米). 由勾股定理,得$AF^2=AE^2+EF^2=8^2+15^2=289$,
∴AF=17 米.
∵AC=10 米,余线仅剩 7.5 米,
∴10+7.5=17.5＞17.
∴风筝能上升 9 米,即能成功.
解析
【分析】
(1) 要求CD的高度，首先观察到AB、CD均垂直于水平线段BD，可通过过点A作AE⊥CD构造矩形ABDE和直角三角形AEC。利用矩形对边相等的性质得到AE=BD、DE=AB，再在直角三角形AEC中用勾股定理计算CE的长度，最后将CE与DE相加即可得到CD的长度。
(2) 判断风筝能否上升9米，可先计算出风筝上升9米后到牵线点A的所需线长，再和现有可用总风筝线长度对比：先延长DC到F使CF=9米，连接AF，在直角三角形AEF中用勾股定理算出AF的长度，再将AF与总可用线长（原有线长+剩余线长）比较，若总可用线长≥AF则可以成功，反之不能。
【解析】
(1) 过点A作$AE⊥CD$于点E，
∵$AB⊥BD$，$CD⊥BD$，$AE⊥CD$，
∴四边形ABDE是矩形，
∴$AE=BD=8$米，$DE=AB=1.5$米，$∠AEC=90°$。
在$Rt△AEC$中，由勾股定理得：
$CE^2=AC^2−AE^2=10^2−8^2=36$，
∵CE为线段长度，取正值，
∴$CE=6$米，
∴$CD=CE+DE=6+1.5=7.5$米。
(2) 能成功，理由如下：
延长DC至点F，使$CF=9$米，连接AF，
则$EF=CE+CF=6+9=15$米，
在$Rt△AEF$中，由勾股定理得：
$AF^2=AE^2+EF^2=8^2+15^2=289$，
∵AF为线段长度，取正值，
∴$AF=17$米。
现有可用风筝线总长度为$10+7.5=17.5$米，
∵$17.5＞17$，可用线长大于所需线长，
∴风筝能沿射线DC方向再上升9米。
【答案】
(1) 风筝离地面的垂直高度CD为7.5米；
(2) 能成功。
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；实际测量计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题的长度关系转化为几何线段计算，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求CD的高度，首先观察到AB、CD均垂直于水平线段BD，可通过过点A作AE⊥CD构造矩形ABDE和直角三角形AEC。利用矩形对边相等的性质得到AE=BD、DE=AB，再在直角三角形AEC中用勾股定理计算CE的长度，最后将CE与DE相加即可得到CD的长度。
(2) 判断风筝能否上升9米，可先计算出风筝上升9米后到牵线点A的所需线长，再和现有可用总风筝线长度对比：先延长DC到F使CF=9米，连接AF，在直角三角形AEF中用勾股定理算出AF的长度，再将AF与总可用线长（原有线长+剩余线长）比较，若总可用线长≥AF则可以成功，反之不能。
【解析】
(1) 过点A作$AE⊥CD$于点E，
∵$AB⊥BD$，$CD⊥BD$，$AE⊥CD$，
∴四边形ABDE是矩形，
∴$AE=BD=8$米，$DE=AB=1.5$米，$∠AEC=90°$。
在$Rt△AEC$中，由勾股定理得：
$CE^2=AC^2−AE^2=10^2−8^2=36$，
∵CE为线段长度，取正值，
∴$CE=6$米，
∴$CD=CE+DE=6+1.5=7.5$米。
(2) 能成功，理由如下：
延长DC至点F，使$CF=9$米，连接AF，
则$EF=CE+CF=6+9=15$米，
在$Rt△AEF$中，由勾股定理得：
$AF^2=AE^2+EF^2=8^2+15^2=289$，
∵AF为线段长度，取正值，
∴$AF=17$米。
现有可用风筝线总长度为$10+7.5=17.5$米，
∵$17.5＞17$，可用线长大于所需线长，
∴风筝能沿射线DC方向再上升9米。
【答案】
(1) 风筝离地面的垂直高度CD为7.5米；
(2) 能成功。
【知识点】
勾股定理；矩形的性质；实际测量计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题的长度关系转化为几何线段计算，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
15.如图,有一台环卫车沿公路AB由点A向点B行驶,已知点C为一所学校,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为150 m和200 m,且AB=250 m,环卫车周围130 m以内为受噪声影响区域.
(1)学校C会受噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为50 m/min,环卫车的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟?
(1)学校C会受噪声影响吗?为什么?
(2)若环卫车的行驶速度为50 m/min,环卫车的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟?
答案
15.解:(1)学校 C 会受噪声影响. 理由如下:过点 C 作$CD⊥AB$于点 D.
∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴$AC^2+BC^2=AB^2$.
∴$∠ACB=90°$.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}CD·AB$.
∴$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{150×200}{250}=120$(m).
∵环卫车周围 130 m 以内为受噪声影响区域,
∴学校 C 会受噪声影响. (2)图略,当 EC=130 m,FC=130 m 时,正好影响学校 C.
∵$ED^2=EC^2−CD^2=130^2−120^2=2500$,
∴ED=50 m.
∴EF=100 m.
∴100÷50=2(min). 答:环卫车的噪声影响该学校持续的时间为 2 min.
∵AC=150 m,BC=200 m,AB=250 m,
∴$AC^2+BC^2=AB^2$.
∴$∠ACB=90°$.
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}CD·AB$.
∴$CD=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{150×200}{250}=120$(m).
∵环卫车周围 130 m 以内为受噪声影响区域,
∴学校 C 会受噪声影响. (2)图略,当 EC=130 m,FC=130 m 时,正好影响学校 C.
∵$ED^2=EC^2−CD^2=130^2−120^2=2500$,
∴ED=50 m.
∴EF=100 m.
∴100÷50=2(min). 答:环卫车的噪声影响该学校持续的时间为 2 min.
解析
【分析】
解决第(1)问的核心是判断点C到直线AB的最短距离是否小于130m：首先观察△ABC三边长度特征，可先用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高（即点C到AB的垂线段长度），将其与130m比较即可得到结论。
解决第(2)问首先要明确噪声影响的起止点：即环卫车到点C的距离等于130m的两个位置，两点间的距离就是受影响的行驶路程，可通过勾股定理求出单段路程长度后得到总路程，再用路程除以行驶速度即可算出影响持续时间。
【解析】
(1) 学校C会受噪声影响，理由如下：
过点C作$CD⊥AB$于点D。
已知$AC=150\ \mathrm{m}$，$BC=200\ \mathrm{m}$，$AB=250\ \mathrm{m}$，
计算得$AC^2+BC^2=150^2+200^2=62500$，$AB^2=250^2=62500$，
即$AC^2+BC^2=AB^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ACB=90°$，△ABC为直角三角形。
由三角形面积公式得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}CD· AB$，
代入数值解得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{150×200}{250}=120\ \mathrm{m}$。
因为$120\ \mathrm{m}＜130\ \mathrm{m}$，所以学校C会受噪声影响。
(2) 设环卫车行驶到点E时开始影响学校，行驶到点F时结束影响，此时$EC=FC=130\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得$ED^2=EC^2-CD^2=130^2-120^2=2500$，解得$ED=50\ \mathrm{m}$，
同理可得$FD=50\ \mathrm{m}$，因此受影响路段长度$EF=ED+FD=100\ \mathrm{m}$。
噪声影响持续时间为$100÷50=2(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 学校C会受噪声影响；
(2) 环卫车的噪声影响该学校持续的时间为2分钟。
【知识点】
勾股定理逆定理，面积法求高，勾股定理应用
【点评】
本题将实际生活问题转化为几何计算问题，解题关键是作垂线段构造直角三角形，结合勾股定理及逆定理求解，考查了将实际问题抽象为几何模型的能力，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问的核心是判断点C到直线AB的最短距离是否小于130m：首先观察△ABC三边长度特征，可先用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，再通过直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高（即点C到AB的垂线段长度），将其与130m比较即可得到结论。
解决第(2)问首先要明确噪声影响的起止点：即环卫车到点C的距离等于130m的两个位置，两点间的距离就是受影响的行驶路程，可通过勾股定理求出单段路程长度后得到总路程，再用路程除以行驶速度即可算出影响持续时间。
【解析】
(1) 学校C会受噪声影响，理由如下：
过点C作$CD⊥AB$于点D。
已知$AC=150\ \mathrm{m}$，$BC=200\ \mathrm{m}$，$AB=250\ \mathrm{m}$，
计算得$AC^2+BC^2=150^2+200^2=62500$，$AB^2=250^2=62500$，
即$AC^2+BC^2=AB^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ACB=90°$，△ABC为直角三角形。
由三角形面积公式得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}CD· AB$，
代入数值解得：$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{150×200}{250}=120\ \mathrm{m}$。
因为$120\ \mathrm{m}＜130\ \mathrm{m}$，所以学校C会受噪声影响。
(2) 设环卫车行驶到点E时开始影响学校，行驶到点F时结束影响，此时$EC=FC=130\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，由勾股定理得$ED^2=EC^2-CD^2=130^2-120^2=2500$，解得$ED=50\ \mathrm{m}$，
同理可得$FD=50\ \mathrm{m}$，因此受影响路段长度$EF=ED+FD=100\ \mathrm{m}$。
噪声影响持续时间为$100÷50=2(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 学校C会受噪声影响；
(2) 环卫车的噪声影响该学校持续的时间为2分钟。
【知识点】
勾股定理逆定理，面积法求高，勾股定理应用
【点评】
本题将实际生活问题转化为几何计算问题，解题关键是作垂线段构造直角三角形，结合勾股定理及逆定理求解，考查了将实际问题抽象为几何模型的能力，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
