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17. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图. 根据安全标准需满足$BC⊥ CD$，现测得$AB=CD=6\ \mathrm{dm}$，$BC=3\ \mathrm{dm}$，$AD=9\ \mathrm{dm}$，其中AB与BD之间由一个固定为$90°$的零件连接(即$∠ ABD=90°$)，通过计算说明该车是否符合安全标准.
答案
17.解:在$Rt△ABD$中,$BD^2 = AD^2 - AB^2 =9^2 -6^2=45$,在$△BCD$中,$BC^2 + CD^2 =3^2 +6^2=45$,$\therefore BC^2 + CD^2 = BD^2$.$\therefore ∠BCD=90°$.$\therefore BC⊥CD$.故该车符合安全标准.
解析
【分析】
要判断该车是否符合安全标准，本质是要证明$BC⊥CD$，即证$∠ BCD=90°$，可通过勾股定理的逆定理验证：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。首先$BD$的长度未知，已知$△ ABD$是直角三角形（$∠ ABD=90°$），且给出$AB$、$AD$的长度，因此先利用勾股定理计算出$BD^2$，再代入$△ BCD$的边长验证是否满足勾股定理的逆定理即可。
【解析】
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，根据勾股定理可得：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 =9^2 -6^2=81-36=45$
在$△ BCD$中，已知$BC=3\ \mathrm{dm}$，$CD=6\ \mathrm{dm}$，计算得：
$BC^2 + CD^2 =3^2 +6^2=9+36=45$
$\therefore BC^2 + CD^2 = BD^2$
根据勾股定理的逆定理，可得$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥CD$。
【答案】
该车符合安全标准。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何定理的应用，解题核心是明确证明垂直的思路，先借助勾股定理求出未知边的平方，再用勾股定理的逆定理判断直角，实现了理论知识和实际问题的结合，实用性较强。
【难度系数】
0.7
要判断该车是否符合安全标准，本质是要证明$BC⊥CD$，即证$∠ BCD=90°$，可通过勾股定理的逆定理验证：若三角形三边满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。首先$BD$的长度未知，已知$△ ABD$是直角三角形（$∠ ABD=90°$），且给出$AB$、$AD$的长度，因此先利用勾股定理计算出$BD^2$，再代入$△ BCD$的边长验证是否满足勾股定理的逆定理即可。
【解析】
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，根据勾股定理可得：
$BD^2 = AD^2 - AB^2 =9^2 -6^2=81-36=45$
在$△ BCD$中，已知$BC=3\ \mathrm{dm}$，$CD=6\ \mathrm{dm}$，计算得：
$BC^2 + CD^2 =3^2 +6^2=9+36=45$
$\therefore BC^2 + CD^2 = BD^2$
根据勾股定理的逆定理，可得$△ BCD$是直角三角形，且$∠ BCD=90°$，即$BC⊥CD$。
【答案】
该车符合安全标准。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何定理的应用，解题核心是明确证明垂直的思路，先借助勾股定理求出未知边的平方，再用勾股定理的逆定理判断直角，实现了理论知识和实际问题的结合，实用性较强。
【难度系数】
0.7
18. NEW 新考向·推理能力 我们在课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”。王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断，于是王老师提出以下问题让学生解决。
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，
(2)若第一个数用字母$a$($a$为奇数，且$a≥3$)表示，则后两个数用含$a$的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：$4=\frac{3^2 -1}{2}$，$12=\frac{5^2 -1}{2}$，$24=\frac{7^2 -1}{2}$……于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^2 -1}{2}$，则用含$a$的代数式表示第三个数为
(3)用所学知识说明(2)中用字母$a$表示的三个数是勾股数。
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，
60
，61
。(2)若第一个数用字母$a$($a$为奇数，且$a≥3$)表示，则后两个数用含$a$的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：$4=\frac{3^2 -1}{2}$，$12=\frac{5^2 -1}{2}$，$24=\frac{7^2 -1}{2}$……于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^2 -1}{2}$，则用含$a$的代数式表示第三个数为
$\frac{a^2+1}{2}$
。(3)用所学知识说明(2)中用字母$a$表示的三个数是勾股数。
答案
18.解:(1)60 61 (2)$\frac{a^2+1}{2}$ (3)$\because a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2 = \frac{a^4 + 2a^2 +1}{4}$ , $(\frac{a^2 +1}{2})^2 = \frac{a^4 + 2a^2 +1}{4}$ , $\therefore a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2 = (\frac{a^2 +1}{2})^2$.又$\because a$为奇数,且$a≥3$,$\therefore a,\frac{a^2 -1}{2},\frac{a^2 +1}{2}$都是正整数.$\therefore a,\frac{a^2 -1}{2},\frac{a^2 +1}{2}$是勾股数.
解析
【分析】
解题可按三步有序思考：
(1) 先观察已知勾股数组的共性规律：每组勾股数的第一个数是从3开始的连续奇数，第二个数=(第一个数的平方-1)÷2，第三个数比第二个数大1，代入第一个数11即可算出后两个数；
(2) 根据每组第二、第三个数是连续正整数的规律，结合给出的第二个数的代数式，加1化简就能得到第三个数的表达式；
(3) 要证明三个数是勾股数，需同时满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，分别验证两个条件成立即可。
【解析】
(1) 观察已知勾股数组：3，4=(3²-1)/2，5=4+1；5，12=(5²-1)/2，13=12+1；7，24=(7²-1)/2，25=24+1……
当第一个数为11时，第二个数=$\frac{11^2-1}{2}=\frac{121-1}{2}=60$，第三个数=60+1=61。
(2) 已知第二个数为$\frac{a^2-1}{2}$，且每组第三个数比第二个数大1，因此第三个数为：
$\frac{a^2-1}{2}+1=\frac{a^2-1+2}{2}=\frac{a^2+1}{2}$。
(3) 先验证平方相等关系：
计算$a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2=a^2+\frac{a^4-2a^2+1}{4}=\frac{4a^2+a^4-2a^2+1}{4}=\frac{a^4+2a^2+1}{4}$，
再计算$(\frac{a^2 +1}{2})^2=\frac{a^4+2a^2+1}{4}$，
因此$a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2 = (\frac{a^2 +1}{2})^2$。
再验证三个数均为正整数：已知$a$是奇数且$a≥3$，故$a^2$为奇数，$a^2-1$、$a^2+1$都是偶数，因此$\frac{a^2-1}{2}$、$\frac{a^2+1}{2}$均为正整数。
综上，$a,\frac{a^2 -1}{2},\frac{a^2 +1}{2}$是勾股数。
【答案】
(1) 60 61
(2) $\frac{a^2+1}{2}$
(3) $\because a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2 = \frac{a^4 + 2a^2 +1}{4}$ , $(\frac{a^2 +1}{2})^2 = \frac{a^4 + 2a^2 +1}{4}$ , $\therefore a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2 = (\frac{a^2 +1}{2})^2$.又$\because a$为奇数,且$a≥3$,$\therefore a,\frac{a^2 -1}{2},\frac{a^2 +1}{2}$都是正整数.$\therefore a,\frac{a^2 -1}{2},\frac{a^2 +1}{2}$是勾股数.
【知识点】
勾股数的定义，整式的运算，规律探究
【点评】
本题以常见的奇数组勾股数为背景，既考查了学生观察归纳规律的推理能力，又结合代数式运算考查了勾股数的判定方法，兼顾了归纳总结能力和代数运算能力的考查，很好落实了推理能力的核心素养要求。
【难度系数】
0.7
解题可按三步有序思考：
(1) 先观察已知勾股数组的共性规律：每组勾股数的第一个数是从3开始的连续奇数，第二个数=(第一个数的平方-1)÷2，第三个数比第二个数大1，代入第一个数11即可算出后两个数；
(2) 根据每组第二、第三个数是连续正整数的规律，结合给出的第二个数的代数式，加1化简就能得到第三个数的表达式；
(3) 要证明三个数是勾股数，需同时满足两个条件：一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，分别验证两个条件成立即可。
【解析】
(1) 观察已知勾股数组：3，4=(3²-1)/2，5=4+1；5，12=(5²-1)/2，13=12+1；7，24=(7²-1)/2，25=24+1……
当第一个数为11时，第二个数=$\frac{11^2-1}{2}=\frac{121-1}{2}=60$，第三个数=60+1=61。
(2) 已知第二个数为$\frac{a^2-1}{2}$，且每组第三个数比第二个数大1，因此第三个数为：
$\frac{a^2-1}{2}+1=\frac{a^2-1+2}{2}=\frac{a^2+1}{2}$。
(3) 先验证平方相等关系：
计算$a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2=a^2+\frac{a^4-2a^2+1}{4}=\frac{4a^2+a^4-2a^2+1}{4}=\frac{a^4+2a^2+1}{4}$，
再计算$(\frac{a^2 +1}{2})^2=\frac{a^4+2a^2+1}{4}$，
因此$a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2 = (\frac{a^2 +1}{2})^2$。
再验证三个数均为正整数：已知$a$是奇数且$a≥3$，故$a^2$为奇数，$a^2-1$、$a^2+1$都是偶数，因此$\frac{a^2-1}{2}$、$\frac{a^2+1}{2}$均为正整数。
综上，$a,\frac{a^2 -1}{2},\frac{a^2 +1}{2}$是勾股数。
【答案】
(1) 60 61
(2) $\frac{a^2+1}{2}$
(3) $\because a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2 = \frac{a^4 + 2a^2 +1}{4}$ , $(\frac{a^2 +1}{2})^2 = \frac{a^4 + 2a^2 +1}{4}$ , $\therefore a^2 + (\frac{a^2 -1}{2})^2 = (\frac{a^2 +1}{2})^2$.又$\because a$为奇数,且$a≥3$,$\therefore a,\frac{a^2 -1}{2},\frac{a^2 +1}{2}$都是正整数.$\therefore a,\frac{a^2 -1}{2},\frac{a^2 +1}{2}$是勾股数.
【知识点】
勾股数的定义，整式的运算，规律探究
【点评】
本题以常见的奇数组勾股数为背景，既考查了学生观察归纳规律的推理能力，又结合代数式运算考查了勾股数的判定方法，兼顾了归纳总结能力和代数运算能力的考查，很好落实了推理能力的核心素养要求。
【难度系数】
0.7
