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9. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D.如果AD=6,BD=9,CD=4,那么∠BAC是直角吗?为什么?
答案
9.解:∠BAC是直角.理由如下:
∵$AD⊥BC$,
∴$∠ADB=∠ADC=90°$.
∴$AD^2 + BD^2 = AB^2$,$AD^2 + CD^2 = AC^2$.
∵$AD=6$,$BD=9$,$CD=4$,
∴$AB^2=6^2 +9^2=117$,$AC^2=6^2 +4^2=52$.
∵$BC=BD+CD=13$,
∴$BC^2=169$.
∴$AB^2 + AC^2 = BC^2$.
∴$∠BAC=90°$.
∵$AD⊥BC$,
∴$∠ADB=∠ADC=90°$.
∴$AD^2 + BD^2 = AB^2$,$AD^2 + CD^2 = AC^2$.
∵$AD=6$,$BD=9$,$CD=4$,
∴$AB^2=6^2 +9^2=117$,$AC^2=6^2 +4^2=52$.
∵$BC=BD+CD=13$,
∴$BC^2=169$.
∴$AB^2 + AC^2 = BC^2$.
∴$∠BAC=90°$.
解析
【分析】
要判断∠BAC是否为直角，可借助勾股定理的逆定理验证：若△ABC中AB²+AC²=BC²，则∠BAC为直角。已知AD⊥BC，可得△ADB、△ADC都是直角三角形，可先利用勾股定理分别求出AB²、AC²，再计算BC的长度并求出BC²，最后对比三者的数量关系即可得出结论。
【解析】
解：∠BAC是直角，理由如下：
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=∠ADC=90°$。
在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$，$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
∵$AD=6$，$BD=9$，$CD=4$，
∴$AB^2=6^2 +9^2=117$，$AC^2=6^2 +4^2=52$，
∵$BC=BD+CD=9+4=13$，
∴$BC^2=13^2=169$，
∵$117+52=169$，即$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴△ABC是直角三角形，$∠BAC=90°$。
【答案】
∠BAC是直角。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于勾股定理与其逆定理的基础综合应用题，解题核心是先在小直角三角形中用勾股定理计算边长的平方，再用逆定理判断目标角是否为直角，逻辑链条清晰，掌握两个定理的内容即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要判断∠BAC是否为直角，可借助勾股定理的逆定理验证：若△ABC中AB²+AC²=BC²，则∠BAC为直角。已知AD⊥BC，可得△ADB、△ADC都是直角三角形，可先利用勾股定理分别求出AB²、AC²，再计算BC的长度并求出BC²，最后对比三者的数量关系即可得出结论。
【解析】
解：∠BAC是直角，理由如下：
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ADB=∠ADC=90°$。
在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AD^2 + BD^2 = AB^2$，$AD^2 + CD^2 = AC^2$，
∵$AD=6$，$BD=9$，$CD=4$，
∴$AB^2=6^2 +9^2=117$，$AC^2=6^2 +4^2=52$，
∵$BC=BD+CD=9+4=13$，
∴$BC^2=13^2=169$，
∵$117+52=169$，即$AB^2 + AC^2 = BC^2$，
∴△ABC是直角三角形，$∠BAC=90°$。
【答案】
∠BAC是直角。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于勾股定理与其逆定理的基础综合应用题，解题核心是先在小直角三角形中用勾股定理计算边长的平方，再用逆定理判断目标角是否为直角，逻辑链条清晰，掌握两个定理的内容即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10. 下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（
A.1,2,3
B.2,3,4
C.0.3,0.4,0.5
D.6,8,10
D
）A.1,2,3
B.2,3,4
C.0.3,0.4,0.5
D.6,8,10
答案
10.D
解析
【分析】
要判断一组数是否为勾股数，需先明确勾股数的两个核心判定条件：一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方（符合勾股定理逆定理）。解题时可先排除非正整数的选项，再对剩余选项逐一验证平方和关系，即可快速得出正确结果。
【解析】
勾股数的定义为：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数平方的三个正整数，称为勾股数。
对各选项逐一分析：
A选项：1、2、3虽为正整数，但$1^2+2^2=1+4=5≠3^2=9$，且$1+2=3$无法构成三角形，不是勾股数；
B选项：2、3、4虽为正整数，但$2^2+3^2=4+9=13≠4^2=16$，不满足平方和关系，不是勾股数；
C选项：0.3、0.4、0.5虽满足$0.3^2+0.4^2=0.5^2$，但三个数都是小数，不是正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数；
D选项：6、8、10均为正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股数的全部要求，是勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，误选含小数的选项，解题时先排查非正整数选项，再验证平方和关系可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
要判断一组数是否为勾股数，需先明确勾股数的两个核心判定条件：一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方（符合勾股定理逆定理）。解题时可先排除非正整数的选项，再对剩余选项逐一验证平方和关系，即可快速得出正确结果。
【解析】
勾股数的定义为：满足两个较小正整数的平方和等于最大正整数平方的三个正整数，称为勾股数。
对各选项逐一分析：
A选项：1、2、3虽为正整数，但$1^2+2^2=1+4=5≠3^2=9$，且$1+2=3$无法构成三角形，不是勾股数；
B选项：2、3、4虽为正整数，但$2^2+3^2=4+9=13≠4^2=16$，不满足平方和关系，不是勾股数；
C选项：0.3、0.4、0.5虽满足$0.3^2+0.4^2=0.5^2$，但三个数都是小数，不是正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数；
D选项：6、8、10均为正整数，且$6^2+8^2=36+64=100=10^2$，满足勾股数的全部要求，是勾股数。
【答案】
D
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略勾股数必须为正整数的前提，误选含小数的选项，解题时先排查非正整数选项，再验证平方和关系可提高解题效率。
【难度系数】
0.7
11.若8,a,17是一组勾股数,则a=
15
.答案
11.15
解析
【分析】
首先明确勾股数的定义：可以构成直角三角形三边的一组正整数，满足两直角边的平方和等于斜边的平方。本题中不确定a和17哪个是最长边（斜边），因此需要分两种情况讨论：①17为斜边；②a为斜边。分别根据勾股定理计算a的值，再验证结果是否为正整数，符合要求的即为正确答案。
【解析】
已知8，a，17是一组勾股数，分两种情况计算：
1. 当17为最长边（斜边）时，根据勾股定理可得：
$a^2 + 8^2 = 17^2$
计算得：$a^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
因为a是正整数，所以$a = \sqrt{225} = 15$。
2. 当a为最长边（斜边）时，根据勾股定理可得：
$a^2 = 8^2 + 17^2 = 64 + 289 = 353$
由于353不是完全平方数，开方后不是正整数，不符合勾股数的定义，因此该情况舍去。
综上，a的值为15。
【答案】
15
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是注意分类讨论最长边的情况，同时要牢记勾股数必须是正整数，对不符合要求的结果要及时舍去，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
首先明确勾股数的定义：可以构成直角三角形三边的一组正整数，满足两直角边的平方和等于斜边的平方。本题中不确定a和17哪个是最长边（斜边），因此需要分两种情况讨论：①17为斜边；②a为斜边。分别根据勾股定理计算a的值，再验证结果是否为正整数，符合要求的即为正确答案。
【解析】
已知8，a，17是一组勾股数，分两种情况计算：
1. 当17为最长边（斜边）时，根据勾股定理可得：
$a^2 + 8^2 = 17^2$
计算得：$a^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$
因为a是正整数，所以$a = \sqrt{225} = 15$。
2. 当a为最长边（斜边）时，根据勾股定理可得：
$a^2 = 8^2 + 17^2 = 64 + 289 = 353$
由于353不是完全平方数，开方后不是正整数，不符合勾股数的定义，因此该情况舍去。
综上，a的值为15。
【答案】
15
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理
【点评】
本题解题的关键是注意分类讨论最长边的情况，同时要牢记勾股数必须是正整数，对不符合要求的结果要及时舍去，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
12. 将直角三角形三条边的长度同时扩大相同的倍数后得到的三角形 （
A.仍是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
A
）A.仍是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
答案
12.A
解析
【分析】
要判断直角三角形三边同时扩大相同倍数后的三角形形状，可结合勾股定理和勾股定理的逆定理分析：首先设原直角三角形的三边长，利用勾股定理列出三边关系；再表示出扩大相同倍数后的三边长，验证新的三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形形状。
【解析】
设原直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
设三条边同时扩大的倍数为$k$（$k＞0$），则扩大后的三边长分别为$ka$、$kb$、$kc$。
计算较短两边的平方和：$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2)$，
将$a^2 + b^2 = c^2$代入可得：$k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$。
根据勾股定理的逆定理，扩大后的三角形三边仍满足直角三角形的三边关系，因此仍是直角三角形。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是明确三角形三边同乘正数时，原有平方和的等量关系保持不变，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
要判断直角三角形三边同时扩大相同倍数后的三角形形状，可结合勾股定理和勾股定理的逆定理分析：首先设原直角三角形的三边长，利用勾股定理列出三边关系；再表示出扩大相同倍数后的三边长，验证新的三边是否满足勾股定理的逆定理，即可判断三角形形状。
【解析】
设原直角三角形的两条直角边长为$a$、$b$，斜边长为$c$，根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
设三条边同时扩大的倍数为$k$（$k＞0$），则扩大后的三边长分别为$ka$、$kb$、$kc$。
计算较短两边的平方和：$(ka)^2 + (kb)^2 = k^2a^2 + k^2b^2 = k^2(a^2 + b^2)$，
将$a^2 + b^2 = c^2$代入可得：$k^2(a^2 + b^2) = k^2c^2 = (kc)^2$。
根据勾股定理的逆定理，扩大后的三角形三边仍满足直角三角形的三边关系，因此仍是直角三角形。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题核心考查勾股定理及其逆定理的应用，解题关键是明确三角形三边同乘正数时，原有平方和的等量关系保持不变，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.9
13. $△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，下列条件：
①$∠ A=∠ B-∠ C$；②$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；③$a^2=(b+c)(b-c)$；④$a:b:c=5:12:13$. 其中能判定$△ ABC$是直角三角形的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$∠ A=∠ B-∠ C$；②$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$；③$a^2=(b+c)(b-c)$；④$a:b:c=5:12:13$. 其中能判定$△ ABC$是直角三角形的有（
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
13.C
解析
【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，可从两个角度切入：一是利用三角形内角和为180°，验证是否存在内角为90°；二是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，接下来我们逐个分析4个条件即可得到结论。
【解析】
我们对每个条件逐一验证：
1. 对条件①：已知$∠A=∠B-∠C$，变形得$∠B=∠A+∠C$。
根据三角形内角和为$180°$，即$∠A+∠B+∠C=180°$，将$∠A+∠C$替换为$∠B$，可得$2∠B=180°$，解得$∠B=90°$，因此△ABC是直角三角形，①符合要求。
2. 对条件②：已知$∠A:∠B:∠C=3:4:5$，设三个角分别为$3x、4x、5x$。
根据内角和列方程：$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，因此三个角分别为$45°、60°、75°$，没有直角，②不符合要求。
3. 对条件③：已知$a^2=(b+c)(b-c)$，展开右侧得$a^2=b^2-c^2$，移项得$a^2+c^2=b^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，③符合要求。
4. 对条件④：已知$a:b:c=5:12:13$，设三边长分别为$5k、12k、13k（k＞0）$。
计算平方和：$(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2=(13k)^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，④符合要求。
综上，①③④共3个条件可判定△ABC是直角三角形，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，解题时需分别从角、边两个维度逐一验证条件，遇到比例类条件时可通过设参数的方法简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC是否为直角三角形，可从两个角度切入：一是利用三角形内角和为180°，验证是否存在内角为90°；二是利用勾股定理的逆定理，验证三边是否满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，接下来我们逐个分析4个条件即可得到结论。
【解析】
我们对每个条件逐一验证：
1. 对条件①：已知$∠A=∠B-∠C$，变形得$∠B=∠A+∠C$。
根据三角形内角和为$180°$，即$∠A+∠B+∠C=180°$，将$∠A+∠C$替换为$∠B$，可得$2∠B=180°$，解得$∠B=90°$，因此△ABC是直角三角形，①符合要求。
2. 对条件②：已知$∠A:∠B:∠C=3:4:5$，设三个角分别为$3x、4x、5x$。
根据内角和列方程：$3x+4x+5x=180°$，解得$x=15°$，因此三个角分别为$45°、60°、75°$，没有直角，②不符合要求。
3. 对条件③：已知$a^2=(b+c)(b-c)$，展开右侧得$a^2=b^2-c^2$，移项得$a^2+c^2=b^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，③符合要求。
4. 对条件④：已知$a:b:c=5:12:13$，设三边长分别为$5k、12k、13k（k＞0）$。
计算平方和：$(5k)^2+(12k)^2=25k^2+144k^2=169k^2=(13k)^2$，满足勾股定理的逆定理，因此△ABC是直角三角形，④符合要求。
综上，①③④共3个条件可判定△ABC是直角三角形，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的两类判定方法，解题时需分别从角、边两个维度逐一验证条件，遇到比例类条件时可通过设参数的方法简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
14. 数学文化·《周髀算经》勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”。柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17……若此类勾股数的勾为10，则其弦是
26
。答案
14.26
解析
【分析】
首先明确题目给出的这类勾股数的特征：勾为偶数，是直角三角形的较短直角边，弦（斜边）比股（较长直角边）大2。已知勾的长度为10，我们可以先设股的长度为未知数，根据弦与股的差为2表示出弦的长度，再利用勾股定理列方程求解即可得到弦的长度。
【解析】
设该直角三角形的股长为$x$，根据题意可知弦长为$x+2$。
已知勾长为10，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$10^2 + x^2 = (x+2)^2$
展开等式右边得：
$100 + x^2 = x^2 + 4x + 4$
等式两边同时减去$x^2$，得：
$100 = 4x + 4$
移项计算得：
$4x = 100 - 4 = 96$
解得$x = 24$
则弦长为$x + 2 = 24 + 2 = 26$
【答案】
26
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；勾股数
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股定理的实际应用，解题的核心是抓住题干给出的弦与股的数量关系，合理设未知数后利用勾股定理建立方程求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出的这类勾股数的特征：勾为偶数，是直角三角形的较短直角边，弦（斜边）比股（较长直角边）大2。已知勾的长度为10，我们可以先设股的长度为未知数，根据弦与股的差为2表示出弦的长度，再利用勾股定理列方程求解即可得到弦的长度。
【解析】
设该直角三角形的股长为$x$，根据题意可知弦长为$x+2$。
已知勾长为10，根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$10^2 + x^2 = (x+2)^2$
展开等式右边得：
$100 + x^2 = x^2 + 4x + 4$
等式两边同时减去$x^2$，得：
$100 = 4x + 4$
移项计算得：
$4x = 100 - 4 = 96$
解得$x = 24$
则弦长为$x + 2 = 24 + 2 = 26$
【答案】
26
【知识点】
勾股定理；列方程解应用题；勾股数
【点评】
本题结合传统数学文化考查勾股定理的实际应用，解题的核心是抓住题干给出的弦与股的数量关系，合理设未知数后利用勾股定理建立方程求解，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
15.如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=
45
°。答案
15.45
解析
【分析】
要求∠EAF的度数，可先连接EF，将所求角放在△AEF中研究。借助网格小正方形边长为1的特点，利用勾股定理分别计算△AEF三边的长度平方，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，结合边的数量关系即可推出角的度数。
【解析】
连接EF，设每个小正方形的边长为1。
根据勾股定理，计算得：
$AE^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$EF^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$AF^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
因此$AE^2 + EF^2 = 5 + 5 = 10 = AF^2$，且$AE=EF$。
根据勾股定理的逆定理可知，△AEF是直角三角形，且$∠ AEF=90°$，即△AEF为等腰直角三角形，故$∠ EAF=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为网格类角度计算问题，解题核心是通过添加辅助线构造三角形，灵活运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状，进而求解角度，能很好地考查学生的数形结合能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.7
要求∠EAF的度数，可先连接EF，将所求角放在△AEF中研究。借助网格小正方形边长为1的特点，利用勾股定理分别计算△AEF三边的长度平方，再通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，结合边的数量关系即可推出角的度数。
【解析】
连接EF，设每个小正方形的边长为1。
根据勾股定理，计算得：
$AE^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$EF^2 = 1^2 + 2^2 = 5$，
$AF^2 = 3^2 + 1^2 = 10$，
因此$AE^2 + EF^2 = 5 + 5 = 10 = AF^2$，且$AE=EF$。
根据勾股定理的逆定理可知，△AEF是直角三角形，且$∠ AEF=90°$，即△AEF为等腰直角三角形，故$∠ EAF=45°$。
【答案】
45
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题为网格类角度计算问题，解题核心是通过添加辅助线构造三角形，灵活运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状，进而求解角度，能很好地考查学生的数形结合能力和几何运算能力。
【难度系数】
0.7
16. 如图，已知$CD=4$，$AD=3$，$∠ ADC=90°$，$BC=12$，$AB=13$。
(1)求$AC$的长。
(2)求图中阴影部分的面积。
(1)求$AC$的长。
(2)求图中阴影部分的面积。
答案
16.解:(1)在$Rt△ADC$中,$∠ADC=90°$,由勾股定理,得$AC^2 = CD^2 + AD^2 =4^2 +3^2=25$,$\therefore AC=5$.(2)$\because AC^2 + BC^2 =5^2 +12^2=13^2=AB^2$,$\therefore △ABC$是直角三角形,且$∠ACB=90°$. $\therefore S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{△ACD}=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=30-6=24$.
解析
【分析】
对于第(1)问，已知△ADC是直角三角形，且给出两条直角边AD、CD的长度，要求斜边AC，直接运用勾股定理计算即可；对于第(2)问，阴影部分面积为△ABC面积减去△ACD面积，首先需要判断△ABC的形状，将AC、BC、AB的长度代入验证是否满足勾股定理的逆定理，确认是直角三角形后，分别计算两个三角形的面积再作差就能得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 在$Rt△ADC$中，$∠ADC=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 = CD^2 + AD^2 =4^2 +3^2=25$
因为边长为正数，所以$AC=5$。
(2) 已知$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，验证三边关系：
$AC^2 + BC^2 =5^2 +12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2 + BC^2 =AB^2$
根据勾股定理的逆定理可得，$△ABC$是直角三角形，且$∠ACB=90°$。
因此阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×BC-\frac{1}{2}×AD×CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=30-6=24$
【答案】
(1) $AC=5$；(2) 阴影部分面积为24
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关知识的典型应用题型，解题逻辑清晰，先通过勾股定理求未知边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，最后用面积差法求解阴影面积，是几何部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，已知△ADC是直角三角形，且给出两条直角边AD、CD的长度，要求斜边AC，直接运用勾股定理计算即可；对于第(2)问，阴影部分面积为△ABC面积减去△ACD面积，首先需要判断△ABC的形状，将AC、BC、AB的长度代入验证是否满足勾股定理的逆定理，确认是直角三角形后，分别计算两个三角形的面积再作差就能得到阴影部分面积。
【解析】
(1) 在$Rt△ADC$中，$∠ADC=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 = CD^2 + AD^2 =4^2 +3^2=25$
因为边长为正数，所以$AC=5$。
(2) 已知$AC=5$，$BC=12$，$AB=13$，验证三边关系：
$AC^2 + BC^2 =5^2 +12^2=25+144=169$，$AB^2=13^2=169$，即$AC^2 + BC^2 =AB^2$
根据勾股定理的逆定理可得，$△ABC$是直角三角形，且$∠ACB=90°$。
因此阴影部分面积为：
$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×BC-\frac{1}{2}×AD×CD=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×3×4=30-6=24$
【答案】
(1) $AC=5$；(2) 阴影部分面积为24
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理相关知识的典型应用题型，解题逻辑清晰，先通过勾股定理求未知边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，最后用面积差法求解阴影面积，是几何部分的基础常考题。
【难度系数】
0.8
