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1. 下列四组数能作为直角三角形的三边长的是（
A.1,1,2
B.6,7,8
C.5,12,14
D.3,4,5
D
）A.1,1,2
B.6,7,8
C.5,12,14
D.3,4,5
答案
1.D
解析
【分析】
要判断四组数能否作为直角三角形的三边长，分两步思考：第一步先验证每组数是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），若不满足则直接排除；第二步对满足三边关系的数组，应用勾股定理的逆定理：找到数组中最长的边，计算两个较短边的平方和，若和最长边的平方相等，则该数组可作为直角三角形的三边长，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：1+1=2，不满足三角形“两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，排除；
B选项：最长边为8，计算得$6^2 +7^2=36+49=85$，$8^2=64$，$85≠64$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形，排除；
C选项：最长边为14，计算得$5^2 +12^2=25+144=169$，$14^2=196$，$169≠196$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形，排除；
D选项：最长边为5，计算得$3^2 +4^2=9+16=25$，$5^2=25$，$3^2 +4^2=5^2$，满足勾股定理逆定理，可以作为直角三角形的三边长。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时注意要先判断三边能否构成三角形，再验证勾股逆定理的条件，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断四组数能否作为直角三角形的三边长，分两步思考：第一步先验证每组数是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），若不满足则直接排除；第二步对满足三边关系的数组，应用勾股定理的逆定理：找到数组中最长的边，计算两个较短边的平方和，若和最长边的平方相等，则该数组可作为直角三角形的三边长，反之则不能。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：1+1=2，不满足三角形“两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，排除；
B选项：最长边为8，计算得$6^2 +7^2=36+49=85$，$8^2=64$，$85≠64$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形，排除；
C选项：最长边为14，计算得$5^2 +12^2=25+144=169$，$14^2=196$，$169≠196$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形，排除；
D选项：最长边为5，计算得$3^2 +4^2=9+16=25$，$5^2=25$，$3^2 +4^2=5^2$，满足勾股定理逆定理，可以作为直角三角形的三边长。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查勾股定理逆定理的实际应用，解题时注意要先判断三边能否构成三角形，再验证勾股逆定理的条件，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别为$a$，$b,c$，且$a^2 - b^2 = c^2$，则下列说法正确的是（
A.$∠ C$是直角
B.$∠ B$是直角
C.$∠ A$是直角
D.$∠ A$是锐角
C
）A.$∠ C$是直角
B.$∠ B$是直角
C.$∠ A$是直角
D.$∠ A$是锐角
答案
2.C
解析
【分析】
看到题目给出三角形三边的平方关系，首先联想到勾股定理的逆定理，该定理是判定直角三角形的重要依据。解题时第一步先对已知的等式进行移项变形，整理成“两边平方和等于第三边平方”的标准形式，从而确定最长边，再根据“最长边所对的角为直角”的规律，就能判断出直角的位置，进而选出正确选项。
【解析】
解：已知△ABC的三边满足$a^2 - b^2 = c^2$，
对等式移项可得：$a^2 = b^2 + c^2$，
根据勾股定理的逆定理：若三角形中两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，且第三边为斜边，斜边所对的角为直角。
由此可知△ABC是直角三角形，最长边为$a$，边$a$对应的角是$∠A$，因此$∠A$是直角。
逐一判断选项：
A.$∠C$是直角，错误；
B.$∠B$是直角，错误；
C.$∠A$是直角，正确；
D.$∠A$是锐角，错误。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形边角对应关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，解题关键是通过等式变形找准最长边，明确斜边对应的角为直角，易错点是容易混淆边与角的对应关系，误将$c^2$对应的角当成直角。
【难度系数】
0.8
看到题目给出三角形三边的平方关系，首先联想到勾股定理的逆定理，该定理是判定直角三角形的重要依据。解题时第一步先对已知的等式进行移项变形，整理成“两边平方和等于第三边平方”的标准形式，从而确定最长边，再根据“最长边所对的角为直角”的规律，就能判断出直角的位置，进而选出正确选项。
【解析】
解：已知△ABC的三边满足$a^2 - b^2 = c^2$，
对等式移项可得：$a^2 = b^2 + c^2$，
根据勾股定理的逆定理：若三角形中两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形，且第三边为斜边，斜边所对的角为直角。
由此可知△ABC是直角三角形，最长边为$a$，边$a$对应的角是$∠A$，因此$∠A$是直角。
逐一判断选项：
A.$∠C$是直角，错误；
B.$∠B$是直角，错误；
C.$∠A$是直角，正确；
D.$∠A$是锐角，错误。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的逆定理、直角三角形边角对应关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题，解题关键是通过等式变形找准最长边，明确斜边对应的角为直角，易错点是容易混淆边与角的对应关系，误将$c^2$对应的角当成直角。
【难度系数】
0.8
3.若$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$|a-7|+|24-b|+(c-25)^2=0$,则$△ ABC$是 （
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
A
）A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先观察到等式是绝对值、绝对值与平方的和为0，根据非负数的性质，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此可以先求出三边长a、b、c的具体数值；再结合勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边的平方和等于第三边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ 绝对值和偶次平方都具有非负性，即$|a-7|≥0$，$|24-b|≥0$，$(c-25)^2≥0$，且三者的和为0
∴ 可得：
$\{\begin{array}{l}a-7=0\\24-b=0\\c-25=0\end{array} $
解得：$a=7$，$b=24$，$c=25$
接下来验证三边关系：
$a^2+b^2=7^2+24^2=49+576=625$
$c^2=25^2=625$
∴ $a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且三边长度不相等，不是等腰或等边三角形。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查非负数的性质与直角三角形的判定，解题的核心是先根据非负性求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到等式是绝对值、绝对值与平方的和为0，根据非负数的性质，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此可以先求出三边长a、b、c的具体数值；再结合勾股定理的逆定理，验证三边是否满足两边的平方和等于第三边的平方，即可判断三角形的形状。
【解析】
∵ 绝对值和偶次平方都具有非负性，即$|a-7|≥0$，$|24-b|≥0$，$(c-25)^2≥0$，且三者的和为0
∴ 可得：
$\{\begin{array}{l}a-7=0\\24-b=0\\c-25=0\end{array} $
解得：$a=7$，$b=24$，$c=25$
接下来验证三边关系：
$a^2+b^2=7^2+24^2=49+576=625$
$c^2=25^2=625$
∴ $a^2+b^2=c^2$
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形，且三边长度不相等，不是等腰或等边三角形。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查非负数的性质与直角三角形的判定，解题的核心是先根据非负性求出三角形三边长，再利用勾股定理的逆定理判断三角形形状，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
4.放学后,彬彬先去同学晓华家写了一个小时的作业,然后才回到家里.已知学校A、晓华家B、彬彬家C的两两之间的距离如图所示,且晓华家B在学校A的正东方向,则彬彬家C在学校A的 (
A.正南方向
B.正东方向
C.正西方向
D.正北方向
D
)A.正南方向
B.正东方向
C.正西方向
D.正北方向
答案
4.D
解析
【分析】
要判断彬彬家C在学校A的方向，已知晓华家B在A的正东方向，若能证明AC与AB垂直，就可结合方位的对应关系得出C的方向。解题时首先运用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形：先计算两条短边的平方和，再与最长边的平方比较，若二者相等，则△ABC是直角三角形，且两条短边的夹角∠A为直角，再结合方位特征即可得出结论。
【解析】
首先计算△ABC三边的平方：
$AC^2=500^2=250000$，$AB^2=1200^2=1440000$，
则$AC^2+AB^2=250000+1440000=1690000$，
又$BC^2=1300^2=1690000$，
因此$AC^2+AB^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ A=90°$，即$AC⊥ AB$。
已知B在A的正东方向，说明AB为东西走向的线段，与AB垂直的AC则为南北走向，结合图形位置可得C在A的正北方向。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；方向与位置
【点评】
本题将几何定理和方位判断结合考查，解题的核心是先利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，得到垂直关系后结合已知方位推导目标方位，难度不大，重在对基础定理的应用。
【难度系数】
0.8
要判断彬彬家C在学校A的方向，已知晓华家B在A的正东方向，若能证明AC与AB垂直，就可结合方位的对应关系得出C的方向。解题时首先运用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形：先计算两条短边的平方和，再与最长边的平方比较，若二者相等，则△ABC是直角三角形，且两条短边的夹角∠A为直角，再结合方位特征即可得出结论。
【解析】
首先计算△ABC三边的平方：
$AC^2=500^2=250000$，$AB^2=1200^2=1440000$，
则$AC^2+AB^2=250000+1440000=1690000$，
又$BC^2=1300^2=1690000$，
因此$AC^2+AB^2=BC^2$，根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ A=90°$，即$AC⊥ AB$。
已知B在A的正东方向，说明AB为东西走向的线段，与AB垂直的AC则为南北走向，结合图形位置可得C在A的正北方向。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；方向与位置
【点评】
本题将几何定理和方位判断结合考查，解题的核心是先利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，得到垂直关系后结合已知方位推导目标方位，难度不大，重在对基础定理的应用。
【难度系数】
0.8
5. 如图，三个正方形的面积分别为$S_1=3,S_2=2,S_3=1$，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，$∠1+∠2=$
90
°。答案
5.90
解析
【分析】
解题时首先结合正方形面积与边长的关系，得到围成三角形的三条边的平方分别对应三个正方形的面积；再通过计算验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，利用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形；最后根据直角三角形两个锐角互余的性质，即可求出∠1与∠2的和。
【解析】
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴围成的三角形的三条边的平方分别为$S_1=3$，$S_2=2$，$S_3=1$。
∵$S_2 + S_3 = 2 + 1 = 3 = S_1$，
∴根据勾股定理的逆定理，可知这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。
又
∵直角三角形的两个锐角互余，∠1和∠2是这个直角三角形的两个锐角，
∴$∠1 + ∠2 = 90°$。
【答案】
90
【知识点】
正方形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础综合题，将正方形性质与直角三角形的判定、性质相结合考查，解题的关键是建立正方形面积和三角形边长平方的关联，熟练掌握相关性质定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合正方形面积与边长的关系，得到围成三角形的三条边的平方分别对应三个正方形的面积；再通过计算验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方，利用勾股定理的逆定理判断该三角形是否为直角三角形；最后根据直角三角形两个锐角互余的性质，即可求出∠1与∠2的和。
【解析】
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴围成的三角形的三条边的平方分别为$S_1=3$，$S_2=2$，$S_3=1$。
∵$S_2 + S_3 = 2 + 1 = 3 = S_1$，
∴根据勾股定理的逆定理，可知这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角为直角。
又
∵直角三角形的两个锐角互余，∠1和∠2是这个直角三角形的两个锐角，
∴$∠1 + ∠2 = 90°$。
【答案】
90
【知识点】
正方形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是几何基础综合题，将正方形性质与直角三角形的判定、性质相结合考查，解题的关键是建立正方形面积和三角形边长平方的关联，熟练掌握相关性质定理就能快速解答。
【难度系数】
0.8
6.木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为2.4 m，宽为1.8 m，对角线长为3 m，则这个桌面
合格
（填“合格”或“不合格”）。答案
6.合格
解析
【分析】
要判断长方形桌面是否合格，本质是判断桌面的内角是否为直角。已知长方形的长、宽和对角线的长度，若三者长度满足勾股定理的逆定理，说明长、宽、对角线可构成直角三角形，即桌面内角为直角，桌面合格，反之则不合格。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，验证长、宽的平方和与对角线的平方是否相等：
计算得：$2.4^2 = 5.76$，$1.8^2 = 3.24$
则长和宽的平方和为：$2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$
对角线的平方为：$3^2 = 9$
因此$2.4^2 + 1.8^2 = 3^2$，说明长、宽、对角线可构成直角三角形，桌面的内角为直角，符合长方形的要求。
【答案】
合格
【知识点】
勾股定理的逆定理；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理的实际应用问题，解题关键是将判断桌面是否合格的实际问题转化为验证三边是否满足勾股定理逆定理的数学问题，计算难度低，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
要判断长方形桌面是否合格，本质是判断桌面的内角是否为直角。已知长方形的长、宽和对角线的长度，若三者长度满足勾股定理的逆定理，说明长、宽、对角线可构成直角三角形，即桌面内角为直角，桌面合格，反之则不合格。
【解析】
根据勾股定理的逆定理，验证长、宽的平方和与对角线的平方是否相等：
计算得：$2.4^2 = 5.76$，$1.8^2 = 3.24$
则长和宽的平方和为：$2.4^2 + 1.8^2 = 5.76 + 3.24 = 9$
对角线的平方为：$3^2 = 9$
因此$2.4^2 + 1.8^2 = 3^2$，说明长、宽、对角线可构成直角三角形，桌面的内角为直角，符合长方形的要求。
【答案】
合格
【知识点】
勾股定理的逆定理；长方形的性质
【点评】
本题是勾股定理逆定理的实际应用问题，解题关键是将判断桌面是否合格的实际问题转化为验证三边是否满足勾股定理逆定理的数学问题，计算难度低，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
7.若一个三角形的三边长分别为12，16，20，则它的面积为
96
.答案
7.96
解析
【分析】
已知三角形三边长求面积，首先可通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，若二者相等，则该三角形为直角三角形，较短两边就是直角边，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：先计算各边长的平方：
$12^2=144$，$16^2=256$，$20^2=400$
$\because 144+256=400$，即$12^2+16^2=20^2$
$\therefore$ 由勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，直角边为12和16，斜边为20
$\therefore$ 该三角形的面积$S=\frac{1}{2}×12×16=96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再代入面积公式求解，属于基础题型，熟练掌握勾股逆定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
已知三角形三边长求面积，首先可通过勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形：先分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，若二者相等，则该三角形为直角三角形，较短两边就是直角边，再用直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：先计算各边长的平方：
$12^2=144$，$16^2=256$，$20^2=400$
$\because 144+256=400$，即$12^2+16^2=20^2$
$\therefore$ 由勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形，直角边为12和16，斜边为20
$\therefore$ 该三角形的面积$S=\frac{1}{2}×12×16=96$
【答案】
96
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题解题核心是先利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再代入面积公式求解，属于基础题型，熟练掌握勾股逆定理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
8. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a=2$，$b=\frac{5}{2}$，$c=\frac{3}{2}$，则$△ ABC$是直角三角形吗？
小亮的解答如下：
解：$△ ABC$不是直角三角形.理由如下：
$\because a^2=4$，$b^2+c^2=(\frac{5}{2})^2+(\frac{3}{2})^2=\frac{17}{2}$，
$\therefore a^2≠ b^2+c^2$.
$\therefore △ ABC$不是直角三角形.
请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.
小亮的解答如下：
解：$△ ABC$不是直角三角形.理由如下：
$\because a^2=4$，$b^2+c^2=(\frac{5}{2})^2+(\frac{3}{2})^2=\frac{17}{2}$，
$\therefore a^2≠ b^2+c^2$.
$\therefore △ ABC$不是直角三角形.
请问小亮的解答正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.
答案
8.解:小亮的解答不正确.正确的解答过程如下:△ABC是直角三角形.理由如下:
∵$a^2 + c^2 =2^2 +(\frac{3}{2})^2=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$,$b^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$,$\therefore a^2 + c^2 =b^2. \therefore ∠B=90°. \therefore △ABC$是直角三角形.
∵$a^2 + c^2 =2^2 +(\frac{3}{2})^2=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$,$b^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$,$\therefore a^2 + c^2 =b^2. \therefore ∠B=90°. \therefore △ABC$是直角三角形.
解析
【分析】
判断三角形是否为直角三角形需使用勾股定理的逆定理，正确操作步骤为：第一步先比较三边长，找出最长边（只有最长边才可能是直角对应的斜边），第二步验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。小亮的错误在于没有先确定最长边，误将较短的边a当作斜边验证，才得出了错误结论，我们解题时先确定最长边再按逆定理验证即可。
【解析】
小亮的解答不正确，正确解答过程如下：
先比较三边长度：$b=\frac{5}{2}=2.5$，$a=2$，$c=\frac{3}{2}=1.5$，可得最长边为$b$。
计算两条较短边的平方和：$a^2 + c^2 =2^2 +(\frac{3}{2})^2=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$，
计算最长边的平方：$b^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，
因此$a^2 + c^2 =b^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠B=90°$，所以$△ABC$是直角三角形。
【答案】
小亮的解答不正确，$△ABC$是直角三角形。
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理应用的基础易错题型，核心考查逆定理的正确使用方法，解题时注意必须先确定最长边再验证平方和关系，避免因选错斜边得到错误结论。
【难度系数】
0.7
判断三角形是否为直角三角形需使用勾股定理的逆定理，正确操作步骤为：第一步先比较三边长，找出最长边（只有最长边才可能是直角对应的斜边），第二步验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。小亮的错误在于没有先确定最长边，误将较短的边a当作斜边验证，才得出了错误结论，我们解题时先确定最长边再按逆定理验证即可。
【解析】
小亮的解答不正确，正确解答过程如下：
先比较三边长度：$b=\frac{5}{2}=2.5$，$a=2$，$c=\frac{3}{2}=1.5$，可得最长边为$b$。
计算两条较短边的平方和：$a^2 + c^2 =2^2 +(\frac{3}{2})^2=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$，
计算最长边的平方：$b^2=(\frac{5}{2})^2=\frac{25}{4}$，
因此$a^2 + c^2 =b^2$，根据勾股定理的逆定理可得$∠B=90°$，所以$△ABC$是直角三角形。
【答案】
小亮的解答不正确，$△ABC$是直角三角形。
【知识点】
1. 勾股定理的逆定理
2. 直角三角形的判定
【点评】
本题是勾股定理逆定理应用的基础易错题型，核心考查逆定理的正确使用方法，解题时注意必须先确定最长边再验证平方和关系，避免因选错斜边得到错误结论。
【难度系数】
0.7
