1. (1)【观察思考】如图,线段AB上有两个点C,D,分别以点A,B,C,D为端点的线段共有条。

(2)【模型构建】若线段上有m个点(包括端点),则该线段上共有条线段。
(3)【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛,比赛采用单循环制(即每两支球队之间都要进行一场比赛),请你应用上述模型构建,求一共要进行多少场比赛。

(1)6
(2)$\frac{m(m-1)}{2}$
(3)把10支球队看作直线上的10个点,每两支球队之间的一场比赛看作一条线段,由题知,当m=10时,$\frac{m(m-1)}{2}$=45。
答:一共要进行45场比赛。

【分析】
(1) 数线段时按照固定左端点、依次匹配右端点的顺序计数，可避免重复或遗漏，将所有类别的线段数量相加即可得到总条数。
(2) 推导通用规律时，先明确每个点可与其余(m-1)个点连接形成线段，由于每条线段会被两个端点各计算1次，因此总计数结果需要除以2得到实际线段数量。
(3) 单循环比赛的规则是每两支球队仅进行一场比赛，与两点确定唯一一条线段的逻辑一致，因此可将球队对应为点、比赛对应为线段，直接代入第二问得到的规律计算即可。
【解析】
(1) 按左端点分类计数：
以A为左端点的线段有AC、AD、AB，共3条；
以C为左端点的线段有CD、CB，共2条；
以D为左端点的线段有DB，共1条；
总条数为$3+2+1=6$条。
(2) 线段上共有m个点时，每个点可与剩余$(m-1)$个点连成$(m-1)$条线段，m个点共得到$m(m-1)$条计数结果，每条线段被重复计算2次，因此实际线段总条数为$\frac{m(m-1)}{2}$。
(3) 把10支球队看作线段上的10个点，每两支球队之间的1场比赛对应1条线段，即比赛总场次等于10个点构成的线段总条数。
将$m=10$代入$\frac{m(m-1)}{2}$得：
$\frac{10×(10-1)}{2}=\frac{10×9}{2}=45$（场）
【答案】
(1)6；(2)$\frac{m(m-1)}{2}$；(3)一共要进行45场比赛
【知识点】
线段计数、规律探究、实际应用建模
【点评】
本题从基础的线段计数出发，引导学生归纳通用计数规律，再将规律迁移到实际问题的求解中，考查了有序计数、归纳推理以及知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.75

2. 在下列现象中,可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是 （）

2.C

【分析】
解题时首先明确题干要求：找出能用“两点之间线段最短”解释的现象。我们先要区分两个常见的几何基本事实：一是“两点确定一条直线”，一般用于确定直的基准线；二是“两点之间线段最短”，一般用于解释缩短路程类的现象。接下来逐个分析每个选项对应的原理，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
对四个选项逐一分析：
A. 摆直茶杯是为了让茶杯排成一条直线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，不符合题意；
B. 泥工砌墙时拉水平线保证墙体笔直，利用的是“两点确定一条直线”的原理，不符合题意；
C. 弯路改直是将A、B两地之间的弯曲路径改为直路，因为两点之间线段最短，改直后两地之间的路程更短，符合“两点之间线段最短”的基本事实，符合题意；
D. 射击瞄准采用“三点一线”的方法，利用的是“两点确定一条直线”的原理，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题结合生活实例考查几何基本事实的应用，解题的关键是区分“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”两个易混原理，结合实例的应用场景即可准确判断。
【难度系数】
0.8

3. 已知点B在线段AC上，点D在线段AB上。

(1)如图1，若AB=6cm，BC=4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度。
(2)如图2，若BD=$\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$，E为线段AB的中点，EC=12cm，求线段AC的长度。

(1)因为AC=AB+BC,AB=6cm,BC=4cm,所以AC=6+4=10(cm)。又因为D为线段AC的中点,所以DC=$\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$(cm),所以DB=DC-BC=5-4=1(cm)。
(2)设BD=x cm,因为$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$,所以AB=4BD=4x cm,CD=3BD=3x cm,又因为DC=DB+BC,所以BC=3x-x=2x(cm)。又因为AC=AB+BC,所以AC=4x+2x=6x(cm),因为E为线段AB的中点,所以BE=$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x$(cm)。又因为EC=BE+BC,所以EC=2x+2x=4x(cm)。又因为EC=12cm,所以4x=12,解得x=3。所以AC=6x=6×3=18(cm)。

【分析】
(1) 要求线段DB的长度，先观察线段位置关系：DB=DC-BC，已知BC长度，因此需要先求DC的长度。已知D是AC中点，所以先通过AB、BC的长度求出AC总长，再利用中点性质得到DC，最后作差即可求出DB。
(2) 题目给出BD与AB、CD的比例关系，适合用设参数的方法求解：设BD的长度为x，将AB、CD都用含x的式子表示，再结合线段和差关系求出BC、BE的表达式，根据EC的长度建立关于x的方程，解出x后就能算出AC的长度。
【解析】
(1) 解：根据线段和的关系，$AC=AB+BC$，
已知$AB=6\mathrm{cm}$，$BC=4\mathrm{cm}$，代入得$AC=6+4=10(\mathrm{cm})$。
因为D为线段AC的中点，由中点性质得$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5(\mathrm{cm})$，
因此$DB=DC-BC=5-4=1(\mathrm{cm})$。
(2) 解：设$BD=x\ \mathrm{cm}$，
因为$BD=\frac{1}{4}AB=\frac{1}{3}CD$，所以$AB=4BD=4x\ \mathrm{cm}$，$CD=3BD=3x\ \mathrm{cm}$。
根据线段和的关系$DC=DB+BC$，得$BC=DC-DB=3x-x=2x(\mathrm{cm})$，
因此$AC=AB+BC=4x+2x=6x(\mathrm{cm})$。
因为E为线段AB的中点，由中点性质得$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x(\mathrm{cm})$，
又因为$EC=BE+BC$，所以$EC=2x+2x=4x(\mathrm{cm})$。
已知$EC=12\mathrm{cm}$，因此$4x=12$，解得$x=3$，
代入得$AC=6x=6×3=18(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1\mathrm{cm}}$；(2) $\boldsymbol{18\mathrm{cm}}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点的性质，比例线段求解
【点评】
本题是线段计算的常规题型，第一问侧重基础的线段和差与中点性质的直接应用，第二问通过设参数将比例关系转化为线段长度的数量关系，结合方程求解，能有效提升对线段位置关系的分析和运算能力。
【难度系数】
0.7