4. 已知线段AB=8,点C在直线AB上, $AC=\frac{1}{2}AB$,则BC的长为。

4或12

【分析】
解题首先要注意题目中“点C在直线AB上”这一条件，直线可以向两端无限延伸，因此点C的位置有两种可能：①点C在线段AB上；②点C在线段BA的延长线上。首先根据已知条件算出AC的长度，再分两种情况结合线段的和差关系计算BC的长度即可。
【解析】
已知AB=8，$AC=\frac{1}{2}AB$，因此$AC=\frac{1}{2}×8=4$，分两种情况讨论：
1. 当点C在线段AB上时：
$BC=AB-AC=8-4=4$
2. 当点C在线段BA的延长线上时：
$BC=AB+AC=8+4=12$
综上，BC的长为4或12。
【答案】
4或12
【知识点】
线段的和差计算；直线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略直线可无限延伸的性质，只考虑点C在线段AB上的情况导致漏解，解题时要注意区分“点在直线上”和“点在线段上”的表述差异，遇到未明确点位置的线段计算问题时，要主动分类讨论所有可能的位置。
【难度系数】
0.6

5. 如图，C是线段AB上一点，AC=12，CB=$\frac{1}{3}$AC，D是AC的中点。
(1)求DB的长。
(2)已知点E在线段AB上，且DE=$\frac{1}{5}$DB，求BE的长。

(1)因为AC=12,$CB=\frac{1}{3}AC$,所以$CB=\frac{1}{3}×12=4$,因为D是AC的中点,所以$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$,所以DB=CD+CB=6+4=10。
(2)分两种情况。
①如图1,当点E在点D右侧时,
因为DB=10,$DE=\frac{1}{5}DB=\frac{1}{5}×10=2$,所以BE=BD-DE=10-2=8;
②如图2,当点E在点D左侧时,
因为DB=10,$DE=\frac{1}{5}DB=\frac{1}{5}×10=2$,所以BE=BD+DE=10+2=12。综上所述,BE的长为8或12。

【分析】
(1) 求DB的长度时，观察线段图可知DB由CD和CB两段组成，因此我们先根据已知的CB与AC的数量关系求出CB的长度，再利用线段中点的性质求出CD的长度，将两段长度相加即可得到DB的长。
(2) 第二问已知DE与DB的数量关系，可先求出DE的长度；由于题目仅说明点E在线段AB上，未明确E在D的哪一侧，因此需要分两种情况讨论：①点E在D的右侧，②点E在D的左侧，再分别根据线段的和差关系计算BE的长度即可。
【解析】
(1) 已知$AC=12$，$CB=\frac{1}{3}AC$，代入计算得：
$CB=\frac{1}{3}×12=4$
因为D是AC的中点，根据线段中点的定义可得：
$CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$
根据线段和差关系，$DB=CD+CB=6+4=10$。
(2) 由$DE=\frac{1}{5}DB$，$DB=10$，计算得：
$DE=\frac{1}{5}×10=2$，分两种情况讨论：
① 当点E在点D右侧时，
此时$BE=BD-DE=10-2=8$；
② 当点E在点D左侧时，
此时$BE=BD+DE=10+2=12$。
综上，BE的长为8或12。
【答案】
(1) $DB=10$；
(2) BE的长为8或12，对应情况示意图：①；②
【知识点】
线段中点定义；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常规题型，第一问侧重基础，考查线段中点性质和和差运算的基本应用；第二问需要注意未明确点的相对位置时，要分类讨论所有可能的情况，避免漏解，可有效锻炼思维的严谨性。
【难度系数】
0.7

6. 如图,数轴上有A,B,C三点,点C表示的数为60,点B在点C的左侧且BC=50,点A,B表示的数互为相反数。数轴上有一动点P从点C出发,以每秒5个单位长度的速度向左沿数轴运动,设运动时间为$t\ \mathrm{s}(t＞0)$。
(1)点A表示的数是;点B表示的数是。
(2)当t为何值时 $PB=\frac{1}{2}PA$?
(3)若点A,B,C,P同时在数轴上运动,点A和点C分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动,点B以每秒4个单位长度的速度向左运动。请问:是否存在某一时段,使$4CP+3BP-3AP$的值为一个定值?若存在,请求出这个定值及对应的t的取值范围;若不存在,请说明理由。

(1)因为点C表示的数为60,点B在点C的左侧且BC=50,所以点B表示的数为60-50=10,因为点A,B表示的数互为相反数,所以点A表示的数为-10。故答案为:-10;10。
(2)根据题意知点P表示的数为60-5t,点A表示的数为-10,点B表示的数为10,所以PB=|50-5t|,PA=|70-5t|,因为$PB=\frac{1}{2}PA$,所以$|50-5t|=\frac{1}{2}|70-5t|$,解得t=6或$t=\frac{34}{3}$ , 所以当t=6或$t=\frac{34}{3}$时,$PB=\frac{1}{2}PA$。
(3)存在,当10≤t≤50时,其值为定值,此定值为360。根据题意得点A,B,C,P表示的数分别为-10+2t,10-4t,60+t,60-5t,所以CP=6t,BP=|50-t|,AP=|70-7t|,所以4CP+3BP-3AP=24t+3|50-t|-3|70-7t|。
当0≤t＜10时,其值为42t-60;当10≤t≤50时,其值为360;当t＞50时,其值为6t+60,所以当10≤t≤50时,其值为定值,此定值为360。

【分析】
(1) 先根据点C的数值和BC的长度，结合B在C左侧的位置关系求出B对应的数，再根据相反数的定义求出A对应的数即可。
(2) 先写出运动t秒后点P对应的数，再根据数轴上两点距离等于对应数差的绝对值表示出PB和PA，结合$PB=\frac{1}{2}PA$列绝对值方程，分情况去绝对值求解即可。
(3) 先分别表示出四个点运动t秒后对应的数，再推导CP、BP、AP的表达式代入目标式，根据绝对值内式子的正负分区间讨论化简，找到t的系数为0的区间即可得到定值和对应t的范围。
【解析】
(1) 已知点C表示的数为60，点B在C左侧且$BC=50$，因此点B表示的数为$60-50=10$。
因为A、B表示的数互为相反数，所以点A表示的数为$-10$。
(2) 动点P从C出发向左运动，速度为每秒5个单位，t秒后P表示的数为$60-5t$。
根据数轴两点距离公式：
$PB=|(60-5t)-10|=|50-5t|$，$PA=|(60-5t)-(-10)|=|70-5t|$。
由$PB=\frac{1}{2}PA$得方程：$|50-5t|=\frac{1}{2}|70-5t|$，两边乘2得$|100-10t|=|70-5t|$。
分两种情况求解：
① 当$100-10t=70-5t$时，解得$t=6$；
② 当$100-10t=-(70-5t)$时，解得$t=\frac{34}{3}$。
(3) 存在。首先写出t秒后各点对应的数：
点A向右运动，对应数为$-10+2t$；点B向左运动，对应数为$10-4t$；点C向右运动，对应数为$60+t$；点P向左运动，对应数为$60-5t$。
计算各段距离：
$CP=|(60+t)-(60-5t)|=6t$（$t＞0$，直接去绝对值）；
$BP=|(60-5t)-(10-4t)|=|50-t|$；
$AP=|(60-5t)-(-10+2t)|=|70-7t|$。
代入目标式得：
$4CP+3BP-3AP=24t+3|50-t|-3|70-7t|$
分区间化简：
① 当$0＜t＜10$时，$50-t＞0$，$70-7t＞0$，原式$=24t+3(50-t)-3(70-7t)=42t-60$，值随t变化，不是定值；
② 当$10≤t≤50$时，$50-t≥0$，$70-7t≤0$，原式$=24t+3(50-t)-3(7t-70)=360$，t的系数为0，是定值；
③ 当$t＞50$时，$50-t＜0$，$70-7t＜0$，原式$=24t+3(t-50)-3(7t-70)=6t+60$，值随t变化，不是定值。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-10}$；$\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{t=6}$或$\boldsymbol{t=\frac{34}{3}}$
(3) 存在，当$\boldsymbol{10≤t≤50}$时，$4CP+3BP-3AP$的值为定值$\boldsymbol{360}$。
【知识点】
数轴与相反数；动点距离计算；绝对值化简
【点评】
本题是数轴动点的综合题型，考查了数轴两点距离公式、绝对值方程求解、分类讨论思想的应用，解题核心是准确用含t的代数式表示各点对应数，再根据绝对值性质分区间化简，是数轴类问题的典型考法。
【难度系数】
0.3