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一、选择题
1. 小明用加减消元法解方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7, &① \\x + 2y = -3. &②\end{cases}$给出下列步骤：
(1) ①－②，得$2x = 4$；(2) 所以$x = 2$；(3) 把$x = 2$代入①，得$y = \frac{1}{2}$；
(4) 所以这个方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = \frac{1}{2}.\end{cases}$小明最先出现错误的一步是( ).
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
1. 小明用加减消元法解方程组$\begin{cases}3x + 2y = 7, &① \\x + 2y = -3. &②\end{cases}$给出下列步骤：
(1) ①－②，得$2x = 4$；(2) 所以$x = 2$；(3) 把$x = 2$代入①，得$y = \frac{1}{2}$；
(4) 所以这个方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = \frac{1}{2}.\end{cases}$小明最先出现错误的一步是( ).
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查加减消元法解二元一次方程组的正误判断，解题时先观察方程组中未知数的系数，发现两个方程里y的系数相同，因此可以通过①-②消去y，计算时要注意有理数的减法规则：减去一个负数等于加上这个负数的相反数，按正确计算过程对比小明的步骤就能找到最先出错的环节。
【解析】
按加减消元法的正确运算规则计算：
1. 计算①-②，左边：$(3x+2y)-(x+2y)=3x+2y-x-2y=2x$；
右边：$7-(-3)=7+3=10$，因此①-②应得到$2x=10$，小明算成了$2x=4$，所以第(1)步就已经出现错误。
综上，小明最先出错的是步骤(1)，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，有理数减法运算
【点评】
本题是加减消元法的基础考查题，解题的关键是注意带负数的减法运算的符号变化，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
本题考查加减消元法解二元一次方程组的正误判断，解题时先观察方程组中未知数的系数，发现两个方程里y的系数相同，因此可以通过①-②消去y，计算时要注意有理数的减法规则：减去一个负数等于加上这个负数的相反数，按正确计算过程对比小明的步骤就能找到最先出错的环节。
【解析】
按加减消元法的正确运算规则计算：
1. 计算①-②，左边：$(3x+2y)-(x+2y)=3x+2y-x-2y=2x$；
右边：$7-(-3)=7+3=10$，因此①-②应得到$2x=10$，小明算成了$2x=4$，所以第(1)步就已经出现错误。
综上，小明最先出错的是步骤(1)，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
加减消元法，有理数减法运算
【点评】
本题是加减消元法的基础考查题，解题的关键是注意带负数的减法运算的符号变化，避免因符号计算错误失分。
【难度系数】
0.8
2. 用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}x + 3y = 4, & ① \\ 2x - y = 1 & ②\end{cases}$时，下列方法中无法消元的是（ ）。
A.①×2－②
B.②×(－3)－①
C.①×(－2)＋②
D.①－②×3
A.①×2－②
B.②×(－3)－①
C.①×(－2)＋②
D.①－②×3
答案
D
解析
【分析】
加减消元法的核心是将方程组中某一个未知数的系数通过乘适当的数变为相等或互为相反数，再对两式作加减运算即可消去该未知数。本题只需逐一计算每个选项的运算结果，判断是否能消去x或y即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. ①×2得$2x + 6y = 8$，再减②：$(2x + 6y)-(2x - y)=8 - 1$，化简得$7y=7$，消去了x，可消元，不符合题意；
B. ②×(-3)得$-6x + 3y = -3$，再减①：$(-6x + 3y)-(x + 3y)=-3 - 4$，化简得$-7x=-7$，消去了y，可消元，不符合题意；
C. ①×(-2)得$-2x - 6y = -8$，再加②：$(-2x - 6y)+(2x - y)=-8 + 1$，化简得$-7y=-7$，消去了x，可消元，不符合题意；
D. ②×3得$6x - 3y = 3$，①减该式：$(x + 3y)-(6x - 3y)=4 - 3$，化简得$-5x + 6y=1$，x、y均未消去，无法消元，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组
【点评】
本题考查加减消元法的基本应用，解题的关键是明确消元目标，熟练掌握把指定未知数的系数化为相等或互为相反数的操作方法。
【难度系数】
0.8
加减消元法的核心是将方程组中某一个未知数的系数通过乘适当的数变为相等或互为相反数，再对两式作加减运算即可消去该未知数。本题只需逐一计算每个选项的运算结果，判断是否能消去x或y即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A. ①×2得$2x + 6y = 8$，再减②：$(2x + 6y)-(2x - y)=8 - 1$，化简得$7y=7$，消去了x，可消元，不符合题意；
B. ②×(-3)得$-6x + 3y = -3$，再减①：$(-6x + 3y)-(x + 3y)=-3 - 4$，化简得$-7x=-7$，消去了y，可消元，不符合题意；
C. ①×(-2)得$-2x - 6y = -8$，再加②：$(-2x - 6y)+(2x - y)=-8 + 1$，化简得$-7y=-7$，消去了x，可消元，不符合题意；
D. ②×3得$6x - 3y = 3$，①减该式：$(x + 3y)-(6x - 3y)=4 - 3$，化简得$-5x + 6y=1$，x、y均未消去，无法消元，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组
【点评】
本题考查加减消元法的基本应用，解题的关键是明确消元目标，熟练掌握把指定未知数的系数化为相等或互为相反数的操作方法。
【难度系数】
0.8
3. 已知$\begin{cases}a + 2b =5, \\2a + b =4,\end{cases}$则$a + b$的值是( ).
A.1
B.3
C.5
D.9
A.1
B.3
C.5
D.9
答案
B
解析
【分析】
本题要求$a+b$的值，有两种常用解题思路：思路一：先解二元一次方程组求出$a$、$b$的具体值，再相加得到结果；思路二：观察两个方程的系数特征，$a$的系数之和为$1+2=3$，$b$的系数之和为$2+1=3$，因此可以将两个方程左右两边分别相加，直接得到$a+b$相关的式子，整体计算更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记$\begin{cases}a + 2b =5&①, \\2a + b =4&②,\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$(a+2b)+(2a+b)=3a+3b$，右边相加得：$5+4=9$，
即$3a+3b=9$，等式两边同时除以3，得$a+b=3$。
方法二（常规求解法）：
记$\begin{cases}a + 2b =5&①, \\2a + b =4&②,\end{cases}$
由①得：$a=5-2b$ ③，
将③代入②得：$2(5-2b)+b=4$，
化简得：$10-4b+b=4$，即$10-3b=4$，
解得$b=2$，
将$b=2$代入③得：$a=5-2×2=1$，
所以$a+b=1+2=3$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组求解，整体思想，代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题，既可以通过常规的代入消元法或加减消元法求出未知数的值再计算，也可以观察系数特征用整体法快速得到结果，灵活选择合适的方法可提升解题速度。
【难度系数】
0.85
本题要求$a+b$的值，有两种常用解题思路：思路一：先解二元一次方程组求出$a$、$b$的具体值，再相加得到结果；思路二：观察两个方程的系数特征，$a$的系数之和为$1+2=3$，$b$的系数之和为$2+1=3$，因此可以将两个方程左右两边分别相加，直接得到$a+b$相关的式子，整体计算更简便。
【解析】
方法一（整体法）：
记$\begin{cases}a + 2b =5&①, \\2a + b =4&②,\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$(a+2b)+(2a+b)=3a+3b$，右边相加得：$5+4=9$，
即$3a+3b=9$，等式两边同时除以3，得$a+b=3$。
方法二（常规求解法）：
记$\begin{cases}a + 2b =5&①, \\2a + b =4&②,\end{cases}$
由①得：$a=5-2b$ ③，
将③代入②得：$2(5-2b)+b=4$，
化简得：$10-4b+b=4$，即$10-3b=4$，
解得$b=2$，
将$b=2$代入③得：$a=5-2×2=1$，
所以$a+b=1+2=3$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组求解，整体思想，代数式求值
【点评】
本题是二元一次方程组的基础应用题，既可以通过常规的代入消元法或加减消元法求出未知数的值再计算，也可以观察系数特征用整体法快速得到结果，灵活选择合适的方法可提升解题速度。
【难度系数】
0.85
4. 若$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax + by = 2, \\ bx + ay = -3\end{cases}$的解，则$a - b =$ ______ 。
答案
4. 1
解析
【分析】
首先明确二元一次方程组的解的含义：方程组的解能让方程组中每个方程的左右两边相等。解题时第一步先把已知的$x=3$、$y=-2$代入原方程组，得到两个只含未知数$a$、$b$的方程，组成新的二元一次方程组；再用加减消元法解这个新方程组，求出$a$和$b$的值，最后代入$a-b$计算即可得到结果，也可观察方程结构用整体运算快速求解。
【解析】
因为$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax + by = 2, \\ bx + ay = -3\end{cases}$的解，将$x$、$y$的值代入原方程组，可得：
$\begin{cases}3a - 2b = 2 \quad \mathrm{①} \\ 3b - 2a = -3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法求解：
①×2得：$6a - 4b = 4 \quad \mathrm{③}$
②×3得：$9b - 6a = -9 \quad \mathrm{④}$
③+④得：$5b = -5$，解得$b=-1$
把$b=-1$代入①，得：$3a - 2×(-1) = 2$，即$3a + 2 = 2$，解得$a=0$
所以$a - b = 0 - (-1) = 1$
（简便方法：①-②得$5a-5b=5$，两边同时除以5直接得$a-b=1$）
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握方程组解的定义，将已知解代入原方程组转化为关于参数的新方程组求解，也可通过整体思想简化计算，掌握基础消元法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先明确二元一次方程组的解的含义：方程组的解能让方程组中每个方程的左右两边相等。解题时第一步先把已知的$x=3$、$y=-2$代入原方程组，得到两个只含未知数$a$、$b$的方程，组成新的二元一次方程组；再用加减消元法解这个新方程组，求出$a$和$b$的值，最后代入$a-b$计算即可得到结果，也可观察方程结构用整体运算快速求解。
【解析】
因为$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$是方程组$\begin{cases}ax + by = 2, \\ bx + ay = -3\end{cases}$的解，将$x$、$y$的值代入原方程组，可得：
$\begin{cases}3a - 2b = 2 \quad \mathrm{①} \\ 3b - 2a = -3 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
用加减消元法求解：
①×2得：$6a - 4b = 4 \quad \mathrm{③}$
②×3得：$9b - 6a = -9 \quad \mathrm{④}$
③+④得：$5b = -5$，解得$b=-1$
把$b=-1$代入①，得：$3a - 2×(-1) = 2$，即$3a + 2 = 2$，解得$a=0$
所以$a - b = 0 - (-1) = 1$
（简便方法：①-②得$5a-5b=5$，两边同时除以5直接得$a-b=1$）
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握方程组解的定义，将已知解代入原方程组转化为关于参数的新方程组求解，也可通过整体思想简化计算，掌握基础消元法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 若$|3a + b + 5| + |2a - 2b - 2| = 0$，则$2a^2 - 3ab$的值为
-4
。答案
5. -4
解析
【分析】
本题可根据绝对值的非负性分析求解。首先，任意实数的绝对值都是非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0，据此可得到关于a、b的二元一次方程组；接下来解方程组求出a、b的值，最后将a、b代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 绝对值具有非负性，即$\vert 3a + b + 5\vert≥0$，$\vert 2a - 2b - 2\vert≥0$，且两个绝对值的和为0
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}3a + b + 5 = 0&①\\2a - 2b - 2 = 0&②\end{cases}$
先化简方程②，两边同时除以2得：$a - b - 1 = 0$，即$b = a - 1$ ③
将③代入①得：$3a + (a - 1) + 5 = 0$
整理得：$4a + 4 = 0$，解得$a = -1$
把$a = -1$代入③得：$b = -1 - 1 = -2$
将$a=-1$，$b=-2$代入$2a^2 - 3ab$得：
$2×(-1)^2 - 3×(-1)×(-2) = 2×1 - 6 = 2 - 6 = -4$
【答案】
-4
【知识点】
绝对值的非负性；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题的突破口是掌握非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，再结合方程组的解法和代入求值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
本题可根据绝对值的非负性分析求解。首先，任意实数的绝对值都是非负数，当两个非负数的和为0时，这两个非负数都为0，据此可得到关于a、b的二元一次方程组；接下来解方程组求出a、b的值，最后将a、b代入待求代数式计算即可得到结果。
【解析】
∵ 绝对值具有非负性，即$\vert 3a + b + 5\vert≥0$，$\vert 2a - 2b - 2\vert≥0$，且两个绝对值的和为0
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}3a + b + 5 = 0&①\\2a - 2b - 2 = 0&②\end{cases}$
先化简方程②，两边同时除以2得：$a - b - 1 = 0$，即$b = a - 1$ ③
将③代入①得：$3a + (a - 1) + 5 = 0$
整理得：$4a + 4 = 0$，解得$a = -1$
把$a = -1$代入③得：$b = -1 - 1 = -2$
将$a=-1$，$b=-2$代入$2a^2 - 3ab$得：
$2×(-1)^2 - 3×(-1)×(-2) = 2×1 - 6 = 2 - 6 = -4$
【答案】
-4
【知识点】
绝对值的非负性；解二元一次方程组；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题的突破口是掌握非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，再结合方程组的解法和代入求值计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
6. 请写出一个以$x$，$y$为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：① 由两个二元一次方程组成；② 方程组的解为$\begin{cases}x=2, \\ y=3.\end{cases}$ 这样的方程组可以是 ______ 。
答案
答案不唯一
解析
【分析】
要构造满足条件的二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的解的含义：方程组的解能使组内每个二元一次方程左右两边的值相等。解题时可以先围绕$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$，构造两个不同的、符合二元一次方程要求的等式，再将两个等式中的数值替换为x、y，组合起来就是所求方程组，构造方式不唯一。
【解析】
步骤1：构造第一个二元一次方程
将$x=2$，$y=3$代入运算，比如计算两数之和：$2+3=5$，把2换成x，3换成y，可得方程$x+y=5$，该方程是二元一次方程，且$x=2,y=3$是它的解。
步骤2：构造第二个不同的二元一次方程
再选择其他运算，比如计算两数之差：$2-3=-1$，替换后可得方程$x-y=-1$，该方程也是二元一次方程，且$x=2,y=3$是它的解。
步骤3：组合两个方程得到方程组
将上述两个方程联立，可得$\begin{cases}x+y=5 \\ x-y=-1\end{cases}$，即为符合要求的方程组，也可构造其他形式的方程组，只要满足题目两个条件即可。
【答案】
答案不唯一，示例：$\begin{cases}x+y=5 \\ x-y=-1\end{cases}$（合理即可）
【知识点】
二元一次方程组的定义；二元一次方程组的解的定义
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对二元一次方程及方程组解的概念的应用，解题时只需围绕给定的解构造两个符合要求的二元一次方程即可，注意构造的方程需满足含有两个未知数、未知数的最高次数为1的要求。
【难度系数】
0.8
要构造满足条件的二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的解的含义：方程组的解能使组内每个二元一次方程左右两边的值相等。解题时可以先围绕$\begin{cases}x=2 \\ y=3\end{cases}$，构造两个不同的、符合二元一次方程要求的等式，再将两个等式中的数值替换为x、y，组合起来就是所求方程组，构造方式不唯一。
【解析】
步骤1：构造第一个二元一次方程
将$x=2$，$y=3$代入运算，比如计算两数之和：$2+3=5$，把2换成x，3换成y，可得方程$x+y=5$，该方程是二元一次方程，且$x=2,y=3$是它的解。
步骤2：构造第二个不同的二元一次方程
再选择其他运算，比如计算两数之差：$2-3=-1$，替换后可得方程$x-y=-1$，该方程也是二元一次方程，且$x=2,y=3$是它的解。
步骤3：组合两个方程得到方程组
将上述两个方程联立，可得$\begin{cases}x+y=5 \\ x-y=-1\end{cases}$，即为符合要求的方程组，也可构造其他形式的方程组，只要满足题目两个条件即可。
【答案】
答案不唯一，示例：$\begin{cases}x+y=5 \\ x-y=-1\end{cases}$（合理即可）
【知识点】
二元一次方程组的定义；二元一次方程组的解的定义
【点评】
本题是开放性基础题，核心考查对二元一次方程及方程组解的概念的应用，解题时只需围绕给定的解构造两个符合要求的二元一次方程即可，注意构造的方程需满足含有两个未知数、未知数的最高次数为1的要求。
【难度系数】
0.8
三、解答题
7. 用加减消元法解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3x + 7y = 16, \\5x - 7y = 8;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x - 5y = 5, \\3x - 4y = 23;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}9m + 2n = 15, \\3m + 4n = 10;\end{cases}$
(4) $\begin{cases}2x - 7y = 8, \\3x - 8y - 10 = 0;\end{cases}$
(5) $\begin{cases}6s = 27 - 5t, \\3s + 4t = 18;\end{cases}$
(6)
7. 用加减消元法解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3x + 7y = 16, \\5x - 7y = 8;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}3x - 5y = 5, \\3x - 4y = 23;\end{cases}$
(3) $\begin{cases}9m + 2n = 15, \\3m + 4n = 10;\end{cases}$
(4) $\begin{cases}2x - 7y = 8, \\3x - 8y - 10 = 0;\end{cases}$
(5) $\begin{cases}6s = 27 - 5t, \\3s + 4t = 18;\end{cases}$
(6)
答案
7. (1) $\begin{cases}x = 3, \\ y = 1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = \dfrac{95}{3}, \\ y = 18\end{cases}$
(3) $\begin{cases}m = \dfrac{4}{3}, \\ n = \dfrac{3}{2}\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x = \dfrac{6}{5}, \\ y = -\dfrac{4}{5}\end{cases}$
(5) $\begin{cases}s = 2, \\ t = 3\end{cases}$
(6) $\begin{cases}x = 3, \\ y = 4\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x = \dfrac{95}{3}, \\ y = 18\end{cases}$
(3) $\begin{cases}m = \dfrac{4}{3}, \\ n = \dfrac{3}{2}\end{cases}$
(4) $\begin{cases}x = \dfrac{6}{5}, \\ y = -\dfrac{4}{5}\end{cases}$
(5) $\begin{cases}s = 2, \\ t = 3\end{cases}$
(6) $\begin{cases}x = 3, \\ y = 4\end{cases}$
解析
【分析】
本题是含分数系数的二元一次方程组，求解时首先利用等式的性质给第一个方程去分母，将其转化为整数系数的二元一次方程，再使用加减消元法消去其中一个未知数，先求出一个未知数的值，再代入方程求出另一个未知数的值即可。
【解析】
原方程组为：
$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=2 \quad ① \\ 3x-4y=-7 \quad ② \end{cases}$
1. 去分母：给方程①左右两边同时乘12（3和4的最小公倍数），得：
$4x + 3y = 24 \quad ③$
2. 消元：为消去$y$，给③乘4，②乘3，得：
$\begin{cases} 16x + 12y = 96 \quad ④ \\ 9x - 12y = -21 \quad ⑤ \end{cases}$
3. 求解$x$：将④和⑤相加，消去$y$得：
$25x = 75$
解得$x=3$
4. 求解$y$：把$x=3$代入方程②，得：
$3×3 -4y = -7$
$9 -4y = -7$
移项计算得$-4y=-16$，即$y=4$
【答案】
$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，等式的性质，二元一次方程组求解
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础求解题型，解题的关键是先把分数系数方程转化为整数系数方程，去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项，加减消元时要注意符号运算，求解后代入原方程组检验可有效避免计算错误。
【难度系数】
0.7
本题是含分数系数的二元一次方程组，求解时首先利用等式的性质给第一个方程去分母，将其转化为整数系数的二元一次方程，再使用加减消元法消去其中一个未知数，先求出一个未知数的值，再代入方程求出另一个未知数的值即可。
【解析】
原方程组为：
$\begin{cases} \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=2 \quad ① \\ 3x-4y=-7 \quad ② \end{cases}$
1. 去分母：给方程①左右两边同时乘12（3和4的最小公倍数），得：
$4x + 3y = 24 \quad ③$
2. 消元：为消去$y$，给③乘4，②乘3，得：
$\begin{cases} 16x + 12y = 96 \quad ④ \\ 9x - 12y = -21 \quad ⑤ \end{cases}$
3. 求解$x$：将④和⑤相加，消去$y$得：
$25x = 75$
解得$x=3$
4. 求解$y$：把$x=3$代入方程②，得：
$3×3 -4y = -7$
$9 -4y = -7$
移项计算得$-4y=-16$，即$y=4$
【答案】
$\begin{cases} x=3 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
加减消元法，等式的性质，二元一次方程组求解
【点评】
本题属于二元一次方程组的基础求解题型，解题的关键是先把分数系数方程转化为整数系数方程，去分母时注意不要漏乘不含分母的常数项，加减消元时要注意符号运算，求解后代入原方程组检验可有效避免计算错误。
【难度系数】
0.7
