例题3 如图,一个无盖的长方体形盒子放在地面上,其高为9 cm,底面是边长为6 cm的正方形,一只蚂蚁从顶点A开始爬向顶点B,那么它爬行的最短路程是多少?

(例题3)
思路分析:求长方体表面相对两点之间的最短距离,可将其相邻的两个面展开,将其转化为“两点之间的最短路径”问题,再构造直角三角形求解。
方法点拨:当长方体的长、宽、高不同时,通常有三种展开方式,沿最长的棱展开得到的路线是最短的;对于正方体,三种展开方式中,沿哪条棱展开所得的两点间的距离都相等。

例题3 解:根据“两点之间线段最短”,可知在从点A到点B的路线中,线段AB最短。故需要将点A,B放到一个平面内,根据题意,有以下三种情况:
(1)如图①,由勾股定理得,AB²=12²+9²=225;
(2)如图②,由勾股定理得,AB²=6²+15²=261;
(3)如图③,由勾股定理得,AB²=6²+15²=261。
因为225＜261,所以当AB²=225,即AB=15 cm时,从点A爬向点B的路程最短,
所以蚂蚁爬行的最短路程是15 cm。

练习3 如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B与点C之间的距离是5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短路程是多少厘米？

（练习3）

练习3 解:根据“两点之间线段最短”,在从点A到点C的所有路径中,线段AC最短。故需要将点A和点C展开到同一平面,根据题意,有以下三种情况:
如图①,由勾股定理得,AC²=15²+20²=625;
如图②,由勾股定理得,AC²=30²+5²=925;
如图③,由勾股定理得,AC²=25²+10²=725。
因为625＜725＜925,所以当AC²=625,即AC=25 cm时,从点A爬到点C的路程最短,即需要爬行的最短路程是25 cm。