例题1如图，牧童在点A处放牛，其家在B处，A，B到河岸的距离分别是AC=200 m，BD=100 m，CD=400 m，牧童从A处把牛牵到河边饮水后回家，所走的最短路程是 m。

思路分析:利用轴对称的性质将“线段和最短”的问题转化成“两点之间线段最短”的问题，确定最短路径，然后构造直角三角形，根据勾股定理，求出最短路程。
方法点拨:(1)“线段和最短”的问题，往往需要利用轴对称的性质，将其转化成两点间线段长度的问题；(2)线段长度的确定，可以通过建模，构造直角三角形，利用勾股定理来求解。

例题1 500 解析:如图,作点A关于河岸CD的对称点A',连接A',B,交CD于点P,连接AP。根据题意,当把牛牵到河边P处饮水后回家,所走路程最短,即AP+BP最短。根据轴对称的性质,可知AP=A'P,于是AP+BP=A'P+BP=A'B,结合图示,构造直角三角形A'BE,且易得BE=100+200=300(m),A'E=CD=400 m,由勾股定理得,A'B=500 m,所以把牛牵到河边的点P处饮水后回家所走的路程最短,最短路程是500 m。

练习1 如图，在等腰直角三角形ABC中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，点D在BC上，$BD=3$，$DC=1$，点P是AB上的动点，则$PC+PD$的最小值是多少？

（练习1）

练习1 解:如图,作点C关于线段AB的对称点C',连接C'D,交AB于点P,连接CP,BC'。
因为点C与点C'关于AB对称，
所以CC'被AB垂直平分，
所以CP=C'P,BC=BC'。
所以当CP+DP=C'P+DP=C'D时,PC+PD的值最小。
又因为BP=BP，
所以△BCP≌△BC'P(SSS),
所以∠CBA=∠C'BA=45°,所以∠C'BC=90°。
在Rt△BDC'中,BD=3,BC'=4,由勾股定理得
DC'²=BD²+BC'²=3²+4²=25=5²,
所以DC'=5。所以PC+PD的最小值是5。

例题2如图,有一个圆柱,底面圆的直径为$\frac{16}{π}$ cm,高BC为12 cm,点P为BC的中点,一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱表面爬行到点P的最短路程为()。

A.11 cm
B.12 cm
C.9 cm
D.10 cm

(例题2)
思路分析:先将圆柱的侧面展开,在平面上找到A,P两点,根据“两点之间线段最短”,知AP的长度即所求,以AP为斜边构造直角三角形,利用勾股定理即可求解。
方法点拨:在所构造的直角三角形中,其中一条直角边长为圆柱底面周长的一半,另一条直角边长为线段BP的长,这条线段的长往往会与圆柱的高存在一定的关联,需结合题意进行分析。

例题2 D 解析:将圆柱的侧面展开,易得长方形如图所示,找到展开后点A,B,C,D,P的位置,易得AB=圆柱底面周长的一半=8 cm,BP=圆柱高的一半=6 cm,根据“两点之间线段最短”,可知在从点A到点P的所有路径中,线段AP最短,连接AP,易得直角三角形APB,由勾股定理得AP²=8²+6²=10²,所以AP=10 cm。

练习2 如图，圆柱的底面周长是24 cm，高为25 cm，在圆柱表面有相对的A，B两点，其中点A距离下底面4 cm，点B距离上底面5 cm，则从点A到点B的最短路程是。

练习2 20 cm