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17. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90°, AC = b, BC = a, 分别以三角形的三条边为边长作正方形。
(1)若三个正方形的位置如图1所示,其中阴影部分的面积:$S_1 + S_2 + S_3$的值为
(2)若三个正方形的位置如图2所示,其中阴影部分的面积:$(S_1 + S_2 + S_3) - S_4$的值为
(1)若三个正方形的位置如图1所示,其中阴影部分的面积:$S_1 + S_2 + S_3$的值为
$2a^2+2b^2$
。(结果用含$a,b$的式子表示)(2)若三个正方形的位置如图2所示,其中阴影部分的面积:$(S_1 + S_2 + S_3) - S_4$的值为
$\dfrac{ab}{2}$
。(结果用含$a,b$的式子表示)答案
17. (1)$2a^2+2b^2$ (2)$\dfrac{ab}{2}$
解析
【分析】
(1) 解题思路：首先根据正方形面积公式，分别表示出三个正方形的面积，再结合勾股定理得到AB²与a、b的关系，观察图1的阴影部分，重叠的空白面积和未计入的空白面积相等，因此阴影部分总面积就是三个正方形面积之和，代入计算即可。
(2) 解题思路：观察图2中阴影与空白的位置关系，结合全等三角形的性质，可知除S₄外的空白部分面积与阴影重叠部分面积抵消后，剩余面积等于Rt△ABC的面积，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=a^2+b^2$。
正方形面积等于边长的平方，因此$S_1=AC^2=b^2$，$S_2=BC^2=a^2$，$S_3=AB^2=a^2+b^2$。
观察图1阴影部分，重叠的空白面积与未被计入的空白面积相等，因此：
$S_1+S_2+S_3=b^2+a^2+(a^2+b^2)=2a^2+2b^2$。
(2) 观察图2，易证除$S_4$外的空白直角三角形均与$\mathrm{Rt}△ ABC$全等，阴影重叠部分面积与这部分空白面积抵消后，剩余面积等于$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积。
$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}ab$，因此：
$(S_1+S_2+S_3)-S_4=\frac{1}{2}ab$。
【答案】
(1) $2a^2+2b^2$；(2) $\dfrac{ab}{2}$
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，全等三角形性质
【点评】
本题结合几何图形考查面积计算，解题的关键是准确识别阴影和空白部分的面积关系，结合勾股定理、对应面积公式求解即可。
【难度系数】
0.65
(1) 解题思路：首先根据正方形面积公式，分别表示出三个正方形的面积，再结合勾股定理得到AB²与a、b的关系，观察图1的阴影部分，重叠的空白面积和未计入的空白面积相等，因此阴影部分总面积就是三个正方形面积之和，代入计算即可。
(2) 解题思路：观察图2中阴影与空白的位置关系，结合全等三角形的性质，可知除S₄外的空白部分面积与阴影重叠部分面积抵消后，剩余面积等于Rt△ABC的面积，代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=a^2+b^2$。
正方形面积等于边长的平方，因此$S_1=AC^2=b^2$，$S_2=BC^2=a^2$，$S_3=AB^2=a^2+b^2$。
观察图1阴影部分，重叠的空白面积与未被计入的空白面积相等，因此：
$S_1+S_2+S_3=b^2+a^2+(a^2+b^2)=2a^2+2b^2$。
(2) 观察图2，易证除$S_4$外的空白直角三角形均与$\mathrm{Rt}△ ABC$全等，阴影重叠部分面积与这部分空白面积抵消后，剩余面积等于$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积。
$\mathrm{Rt}△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}ab$，因此：
$(S_1+S_2+S_3)-S_4=\frac{1}{2}ab$。
【答案】
(1) $2a^2+2b^2$；(2) $\dfrac{ab}{2}$
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，全等三角形性质
【点评】
本题结合几何图形考查面积计算，解题的关键是准确识别阴影和空白部分的面积关系，结合勾股定理、对应面积公式求解即可。
【难度系数】
0.65
18. 如图,在等边$△ ABC$中,$AC=10$,点O在AC上,且$AO=4$,点P是AB上一动点,连结OP,将线段OP绕点O逆时针旋转$60°$得到线段OD。要使点D恰好落在BC上,则AP的长是
6
。答案
18. 6
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到边相等和角的度数，再结合等边三角形的内角为60°的特征，通过角的和差关系推导两个三角形的对应角相等，证明三角形全等，最后借助全等三角形对应边相等的性质计算AP的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
已知AC=10，AO=4，
∴OC=AC-AO=10-4=6，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∴∠AOP+∠COD=180°-∠POD=180°-60°=120°，
在△AOP中，∠AOP+∠APO=180°-∠A=180°-60°=120°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C \\∠APO=∠COD \\OP=OD\end{array} $
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6。
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将旋转、等边三角形和全等三角形的知识结合考查，解题的核心是通过角的等量代换找到全等的三角形，进而将所求线段转化为已知可求的线段。
【难度系数】
0.65
解题时先利用旋转的性质得到边相等和角的度数，再结合等边三角形的内角为60°的特征，通过角的和差关系推导两个三角形的对应角相等，证明三角形全等，最后借助全等三角形对应边相等的性质计算AP的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
已知AC=10，AO=4，
∴OC=AC-AO=10-4=6，
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∴∠AOP+∠COD=180°-∠POD=180°-60°=120°，
在△AOP中，∠AOP+∠APO=180°-∠A=180°-60°=120°，
∴∠APO=∠COD，
在△AOP和△CDO中：
$\{\begin{array}{l}∠A=∠C \\∠APO=∠COD \\OP=OD\end{array} $
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP=OC=6。
【答案】
6
【知识点】
等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题将旋转、等边三角形和全等三角形的知识结合考查，解题的核心是通过角的等量代换找到全等的三角形，进而将所求线段转化为已知可求的线段。
【难度系数】
0.65
三、解答题(共46分)
19.（8分）如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$D$，$E$分别是$BC$和$AC$上的点，且$DE // AB$，$AE = DE$，请你说明$AD$垂直平分$BC$。
19.（8分）如图，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$D$，$E$分别是$BC$和$AC$上的点，且$DE // AB$，$AE = DE$，请你说明$AD$垂直平分$BC$。
答案
证明：
∵ AE = DE，
∴ ∠EAD = ∠EDA。
∵ DE // AB，
∴ ∠BAD = ∠EDA，
∴ ∠BAD = ∠EAD，即AD平分∠BAC。
又∵ AB = AC，
由等腰三角形“三线合一”的性质可得：AD⊥BC，BD = CD。
∴ AD垂直平分BC。
∵ AE = DE，
∴ ∠EAD = ∠EDA。
∵ DE // AB，
∴ ∠BAD = ∠EDA，
∴ ∠BAD = ∠EAD，即AD平分∠BAC。
又∵ AB = AC，
由等腰三角形“三线合一”的性质可得：AD⊥BC，BD = CD。
∴ AD垂直平分BC。
解析
【分析】
要证明AD垂直平分BC，已知△ABC中AB=AC，是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明AD是∠BAC的角平分线，即可得到AD垂直且平分BC。推导角平分线时，首先由AE=DE，利用等边对等角可得∠EAD=∠EDA；再结合DE//AB，根据两直线平行、内错角相等可得∠BAD=∠EDA，通过等量代换推出∠BAD=∠EAD，即AD平分∠BAC，最后结合等腰三角形三线合一的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵ AE = DE，
∴ ∠EAD = ∠EDA。
∵ DE // AB，
∴ ∠BAD = ∠EDA，
∴ ∠BAD = ∠EAD，即AD平分∠BAC。
又
∵ AB = AC，
由等腰三角形“三线合一”的性质可得：AD⊥BC，BD = CD。
∴ AD垂直平分BC。
【答案】
AD垂直平分BC，证明过程如上。
【知识点】
等边对等角；平行线的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查等腰三角形性质和平行线性质的综合运用，解题的核心是通过角的等量代换证明AD为顶角的角平分线，再结合等腰三角形三线合一的性质得出结论，解题时需注意逻辑严谨，步骤规范。
【难度系数】
0.8
要证明AD垂直平分BC，已知△ABC中AB=AC，是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明AD是∠BAC的角平分线，即可得到AD垂直且平分BC。推导角平分线时，首先由AE=DE，利用等边对等角可得∠EAD=∠EDA；再结合DE//AB，根据两直线平行、内错角相等可得∠BAD=∠EDA，通过等量代换推出∠BAD=∠EAD，即AD平分∠BAC，最后结合等腰三角形三线合一的性质即可得证。
【解析】
证明：
∵ AE = DE，
∴ ∠EAD = ∠EDA。
∵ DE // AB，
∴ ∠BAD = ∠EDA，
∴ ∠BAD = ∠EAD，即AD平分∠BAC。
又
∵ AB = AC，
由等腰三角形“三线合一”的性质可得：AD⊥BC，BD = CD。
∴ AD垂直平分BC。
【答案】
AD垂直平分BC，证明过程如上。
【知识点】
等边对等角；平行线的性质；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查等腰三角形性质和平行线性质的综合运用，解题的核心是通过角的等量代换证明AD为顶角的角平分线，再结合等腰三角形三线合一的性质得出结论，解题时需注意逻辑严谨，步骤规范。
【难度系数】
0.8
20.(8分)已知:如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AD=BE,∠1=∠2,求证:Rt△ADE ≌ Rt△BEC。
答案
证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ DE=CE。
又∵ ∠A=∠B=90°，
∴ △ADE和△BEC都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE \\DE=CE\end{array} $
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BEC（HL）。
∵ ∠1=∠2，
∴ DE=CE。
又∵ ∠A=∠B=90°，
∴ △ADE和△BEC都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
$\{\begin{array}{l}AD=BE \\DE=CE\end{array} $
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BEC（HL）。
解析
【分析】
要证明两个直角三角形全等，可优先考虑HL判定定理，该定理需要满足一组直角边相等、一组斜边相等两个条件。首先由已知∠A=∠B=90°，可确定△ADE和△BEC均为直角三角形，且题目已给出直角边AD=BE；接下来结合已知∠1=∠2，根据等角对等边的性质可推出两个三角形的斜边DE=CE，至此HL的判定条件全部满足，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ DE=CE（等角对等边）。
又
∵ ∠A=∠B=90°，
∴ △ADE和△BEC都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
$\begin{cases} AD=BE \\ DE=CE \end{cases}$
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BEC（HL）。
【答案】
证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ DE=CE。
又
∵ ∠A=∠B=90°，
∴ △ADE和△BEC都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
$\begin{cases} AD=BE \\ DE=CE \end{cases}$
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BEC（HL）。
【知识点】
等角对等边；直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题属于基础的几何证明题，核心考察等腰三角形性质和直角三角形全等的判定方法，解题时只需结合已知条件逐步推导所需的全等判定条件即可，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
要证明两个直角三角形全等，可优先考虑HL判定定理，该定理需要满足一组直角边相等、一组斜边相等两个条件。首先由已知∠A=∠B=90°，可确定△ADE和△BEC均为直角三角形，且题目已给出直角边AD=BE；接下来结合已知∠1=∠2，根据等角对等边的性质可推出两个三角形的斜边DE=CE，至此HL的判定条件全部满足，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ DE=CE（等角对等边）。
又
∵ ∠A=∠B=90°，
∴ △ADE和△BEC都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
$\begin{cases} AD=BE \\ DE=CE \end{cases}$
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BEC（HL）。
【答案】
证明：
∵ ∠1=∠2，
∴ DE=CE。
又
∵ ∠A=∠B=90°，
∴ △ADE和△BEC都是直角三角形。
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
$\begin{cases} AD=BE \\ DE=CE \end{cases}$
∴ Rt△ADE ≌ Rt△BEC（HL）。
【知识点】
等角对等边；直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题属于基础的几何证明题，核心考察等腰三角形性质和直角三角形全等的判定方法，解题时只需结合已知条件逐步推导所需的全等判定条件即可，侧重对基础定理应用能力的考察。
【难度系数】
0.8
