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9.如图，$△ ABC$的面积为$9\ \mathrm{cm}^2$，$BP$平分$∠ ABC$，$AP ⊥ BP$于点$P$，连结$PC$，则$△ PBC$的面积为（
A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$4.5\ \mathrm{cm}^2$
D.$5\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$3\ \mathrm{cm}^2$
B.$4\ \mathrm{cm}^2$
C.$4.5\ \mathrm{cm}^2$
D.$5\ \mathrm{cm}^2$
答案
9. C
解析
【分析】
遇到角平分线与垂直于角平分线的线段组合的结构时，常用辅助线是延长垂线段与角的另一边相交，构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，证明△ABP和△DBP全等得到AP=PD，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，推导△PBC的面积和△ABC面积的关系，即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABP=∠ DBP\\ BP=BP\\ ∠ APB=∠ DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），得AP=PD。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴$S_{△ PBC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=9\mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×9=4.5\mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，角平分线的定义
【点评】
本题的核心是利用角平分线加垂线的特征构造全等三角形得到线段中点，再结合三角形面积的比例关系求解，是角平分线相关的典型题型，掌握这类辅助线的做法能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线与垂直于角平分线的线段组合的结构时，常用辅助线是延长垂线段与角的另一边相交，构造全等三角形。本题先延长AP交BC于点D，证明△ABP和△DBP全等得到AP=PD，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，推导△PBC的面积和△ABC面积的关系，即可求解。
【解析】
延长AP交BC于点D。
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°。
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABP=∠ DBP\\ BP=BP\\ ∠ APB=∠ DPB\end{array} $
∴△ABP≌△DBP（ASA），得AP=PD。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴$S_{△ PBC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
已知$S_{△ ABC}=9\mathrm{cm}^2$，代入得$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×9=4.5\mathrm{cm}^2$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形面积计算，角平分线的定义
【点评】
本题的核心是利用角平分线加垂线的特征构造全等三角形得到线段中点，再结合三角形面积的比例关系求解，是角平分线相关的典型题型，掌握这类辅助线的做法能快速解决同类问题。
【难度系数】
0.7
10. 意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理。若设左图中空白部分的面积为$S_1$，右图中空白部分的面积为$S_2$，则下列表示$S_1$，$S_2$的等式成立的是（
A.$S_1=a^2+b^2+2ab$
B.$S_1=a^2+b^2+ab$
C.$S_2=c^2$
D.$S_2=c^2+\dfrac{1}{2}ab$
B
）A.$S_1=a^2+b^2+2ab$
B.$S_1=a^2+b^2+ab$
C.$S_2=c^2$
D.$S_2=c^2+\dfrac{1}{2}ab$
答案
10. B
解析
【分析】
解题时可以利用“整体减部分”的思路计算空白面积，首先明确两个图的整体大图形都是边长为$(a+b)$的正方形，总面积相等，再减去对应阴影部分的面积即可得到空白面积，最后对照选项判断正误即可。
【解析】
1. 计算$S_1$：
整个大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
图①中阴影部分是2个全等的直角三角形，单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，阴影部分总面积为$2×\frac{1}{2}ab=ab$。
因此空白面积$S_1=$大正方形面积$-$阴影面积$=a^2+2ab+b^2-ab=a^2+b^2+ab$，可得选项A错误，选项B正确。
2. 验证$S_2$：
图②的大正方形面积和图①一致，阴影部分同样是2个面积和为$ab$的直角三角形，因此$S_2=S_1=a^2+b^2+ab$，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得$S_2=c^2+ab$，因此选项C、D均错误。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的证明、正方形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题结合经典的勾股定理证明方法，考查面积法的实际应用，解题核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点，通过整体减部分的思路计算面积即可。
【难度系数】
0.7
解题时可以利用“整体减部分”的思路计算空白面积，首先明确两个图的整体大图形都是边长为$(a+b)$的正方形，总面积相等，再减去对应阴影部分的面积即可得到空白面积，最后对照选项判断正误即可。
【解析】
1. 计算$S_1$：
整个大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形的面积为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
图①中阴影部分是2个全等的直角三角形，单个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，阴影部分总面积为$2×\frac{1}{2}ab=ab$。
因此空白面积$S_1=$大正方形面积$-$阴影面积$=a^2+2ab+b^2-ab=a^2+b^2+ab$，可得选项A错误，选项B正确。
2. 验证$S_2$：
图②的大正方形面积和图①一致，阴影部分同样是2个面积和为$ab$的直角三角形，因此$S_2=S_1=a^2+b^2+ab$，结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，可得$S_2=c^2+ab$，因此选项C、D均错误。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的证明、正方形面积计算、三角形面积计算
【点评】
本题结合经典的勾股定理证明方法，考查面积法的实际应用，解题核心是抓住图形剪拼前后总面积不变的特点，通过整体减部分的思路计算面积即可。
【难度系数】
0.7
11.命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是
有两个角相等的三角形是等腰三角形
，这个逆命题是真
命题。答案
11. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 真
解析
【分析】
要解答本题，首先要掌握逆命题的改写方法：先将原命题拆解为“条件+结论”的形式，再把条件和结论互换位置，即可得到逆命题；之后结合等腰三角形的判定定理判断逆命题的真假即可。首先拆分原命题“等腰三角形两底角相等”：条件为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它的两个底角相等”，后续按规则改写并判断即可。
【解析】
1. 改写逆命题：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”，把条件和结论互换，得到逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，简写为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”。注意：未判定三角形是等腰三角形时不能使用“底角”表述，因此逆命题中不能出现“底角”字样。
2. 判断真假：根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，若三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等，该三角形为等腰三角形，因此这个逆命题是真命题。
【答案】
有两个角相等的三角形是等腰三角形；真
【知识点】
逆命题的概念；等腰三角形的判定；真假命题判断
【点评】
本题是基础类题目，核心考查逆命题的改写逻辑和命题真假的判断方法，解题的关键是准确拆分原命题的条件与结论，结合已学的等腰三角形相关定理验证即可。
【难度系数】
0.8
要解答本题，首先要掌握逆命题的改写方法：先将原命题拆解为“条件+结论”的形式，再把条件和结论互换位置，即可得到逆命题；之后结合等腰三角形的判定定理判断逆命题的真假即可。首先拆分原命题“等腰三角形两底角相等”：条件为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它的两个底角相等”，后续按规则改写并判断即可。
【解析】
1. 改写逆命题：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”，把条件和结论互换，得到逆命题为“如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”，简写为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”。注意：未判定三角形是等腰三角形时不能使用“底角”表述，因此逆命题中不能出现“底角”字样。
2. 判断真假：根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，若三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等，该三角形为等腰三角形，因此这个逆命题是真命题。
【答案】
有两个角相等的三角形是等腰三角形；真
【知识点】
逆命题的概念；等腰三角形的判定；真假命题判断
【点评】
本题是基础类题目，核心考查逆命题的改写逻辑和命题真假的判断方法，解题的关键是准确拆分原命题的条件与结论，结合已学的等腰三角形相关定理验证即可。
【难度系数】
0.8
12. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点D是斜边AB的中点，已知$AC=12$，$BC=16$，则CD的长为
10
。答案
12. 10
解析
【分析】
解题时首先观察题干特征：已知直角三角形两条直角边的长度，要求斜边中点与直角顶点连线的长度。第一步先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步回忆直角三角形的重要性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合D是斜边中点的条件，即可求出CD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=16$，
根据勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$，
又因为点D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
所以$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，主要考察勾股定理与直角三角形斜边中线性质的综合应用，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察题干特征：已知直角三角形两条直角边的长度，要求斜边中点与直角顶点连线的长度。第一步先利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步回忆直角三角形的重要性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，结合D是斜边中点的条件，即可求出CD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=12$，$BC=16$，
根据勾股定理可得斜边$AB$的长度为：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=20$，
又因为点D是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，
所以$CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题，主要考察勾股定理与直角三角形斜边中线性质的综合应用，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
13. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为D。若$∠ A=32°$,则$∠ BCD=$
32
°。答案
13. 32
解析
【分析】
解题时先结合已知的直角条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，先得到∠A与∠B互余，再根据CD⊥AB得到∠BCD与∠B互余，最后根据同角的余角相等，即可推出∠BCD和∠A相等，代入角度就能得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
$\because CD⊥AB$，$\therefore ∠CDB=90°$
在$Rt△BCD$中，同理可得：
$∠ BCD + ∠ B = 90°$
根据同角的余角相等，可得$∠ BCD = ∠ A$
$\because ∠A=32°$，$\therefore ∠BCD=32°$
【答案】
32
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.余角的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用直角三角形中两锐角互余的性质，结合同角的余角相等推导角的等量关系，无需复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先结合已知的直角条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，先得到∠A与∠B互余，再根据CD⊥AB得到∠BCD与∠B互余，最后根据同角的余角相等，即可推出∠BCD和∠A相等，代入角度就能得到结果。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ A + ∠ B = 90°$
$\because CD⊥AB$，$\therefore ∠CDB=90°$
在$Rt△BCD$中，同理可得：
$∠ BCD + ∠ B = 90°$
根据同角的余角相等，可得$∠ BCD = ∠ A$
$\because ∠A=32°$，$\therefore ∠BCD=32°$
【答案】
32
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.余角的性质
【点评】
本题是基础几何题，核心是利用直角三角形中两锐角互余的性质，结合同角的余角相等推导角的等量关系，无需复杂计算，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
14.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东$30°$方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东$75°$方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东$60°$方向上，则C处与灯塔A的距离是
25
海里。答案
14. 25
解析
【分析】
解题时首先根据“路程=速度×时间”计算出BC的长度，再结合方位角的定义分别求出△ABC的各个内角的度数，根据等角对等边的性质即可得到AC与BC的数量关系，进而求出C处与灯塔A的距离。
【解析】
1. 计算BC的长度：
轮船航行速度为每小时50海里，航行时间为半小时，因此
$BC = 50 × 0.5 = 25$（海里）
2. 计算△ABC的内角度数：
由B处观测的方位可知，BC沿南偏东30°方向，BA沿南偏东75°方向，因此$∠ ABC = 75° - 30° = 45°$。
由方位的相对性可知，从C处观测B的方向为北偏西30°，又已知C处观测A为北偏东60°，因此$∠ ACB = 30° + 60° = 90°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BAC = 180° - 45° - 90° = 45°$。
3. 求AC的长度：
因为$∠ BAC = ∠ ABC = 45°$，根据等角对等边，可得$AC = BC = 25$海里。
【答案】
25
【知识点】
方位角的应用，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题将方位角与三角形知识结合考查，解题的关键是准确根据方位角的定义求出三角形的内角度数，再结合特殊三角形的性质求解，是几何与实际生活结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据“路程=速度×时间”计算出BC的长度，再结合方位角的定义分别求出△ABC的各个内角的度数，根据等角对等边的性质即可得到AC与BC的数量关系，进而求出C处与灯塔A的距离。
【解析】
1. 计算BC的长度：
轮船航行速度为每小时50海里，航行时间为半小时，因此
$BC = 50 × 0.5 = 25$（海里）
2. 计算△ABC的内角度数：
由B处观测的方位可知，BC沿南偏东30°方向，BA沿南偏东75°方向，因此$∠ ABC = 75° - 30° = 45°$。
由方位的相对性可知，从C处观测B的方向为北偏西30°，又已知C处观测A为北偏东60°，因此$∠ ACB = 30° + 60° = 90°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ BAC = 180° - 45° - 90° = 45°$。
3. 求AC的长度：
因为$∠ BAC = ∠ ABC = 45°$，根据等角对等边，可得$AC = BC = 25$海里。
【答案】
25
【知识点】
方位角的应用，三角形内角和定理，等腰三角形的性质
【点评】
本题将方位角与三角形知识结合考查，解题的关键是准确根据方位角的定义求出三角形的内角度数，再结合特殊三角形的性质求解，是几何与实际生活结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
15. 如图，在$△ ABC$中，$DE // BC$，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$DE$于点$F$，$G$。若$FG=2$，$DE=6$，则$BD+CE$的值为________。
答案
15. 4
解析
【分析】
解题时先观察题目条件：有平行线和角平分线，这是推导等腰三角形的典型模型。首先利用平行线的内错角相等，结合角平分线的定义，可证得△BDF和△CEG均为等腰三角形，得到BD=DF、CE=EG，再将所求的BD+CE转化为DF+EG，结合线段DE、FG的长度即可计算出结果。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠ DFB=∠ FBC$（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBF=∠ FBC$，
∴$∠ DFB=∠ DBF$，
∴$BD=DF$（等角对等边）。
同理可得：$CE=EG$。
∵$DE=DF+FG+EG$，
∴$DF+EG=DE-FG=6-2=4$，
∴$BD+CE=DF+EG=4$。
【答案】
4
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础题，核心考查“平行线+角平分线”推出等腰三角形的常用模型，通过将所求线段转化为已知线段的差即可快速求解，熟练掌握常见几何模型能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题目条件：有平行线和角平分线，这是推导等腰三角形的典型模型。首先利用平行线的内错角相等，结合角平分线的定义，可证得△BDF和△CEG均为等腰三角形，得到BD=DF、CE=EG，再将所求的BD+CE转化为DF+EG，结合线段DE、FG的长度即可计算出结果。
【解析】
解：
∵$DE// BC$，
∴$∠ DFB=∠ FBC$（两直线平行，内错角相等），
∵BF平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBF=∠ FBC$，
∴$∠ DFB=∠ DBF$，
∴$BD=DF$（等角对等边）。
同理可得：$CE=EG$。
∵$DE=DF+FG+EG$，
∴$DF+EG=DE-FG=6-2=4$，
∴$BD+CE=DF+EG=4$。
【答案】
4
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础题，核心考查“平行线+角平分线”推出等腰三角形的常用模型，通过将所求线段转化为已知线段的差即可快速求解，熟练掌握常见几何模型能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
16.如图,在由边长为1的小正方形组成的$5×5$的网格中,点$A,B$在小方格的格点上,要在小方格的格点确定一点$C$,连结$AC$和$BC$,使$△ ABC$是等腰三角形,则方格图中满足条件的点$C$的个数是
6
。答案
16. 6
解析
【分析】
要找出使△ABC为等腰三角形的格点C，需分三类情况讨论：①AB为等腰三角形的腰，顶角顶点为A；②AB为等腰三角形的腰，顶角顶点为B；③AB为等腰三角形的底。首先利用勾股定理算出AB的长度，再分别按三类情况查找符合条件的格点，注意排除三点共线和重复的点，最后汇总符合条件的点的个数即可。
【解析】
首先计算AB的长度：由网格特征可知，点A到点B的横向距离为2，纵向距离为2，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
分三类讨论：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点时（即$AC=AB=2\sqrt{2}$）：以A为圆心，$2\sqrt{2}$为半径画圆，与网格格点的交点除B外，共有3个符合条件的点C；
2. 当AB为腰，B为顶角顶点时（即$BC=AB=2\sqrt{2}$）：以B为圆心，$2\sqrt{2}$为半径画圆，与网格格点的交点除A外，共有3个符合条件的点C，且无和上一类重复的点；
3. 当AB为底时（即$AC=BC$）：点C在AB的垂直平分线上，查找格点发现，垂直平分线上的格点均会出现三点共线或超出网格的情况，无符合条件的点。
综上，满足条件的点C总共有$3+3=6$个。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是网格类等腰三角形判定的典型题型，需要结合网格特征对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，解题时要注意避免漏解，同时要排除无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.6
要找出使△ABC为等腰三角形的格点C，需分三类情况讨论：①AB为等腰三角形的腰，顶角顶点为A；②AB为等腰三角形的腰，顶角顶点为B；③AB为等腰三角形的底。首先利用勾股定理算出AB的长度，再分别按三类情况查找符合条件的格点，注意排除三点共线和重复的点，最后汇总符合条件的点的个数即可。
【解析】
首先计算AB的长度：由网格特征可知，点A到点B的横向距离为2，纵向距离为2，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$
分三类讨论：
1. 当AB为腰，A为顶角顶点时（即$AC=AB=2\sqrt{2}$）：以A为圆心，$2\sqrt{2}$为半径画圆，与网格格点的交点除B外，共有3个符合条件的点C；
2. 当AB为腰，B为顶角顶点时（即$BC=AB=2\sqrt{2}$）：以B为圆心，$2\sqrt{2}$为半径画圆，与网格格点的交点除A外，共有3个符合条件的点C，且无和上一类重复的点；
3. 当AB为底时（即$AC=BC$）：点C在AB的垂直平分线上，查找格点发现，垂直平分线上的格点均会出现三点共线或超出网格的情况，无符合条件的点。
综上，满足条件的点C总共有$3+3=6$个。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题是网格类等腰三角形判定的典型题型，需要结合网格特征对等腰三角形的腰和底进行分类讨论，解题时要注意避免漏解，同时要排除无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.6
