21.（8分）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=36°$，$AC$的垂直平分线交$AB$于$E$，$D$为垂足，连结$CE$。
（1）求$∠ DCE$的度数。
（2）若$CE=5$，求$BC$的长。

21. (1)$∠DCE=36°$ (2)$BC=5$

【分析】
（1）求∠DCE的度数时，首先利用线段垂直平分线的性质得到AE=CE，再结合等边对等角的性质，可推出∠DCE与已知角∠A相等，代入数值即可求解。
（2）求BC的长时，先根据等腰△ABC的顶角度数算出底角∠B的度数，再结合第一问得到的∠DCE的度数求出∠BCE的度数，进而计算出∠BEC的度数，利用等角对等边得到BC与CE的等量关系，代入CE的长度即可得解。
【解析】
（1）
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），
∴∠DCE=∠A（等边对等角），
∵∠A=36°，
∴∠DCE=36°。
（2）
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=$\frac{180°-36°}{2}=72°$，
由（1）得∠DCE=36°，
∴∠BCE=∠ACB-∠DCE=72°-36°=36°，
在△BEC中，∠BEC=180°-∠B-∠BCE=180°-72°-36°=72°，
∴∠BEC=∠B，
∴BC=CE（等角对等边），
∵CE=5，
∴BC=5。
【答案】
(1)$∠DCE=36°$；(2)$BC=5$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质与判定
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过角度的推导找到角的等量关系，进而得到边的等量关系，解题时熟练运用垂直平分线和等腰三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.75

22. (10分)某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设$∠ BAC=θ(0°＜θ＜90°)$，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上。如图所示，从点$A_1$开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中$A_1A_2$为第一根小棒，且$A_1A_2=AA_1$。

(1)若已经摆放了3根小棒，则$θ_1=$，$θ_2=$，$θ_3=$。(用含$θ$的式子表示)
(2)若只能摆放4根小棒，求$θ$的范围。

22. (1)$2θ$ $3θ$ $4θ$ (2)由题意得$\begin{cases}5θ≥90°,\\4θ＜90°,\end{cases}$ $\therefore18°≤θ＜22.5°$

【分析】
（1）本题可依据等腰三角形“等边对等角”的性质以及三角形外角的性质推导角度：已知所有小棒长度相等，因此每个以小棒为腰的三角形均为等腰三角形，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的规律，依次推导$θ_1$、$θ_2$、$θ_3$的表达式即可。
（2）“只能摆放4根小棒”的含义是：第4根小棒可以正常摆放，对应的角度小于90°；第5根小棒无法摆放，对应的角度大于等于90°，据此列出不等式组求解$θ$的取值范围即可。
【解析】
（1）$\because AA_1=A_1A_2$，$\therefore ∠ BAC=∠ AA_2A_1=θ$
根据三角形外角的性质，$θ_1=∠ BAC+∠ AA_2A_1=θ+θ=2θ$
$\because A_1A_2=A_2A_3$，$\therefore ∠ A_2A_1A_3=∠ A_2A_3A_1=θ_1=2θ$
同理可得，$θ_2=∠ BAC+∠ A_2A_3A_1=θ+2θ=3θ$
$\because A_2A_3=A_3A_4$，$\therefore ∠ A_3A_2A_4=∠ A_3A_4A_2=θ_2=3θ$
同理可得，$θ_3=∠ BAC+∠ A_3A_4A_2=θ+3θ=4θ$
（2）若只能摆放4根小棒，说明第4根小棒可成功摆放，第5根小棒无法摆放：
摆放4根小棒时，对应的最大角度为$4θ$，需满足$4θ＜90°$才能构成符合要求的等腰三角形；
若无法摆放第5根小棒，则下一个对应角度$5θ≥90°$，此时无法构成符合要求的等腰三角形。
因此列不等式组：
$\begin{cases}5θ≥90°\\4θ＜90°\end{cases}$
解不等式$5θ≥90°$，得$θ≥18°$
解不等式$4θ＜90°$，得$θ＜22.5°$
综上，$θ$的取值范围为$18°≤θ＜22.5°$
【答案】
(1) $2θ$；$3θ$；$4θ$
(2) $18°≤θ＜22.5°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题属于几何规律探究类题目，将三角形基础性质和不等式应用相结合，解题的核心是准确推导角度的变化规律，正确理解“只能摆放4根小棒”所隐含的不等关系，能够较好地考查同学们的逻辑推理能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6

23. (12分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,连结OC,将△OBC顺时针方向旋转60°得到△DAC,连结OD。
(1)求证:△COD是等边三角形。
(2)若∠BOC=150°,试判断△AOD的形状,并说明理由。
(3)试探究:当∠BOC的度数为多少时,△AOD是等腰三角形。

23. (1)根据旋转得出$CO=CD,∠DCO=60°$,根据等边三角形的判定推出即可
(2)求出$∠ADO=90°$即可求解
(3)$∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=190°-∠α,∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°,∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=50°$。若$∠ADO=∠AOD$,即$∠α-60°=190°-∠α$,解得$∠α=125°$;若$∠ADO=∠OAD$,则$∠α-60°=50°$,解得$∠α=110°$;若$∠OAD=∠AOD$,即$50°=190°-∠α$,解得$∠α=140°$。即当α为$125°$或$110°$或$140°$时,$△AOD$是等腰三角形

【分析】
(1) 要证△COD是等边三角形，可利用等边三角形判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。结合旋转的性质，可得旋转后对应边CO=CD，旋转角∠OCD=60°，满足判定条件即可得证。
(2) 判断△AOD的形状，先通过旋转性质得到∠ADC=∠BOC=150°，再结合(1)中等边△COD的内角∠CDO=60°，作差求出∠ADO的度数即可判断三角形形状。
(3) 探究△AOD为等腰三角形时∠BOC的度数，先设∠BOC=α，用含α的代数式表示出△AOD的三个内角，再分三种等腰的情况列方程求解，即可得到对应的α值。
【解析】
(1) 证明：
∵将△OBC顺时针方向旋转60°得到△DAC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是有一个角为60°的等腰三角形，
∴△COD是等边三角形。
(2) 解：△AOD是直角三角形，理由如下：
由旋转的性质得∠ADC=∠BOC=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC - ∠CDO=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形。
(3) 解：设∠BOC=α，
由旋转的性质得∠ADC=∠BOC=α，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α - 60°，
∵∠AOB=110°，
∴∠AOD=360° - 110° - α - 60°=190°-α，
在△AOD中，∠OAD=180° - (190°-α) - (α-60°)=50°，
分三种情况讨论：
① 若∠ADO=∠AOD，即α-60°=190°-α，解得α=125°；
② 若∠ADO=∠OAD，即α-60°=50°，解得α=110°；
③ 若∠OAD=∠AOD，即50°=190°-α，解得α=140°。
【答案】
(1) 已证△COD是等边三角形；
(2) △AOD是直角三角形；
(3) 当∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形。
【知识点】
旋转的性质；等边三角形判定与性质；等腰三角形判定
【点评】
本题属于三角形综合类题型，核心考查图形变换的性质和特殊三角形的判定，解题时要注意旋转前后对应边、对应角相等的关系，第三问需要分类讨论等腰三角形的三种可能情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6