学习任务 合并同类项解一元一次方程 从特殊到一般
|情境创设|
七(1)班有40名学生，七(2)班有37名学生，两班一起外出参加植树活动，根据任务的不同，需分成甲、乙、丙三个小组，且使甲、乙、丙三个小组人数之比是1：4：6，求各小组人数.
问题:设甲组有 $x$ 名学生，则乙组有 $4x$ 名学生，丙组有 $6x$ 名学生，根据假设的情况可列方程 $x + 4x + 6x = 40 + 37$.
可得 $11x = 77$，这步变形是.
所以 $x = 7$，这步变形是.
所以 $4x = 28, 6x = 42$，
所以甲组有7名学生，乙组有28名学生，丙组有42名学生.
|探究归纳|
解形如“$ax + bx = c + d$”的方程的一般步骤：
(1) ；
(2) .

可得 $11x = 77$，这步变形是合并同类项.
所以 $x = 7$，这步变形是系数化为1.
解形如“$ax + bx = c + d$”的方程的一般步骤：
(1)合并同类项；
(2)系数化为1.

【分析】
解题时先回忆解一元一次方程的基础变形规则：首先看第一步变形，方程左边是三个含x的同类项相加，右边是两个常数相加，将同类项合并得到简化的方程，对应合并同类项的变形；第二步变形是在等式两边同时除以x的系数11，得到x的取值，对应系数化为1的变形。再总结形如$ax+bx=c+d$的方程的解法，第一步先合并方程左右两边的同类项，将方程化为$mx=n$（$m≠0$）的形式，第二步将x的系数化为1即可得到方程的解。
【解析】
1. 从$x + 4x + 6x = 40 + 37$变形得到$11x = 77$：方程左边$x、4x、6x$是同类项，合并后为$(1+4+6)x=11x$，右边$40+37=77$，这步变形是合并同类项。
2. 从$11x=77$变形得到$x=7$：根据等式的性质，等式两边同时除以11，将x的系数变为1，这步变形是系数化为1。
3. 解形如“$ax + bx = c + d$”的方程时：
(1) 先把方程左右两边的同类项分别合并，得到$(a+b)x = c+d$的形式，即第一步为合并同类项；
(2) 再在等式两边同时除以x的系数$(a+b)$（$a+b≠0$），得到$x=\frac{c+d}{a+b}$，即第二步为系数化为1。
【答案】
可得 $11x = 77$，这步变形是合并同类项.
所以 $x = 7$，这步变形是系数化为1.
解形如“$ax + bx = c + d$”的方程的一般步骤：
(1)合并同类项；
(2)系数化为1.
【知识点】
合并同类项；系数化为1；一元一次方程解法
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考察合并同类项解方程的基本步骤，熟练掌握该内容是后续学习解复杂一元一次方程的基础，需牢记相关变形规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.9

【例1】解下列方程：
(1)$2x - 7x = 10$；
(2)$-\frac{5}{2}y + \frac{3}{2}y = 3 + 2$；
(3)$\frac{1}{3}x - x = 1 + \frac{1}{2}$。
解：

(1)合并同类项，得$-5x=10$.
系数化为1，得$x=-2$.
(2)合并同类项，得$-y=5$.
系数化为1，得$y=-5$.
(3)合并同类项，得$-\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}$.
系数化为1，得$x=-\frac{9}{4}$.

【分析】
这三道题都是仅含同类项的一元一次方程，解题思路分为两步：第一步先分别合并方程左右两边的同类项，把方程转化为“$ax=b$（$a\ne0$）”的标准形式，合并时要注意同类项系数的运算，尤其要注意负号、分数系数的计算不要出错；第二步将未知数的系数化为1，即方程两边同时除以未知数的系数$a$，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 合并同类项，得$-5x=10$，
系数化为1，得$x=-2$。
(2) 合并同类项，得$-y=5$，
系数化为1，得$y=-5$。
(3) 合并同类项，得$-\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}$，
系数化为1，得$x=-\frac{9}{4}$。
【答案】
(1)$x=-2$；(2)$y=-5$；(3)$x=-\frac{9}{4}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】
本题是解一元一次方程的基础题型，重点考查合并同类项的运算能力，解题时要注意符号的正确处理，分数运算时要牢记乘除运算法则，熟练掌握本类题型的解题步骤是后续求解复杂一元一次方程的基础。
【难度系数】
0.8

1.方程2 026x－2 025x＋3x＝2 024的解是.

$x=506$

【分析】
这是一道一元一次方程求解的题目，解题思路如下：首先观察方程左边，所有项都是只含未知数x的同类项，所以第一步先对左边的同类项进行合并，计算出x的系数；再通过系数化为1，即可求出x的值。
【解析】
解：首先对左边的同类项进行合并：
$(2026 - 2025 + 3)x = 2024$
计算得：$4x = 2024$
然后将系数化为1，等式两边同时除以4：
$x = 2024 ÷ 4$
解得：$x = 506$
【答案】
$x=506$
【知识点】
1. 合并同类项
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于解一元一次方程的基础题型，核心考查用合并同类项的方法简化一元一次方程的步骤，计算难度较低，熟练掌握一元一次方程的基本求解步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2.解下列方程：
(1)$4x+2x=-2-1$；
(2)$-\dfrac{1}{2}y - y =7$。

(1)合并同类项，得$6x=-3$.
系数化为1，得$x=-\frac{1}{2}$.
(2)合并同类项，得$-\frac{3}{2}y=7$.
系数化为1，得$y=-\frac{14}{3}$.

【分析】
这两道是基础的一元一次方程求解题目，解题思路清晰可分为两步：首先合并方程左右两边的同类项，将方程化简为$ax=b(a≠0)$的标准形式；再将未知数的系数化为1，即方程两边同时除以未知数的系数$a$，就能得到方程的解，计算过程中要重点注意正负号的运算，避免符号出错。
【解析】
(1) 合并同类项，得$6x=-3$，
系数化为1，得$x=-\frac{1}{2}$。
(2) 合并同类项，得$-\frac{3}{2}y=7$，
系数化为1，得$y=-\frac{14}{3}$。
【答案】
(1)$x=-\dfrac{1}{2}$；(2)$y=-\dfrac{14}{3}$
【知识点】
合并同类项；解一元一次方程；系数化为1
【点评】
本题是解一元一次方程的入门基础题型，主要考查合并同类项、系数化为1的运算能力，计算时要注意负数运算的符号规则，处理分数系数时要注意乘除运算的正确性，避免分子分母颠倒。
【难度系数】
0.8