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【例2】为鼓励学生积极参加体育锻炼，学校计划拿出一定资金购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价比为5：1，单价和为180元.篮球和排球的单价分别是多少元？
解：
【规律方法】
解“各部分量的和＝总量”问题的步骤
(1)弄清总量包括几个分量，并设未知数.
(2)根据“各部分量的和＝总量”列出方程.
(3)解方程求出所设未知数.
(4)求出其余分量，并作答.
解：
【规律方法】
解“各部分量的和＝总量”问题的步骤
(1)弄清总量包括几个分量，并设未知数.
(2)根据“各部分量的和＝总量”列出方程.
(3)解方程求出所设未知数.
(4)求出其余分量，并作答.
答案
方法一:设篮球的单价为 $x$ 元,则排球的单价为 $\frac{1}{5}x$ 元.
根据题意,得 $x+\frac{1}{5}x=180$.
解得 $x=150$.所以 $\frac{1}{5}x=30$.
答:篮球和排球的单价分别是 150 元和30 元.
方法二:设排球的单价为 $x$ 元,则篮球的单价为 $5x$ 元.根据题意,得 $x+5x=180$.
解得 $x=30$.所以 $5x=150$.
答:篮球和排球的单价分别是 150 元和30 元.
根据题意,得 $x+\frac{1}{5}x=180$.
解得 $x=150$.所以 $\frac{1}{5}x=30$.
答:篮球和排球的单价分别是 150 元和30 元.
方法二:设排球的单价为 $x$ 元,则篮球的单价为 $5x$ 元.根据题意,得 $x+5x=180$.
解得 $x=30$.所以 $5x=150$.
答:篮球和排球的单价分别是 150 元和30 元.
解析
【分析】
解题时首先明确题目中的两个等量关系：一是篮球单价:排球单价=5:1，二是篮球单价+排球单价=180元。我们可以利用比例关系设其中一种球的单价为未知数，用含未知数的式子表示另一种球的单价，再根据单价和的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出两种球的单价。
【解析】
方法一：设篮球的单价为$x$元，由篮球和排球的单价比为5:1可知，排球的单价为$\frac{1}{5}x$元。
根据单价和为180元列方程：
$x+\frac{1}{5}x=180$
合并同类项得：$\frac{6}{5}x=180$
系数化为1得：$x=150$
则排球单价为$\frac{1}{5}×150=30$（元）
方法二：设排球的单价为$x$元，由篮球和排球的单价比为5:1可知，篮球的单价为$5x$元。
根据单价和为180元列方程：
$x+5x=180$
合并同类项得：$6x=180$
系数化为1得：$x=30$
则篮球单价为$5×30=150$（元）
【答案】
篮球的单价是150元，排球的单价是30元。
【知识点】
一元一次方程的应用；比例关系；合并同类项解方程
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，核心是通过比例关系简化未知数的设定，结合“各分量之和等于总量”的常见等量关系列方程求解，熟练掌握这类题型能为后续解决复杂的实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目中的两个等量关系：一是篮球单价:排球单价=5:1，二是篮球单价+排球单价=180元。我们可以利用比例关系设其中一种球的单价为未知数，用含未知数的式子表示另一种球的单价，再根据单价和的等量关系列一元一次方程，解方程即可求出两种球的单价。
【解析】
方法一：设篮球的单价为$x$元，由篮球和排球的单价比为5:1可知，排球的单价为$\frac{1}{5}x$元。
根据单价和为180元列方程：
$x+\frac{1}{5}x=180$
合并同类项得：$\frac{6}{5}x=180$
系数化为1得：$x=150$
则排球单价为$\frac{1}{5}×150=30$（元）
方法二：设排球的单价为$x$元，由篮球和排球的单价比为5:1可知，篮球的单价为$5x$元。
根据单价和为180元列方程：
$x+5x=180$
合并同类项得：$6x=180$
系数化为1得：$x=30$
则篮球单价为$5×30=150$（元）
【答案】
篮球的单价是150元，排球的单价是30元。
【知识点】
一元一次方程的应用；比例关系；合并同类项解方程
【点评】
本题属于方程应用的基础题型，核心是通过比例关系简化未知数的设定，结合“各分量之和等于总量”的常见等量关系列方程求解，熟练掌握这类题型能为后续解决复杂的实际应用问题打好基础。
【难度系数】
0.9
3.有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”“倍加增”指从塔的顶层到底层，下一层灯的盏数都是上一层的2倍，“尖头”是指顶层，则宝塔的顶层有
3
盏红灯.答案
3
解析
【分析】
解题时首先要读懂题意，明确等量关系：七层塔的灯总数量为381盏。已知从顶层到底层，下一层灯数是上一层的2倍，我们可以设顶层灯数为未知数，依次表示出其余六层的灯数，将七层灯数相加等于总灯数，列出一元一次方程求解即可。
【解析】
设宝塔的顶层有$ x $盏红灯。
根据“倍加增”的规则，各层灯数如下：
顶层（第1层）：$ x $盏
第2层：$ 2x $盏
第3层：$ 2×2x=4x $盏
第4层：$ 2×4x=8x $盏
第5层：$ 2×8x=16x $盏
第6层：$ 2×16x=32x $盏
第7层：$ 2×32x=64x $盏
根据总灯数为381盏，列方程：
$ x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381 $
合并同类项得：$ 127x=381 $
系数化为1得：$ x=381÷127=3 $
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题是经典的古典数学应用题，核心考查方程思想的应用，解题的关键是准确理解“倍加增”的含义，梳理清楚各层灯数的数量关系，正确列出方程求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂题意，明确等量关系：七层塔的灯总数量为381盏。已知从顶层到底层，下一层灯数是上一层的2倍，我们可以设顶层灯数为未知数，依次表示出其余六层的灯数，将七层灯数相加等于总灯数，列出一元一次方程求解即可。
【解析】
设宝塔的顶层有$ x $盏红灯。
根据“倍加增”的规则，各层灯数如下：
顶层（第1层）：$ x $盏
第2层：$ 2x $盏
第3层：$ 2×2x=4x $盏
第4层：$ 2×4x=8x $盏
第5层：$ 2×8x=16x $盏
第6层：$ 2×16x=32x $盏
第7层：$ 2×32x=64x $盏
根据总灯数为381盏，列方程：
$ x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381 $
合并同类项得：$ 127x=381 $
系数化为1得：$ x=381÷127=3 $
【答案】
3
【知识点】
一元一次方程的应用；合并同类项解一元一次方程
【点评】
本题是经典的古典数学应用题，核心考查方程思想的应用，解题的关键是准确理解“倍加增”的含义，梳理清楚各层灯数的数量关系，正确列出方程求解。
【难度系数】
0.7
4.筐内有橘子、梨、苹果共400个，它们的数量比为1：2：5，则苹果有多少个？
答案
解:苹果有 250 个.
解析
【分析】
已知三种水果的数量比为1:2:5，我们可以先设1份的数量为x，那么橘子、梨、苹果的数量就可以分别表示为x、2x、5x；再根据三种水果总共有400个的等量关系列出一元一次方程，解方程求出x的值后，乘苹果对应的份数5，就能得到苹果的数量。
【解析】
解：设橘子的数量为x个，则梨的数量为2x个，苹果的数量为5x个。
根据三种水果总数量为400个，列方程得：
$x + 2x + 5x = 400$
合并同类项，得：
$8x = 400$
系数化为1，得：
$x = 50$
所以苹果的数量为 $5x = 5 × 50 = 250$（个）
【答案】
250个
【知识点】
1. 按比例分配
2. 一元一次方程的应用
3. 合并同类项解方程
【点评】
本题是比例类基础应用题，解题关键是根据比例关系设每份为未知数，结合总数量建立方程求解，掌握一元一次方程的基本解法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
已知三种水果的数量比为1:2:5，我们可以先设1份的数量为x，那么橘子、梨、苹果的数量就可以分别表示为x、2x、5x；再根据三种水果总共有400个的等量关系列出一元一次方程，解方程求出x的值后，乘苹果对应的份数5，就能得到苹果的数量。
【解析】
解：设橘子的数量为x个，则梨的数量为2x个，苹果的数量为5x个。
根据三种水果总数量为400个，列方程得：
$x + 2x + 5x = 400$
合并同类项，得：
$8x = 400$
系数化为1，得：
$x = 50$
所以苹果的数量为 $5x = 5 × 50 = 250$（个）
【答案】
250个
【知识点】
1. 按比例分配
2. 一元一次方程的应用
3. 合并同类项解方程
【点评】
本题是比例类基础应用题，解题关键是根据比例关系设每份为未知数，结合总数量建立方程求解，掌握一元一次方程的基本解法即可快速得分。
【难度系数】
0.9
【例3】有一列数－4,8,－16,32,－64,…,其中第n个数是$2×(-2)^n$（n是正整数）,如果这列数中,某四个相邻数的和为80,那么这四个数中的最小数是多少？
解:
【规律方法】
解决数的规律问题的一般思路
首先要根据给出的数找到排列规律,然后选择合适的数设为未知数,并根据排列规律表示出其他数,最后根据给出的条件列出方程求解.求解时需注意要求的是哪个数.
解:
【规律方法】
解决数的规律问题的一般思路
首先要根据给出的数找到排列规律,然后选择合适的数设为未知数,并根据排列规律表示出其他数,最后根据给出的条件列出方程求解.求解时需注意要求的是哪个数.
答案
这四个数中的最小数为$-64$.
解析
【分析】
首先根据题目给出的数列通项公式，可推导得相邻两个数的关系：后一个数是前一个数的-2倍。要求四个相邻数的和为80，我们可以设四个相邻数中第一个数为未知数，根据相邻数的倍数关系表示出其余三个数，再根据四个数的和为80列一元一次方程，求解得到四个数后比较大小即可得到最小数。
【解析】
解：设这四个相邻数中的第一个数为$x$，则其余三个数依次为$-2x$、$4x$、$-8x$。
根据四个数的和为80，列方程得：
$x + (-2x) + 4x + (-8x) = 80$
合并同类项，得：
$-5x = 80$
系数化为1，得：
$x = -16$
因此四个数依次为：$-16$，$-2×(-16)=32$，$4×(-16)=-64$，$-8×(-16)=128$。
比较大小可得最小数为$-64$。
【答案】
$-64$
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，合并同类项解方程
【点评】
本题结合数列规律考察一元一次方程的实际应用，解题核心是先根据数列特征用同一未知数表示出四个相邻数，再根据等量关系列方程求解，求出未知数后要注意对应题目要求找最小数，避免直接把解得的未知数当作最终答案。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的数列通项公式，可推导得相邻两个数的关系：后一个数是前一个数的-2倍。要求四个相邻数的和为80，我们可以设四个相邻数中第一个数为未知数，根据相邻数的倍数关系表示出其余三个数，再根据四个数的和为80列一元一次方程，求解得到四个数后比较大小即可得到最小数。
【解析】
解：设这四个相邻数中的第一个数为$x$，则其余三个数依次为$-2x$、$4x$、$-8x$。
根据四个数的和为80，列方程得：
$x + (-2x) + 4x + (-8x) = 80$
合并同类项，得：
$-5x = 80$
系数化为1，得：
$x = -16$
因此四个数依次为：$-16$，$-2×(-16)=32$，$4×(-16)=-64$，$-8×(-16)=128$。
比较大小可得最小数为$-64$。
【答案】
$-64$
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，合并同类项解方程
【点评】
本题结合数列规律考察一元一次方程的实际应用，解题核心是先根据数列特征用同一未知数表示出四个相邻数，再根据等量关系列方程求解，求出未知数后要注意对应题目要求找最小数，避免直接把解得的未知数当作最终答案。
【难度系数】
0.7
5.若三个连续偶数的和是24，则它们的积是(
A.48
B.480
C.240
D.120
B
)A.48
B.480
C.240
D.120
答案
B
解析
【分析】
拿到这道题，我们需要先求出三个连续偶数的具体值，再计算它们的乘积。首先明确连续偶数的特征：相邻两个偶数相差2，我们可以通过设未知数列一元一次方程求解。为了简化计算，优先设中间的偶数为x，那么另外两个偶数就可以表示为x-2和x+2，两者的常数项在相加时会抵消，方便后续用合并同类项的方法解方程。再根据“三个连续偶数的和是24”的等量关系列方程，解出三个数后相乘即可得到结果。
【解析】
解：设三个连续偶数中，中间的偶数为$x$，则较小的偶数为$x-2$，较大的偶数为$x+2$。
根据题意列方程：
$(x-2)+x+(x+2)=24$
合并同类项，得：
$3x=24$
系数化为1，得：
$x=8$
因此三个连续偶数分别为：$8-2=6$，$8$，$8+2=10$
它们的积为：$6×8×10=480$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用，合并同类项解方程，偶数的特征
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住连续偶数的差值特点合理设未知数，借助合并同类项简化方程求解过程，考查学生运用方程解决数值类问题的基础能力。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，我们需要先求出三个连续偶数的具体值，再计算它们的乘积。首先明确连续偶数的特征：相邻两个偶数相差2，我们可以通过设未知数列一元一次方程求解。为了简化计算，优先设中间的偶数为x，那么另外两个偶数就可以表示为x-2和x+2，两者的常数项在相加时会抵消，方便后续用合并同类项的方法解方程。再根据“三个连续偶数的和是24”的等量关系列方程，解出三个数后相乘即可得到结果。
【解析】
解：设三个连续偶数中，中间的偶数为$x$，则较小的偶数为$x-2$，较大的偶数为$x+2$。
根据题意列方程：
$(x-2)+x+(x+2)=24$
合并同类项，得：
$3x=24$
系数化为1，得：
$x=8$
因此三个连续偶数分别为：$8-2=6$，$8$，$8+2=10$
它们的积为：$6×8×10=480$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的应用，合并同类项解方程，偶数的特征
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，解题关键是抓住连续偶数的差值特点合理设未知数，借助合并同类项简化方程求解过程，考查学生运用方程解决数值类问题的基础能力。
【难度系数】
0.8
6.有一列数－6，18，－54，162，－486，…，其中第n个数是$2×(-3)^n$（n是正整数），如果这列数中，某四个相邻数的和是1 080，那么这四个数中最大数与最小数的和是多少？
答案
解：
设这四个相邻数中的第一个数为$2×(-3)^k$（$k$为正整数），则后续三个相邻数依次为$2×(-3)^{k+1}$、$2×(-3)^{k+2}$、$2×(-3)^{k+3}$。
根据四个数的和为1080，列方程：
$\begin{aligned}2×(-3)^k + 2×(-3)^{k+1} + 2×(-3)^{k+2} + 2×(-3)^{k+3} &= 1080\\2×(-3)^k×[1 + (-3) + (-3)^2 + (-3)^3] &= 1080\\2×(-3)^k×(1-3+9-27) &= 1080\\2×(-3)^k×(-20) &= 1080\\(-3)^k &= -27\end{aligned}$
解得$k=3$，因此这四个数分别为：
$2×(-3)^3=-54$，$2×(-3)^4=162$，$2×(-3)^5=-486$，$2×(-3)^6=1458$。
这四个数中最大数为1458，最小数为-486，它们的和为$1458 + (-486) = 972$。
答：这四个数中最大数与最小数的和是972。
设这四个相邻数中的第一个数为$2×(-3)^k$（$k$为正整数），则后续三个相邻数依次为$2×(-3)^{k+1}$、$2×(-3)^{k+2}$、$2×(-3)^{k+3}$。
根据四个数的和为1080，列方程：
$\begin{aligned}2×(-3)^k + 2×(-3)^{k+1} + 2×(-3)^{k+2} + 2×(-3)^{k+3} &= 1080\\2×(-3)^k×[1 + (-3) + (-3)^2 + (-3)^3] &= 1080\\2×(-3)^k×(1-3+9-27) &= 1080\\2×(-3)^k×(-20) &= 1080\\(-3)^k &= -27\end{aligned}$
解得$k=3$，因此这四个数分别为：
$2×(-3)^3=-54$，$2×(-3)^4=162$，$2×(-3)^5=-486$，$2×(-3)^6=1458$。
这四个数中最大数为1458，最小数为-486，它们的和为$1458 + (-486) = 972$。
答：这四个数中最大数与最小数的和是972。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用题目给出的第n个数的表达式，设四个相邻数中的第一个为第k个数，即可用含k的式子依次表示出后三个数；再根据“四个相邻数的和为1080”的等量关系列方程，通过提取公因式简化方程求解得到k的值；最后算出四个数的具体值，找到最大数和最小数求和即可。
【解析】
设这四个相邻数中的第一个数为$2×(-3)^k$（$k$为正整数），则后续三个相邻数依次为$2×(-3)^{k+1}$、$2×(-3)^{k+2}$、$2×(-3)^{k+3}$。
根据四个数的和为1080，列方程：
$\begin{aligned}2×(-3)^k + 2×(-3)^{k+1} + 2×(-3)^{k+2} + 2×(-3)^{k+3} &= 1080\\2×(-3)^k×[1 + (-3) + (-3)^2 + (-3)^3] &= 1080\\2×(-3)^k×(1-3+9-27) &= 1080\\2×(-3)^k×(-20) &= 1080\\(-3)^k &= -27\end{aligned}$
解得$k=3$，因此这四个数分别为：
$2×(-3)^3=-54$，$2×(-3)^4=162$，$2×(-3)^5=-486$，$2×(-3)^6=1458$。
这四个数中最大数为1458，最小数为-486，它们的和为$1458 + (-486) = 972$。
【答案】
972
【知识点】
一元一次方程应用；有理数乘方；合并同类项
【点评】
本题结合数列规律与一元一次方程的知识，解题关键是合理用参数表示四个相邻数，通过提取公因式简化运算，考察了学生的方程思想和有理数运算能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先利用题目给出的第n个数的表达式，设四个相邻数中的第一个为第k个数，即可用含k的式子依次表示出后三个数；再根据“四个相邻数的和为1080”的等量关系列方程，通过提取公因式简化方程求解得到k的值；最后算出四个数的具体值，找到最大数和最小数求和即可。
【解析】
设这四个相邻数中的第一个数为$2×(-3)^k$（$k$为正整数），则后续三个相邻数依次为$2×(-3)^{k+1}$、$2×(-3)^{k+2}$、$2×(-3)^{k+3}$。
根据四个数的和为1080，列方程：
$\begin{aligned}2×(-3)^k + 2×(-3)^{k+1} + 2×(-3)^{k+2} + 2×(-3)^{k+3} &= 1080\\2×(-3)^k×[1 + (-3) + (-3)^2 + (-3)^3] &= 1080\\2×(-3)^k×(1-3+9-27) &= 1080\\2×(-3)^k×(-20) &= 1080\\(-3)^k &= -27\end{aligned}$
解得$k=3$，因此这四个数分别为：
$2×(-3)^3=-54$，$2×(-3)^4=162$，$2×(-3)^5=-486$，$2×(-3)^6=1458$。
这四个数中最大数为1458，最小数为-486，它们的和为$1458 + (-486) = 972$。
【答案】
972
【知识点】
一元一次方程应用；有理数乘方；合并同类项
【点评】
本题结合数列规律与一元一次方程的知识，解题关键是合理用参数表示四个相邻数，通过提取公因式简化运算，考察了学生的方程思想和有理数运算能力。
【难度系数】
0.6
