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1. [2020·安徽第14(1)题]在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，
，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处，则∠PAQ的大小为
，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处，则∠PAQ的大小为30
°。答案
1. 30
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等。第一步，先根据两次折叠后∠D和∠C对应到∠ARQ和∠QRP，这两个角组成平角，可得∠D+∠C=180°，从而推出AD//BC，得到∠DAB与∠B互补；第二步，根据平角∠DQC的角度关系，结合折叠得到的等角，推出∠AQP=90°，再由第一次折叠得∠B=∠AQP=90°，从而算出∠DAB=90°；第三步，由三次折叠得到的三个角∠DAQ=∠QAP=∠BAP，三等分∠DAB，即可求出∠PAQ的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可得：
∠BAP=∠QAP=∠DAQ，∠B=∠AQP，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，∠AQD=∠AQR，∠PQC=∠PQR。
①
∵∠ARQ+∠QRP=180°，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
②
∵∠AQD+∠AQP+∠PQC=180°，且∠AQD=∠AQR，∠PQC=∠PQR，
∴∠AQR+∠PQR +∠AQP=180°，即2∠AQP=180°，
解得∠AQP=90°，
∴∠B=∠AQP=90°。
③
∴∠DAB=180°-∠B=90°，
又
∵∠DAQ=∠QAP=∠BAP，
∴∠PAQ=∠DAB÷3=90°÷3=30°。
【答案】
30
【知识点】
折叠的性质；平行线的判定与性质；角度计算
【点评】
本题以折叠操作为背景，核心考查折叠前后对应角相等的性质，同时结合平行线、平角的性质推导角度关系，解题的关键是梳理清楚折叠后相等的角，找到角度之间的和差倍分关系。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等。第一步，先根据两次折叠后∠D和∠C对应到∠ARQ和∠QRP，这两个角组成平角，可得∠D+∠C=180°，从而推出AD//BC，得到∠DAB与∠B互补；第二步，根据平角∠DQC的角度关系，结合折叠得到的等角，推出∠AQP=90°，再由第一次折叠得∠B=∠AQP=90°，从而算出∠DAB=90°；第三步，由三次折叠得到的三个角∠DAQ=∠QAP=∠BAP，三等分∠DAB，即可求出∠PAQ的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可得：
∠BAP=∠QAP=∠DAQ，∠B=∠AQP，∠D=∠ARQ，∠C=∠QRP，∠AQD=∠AQR，∠PQC=∠PQR。
①
∵∠ARQ+∠QRP=180°，
∴∠D+∠C=180°，
∴AD//BC（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠DAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
②
∵∠AQD+∠AQP+∠PQC=180°，且∠AQD=∠AQR，∠PQC=∠PQR，
∴∠AQR+∠PQR +∠AQP=180°，即2∠AQP=180°，
解得∠AQP=90°，
∴∠B=∠AQP=90°。
③
∴∠DAB=180°-∠B=90°，
又
∵∠DAQ=∠QAP=∠BAP，
∴∠PAQ=∠DAB÷3=90°÷3=30°。
【答案】
30
【知识点】
折叠的性质；平行线的判定与性质；角度计算
【点评】
本题以折叠操作为背景，核心考查折叠前后对应角相等的性质，同时结合平行线、平角的性质推导角度关系，解题的关键是梳理清楚折叠后相等的角，找到角度之间的和差倍分关系。
【难度系数】
0.6
真题再变式
如图,在长方形ABCD中,点F在边BC上,△AED与△FED关于直线DE对称.若∠BFE=50°,则∠AED=
如图,在长方形ABCD中,点F在边BC上,△AED与△FED关于直线DE对称.若∠BFE=50°,则∠AED=
70°
.答案
70°
解析
【分析】
解题时先利用轴对称的性质得到相等的角，再结合长方形内角为直角的特点，先在直角三角形BEF中算出∠BEF的度数，再根据平角定义求出∠AEF的度数，最后利用轴对称得到的角平分线关系即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵△AED与△FED关于直线DE对称，
∴∠AED=∠FED，∠DFE=∠A=90°。
在△BEF中，∠B=90°，∠BFE=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BEF=180°-∠B-∠BFE=180°-90°-50°=40°。
∵点E在AB边上，∠AEF与∠BEF组成平角，
∴∠AEF=180°-∠BEF=180°-40°=140°。
又
∵∠AED=∠FED，即DE平分∠AEF，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$∠AEF=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和，平角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，解题核心是通过轴对称的性质找到角的等量关系，再结合三角形内角和、平角的性质逐步推导，难度较低，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
解题时先利用轴对称的性质得到相等的角，再结合长方形内角为直角的特点，先在直角三角形BEF中算出∠BEF的度数，再根据平角定义求出∠AEF的度数，最后利用轴对称得到的角平分线关系即可求出∠AED的度数。
【解析】
解：
∵△AED与△FED关于直线DE对称，
∴∠AED=∠FED，∠DFE=∠A=90°。
在△BEF中，∠B=90°，∠BFE=50°，
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BEF=180°-∠B-∠BFE=180°-90°-50°=40°。
∵点E在AB边上，∠AEF与∠BEF组成平角，
∴∠AEF=180°-∠BEF=180°-40°=140°。
又
∵∠AED=∠FED，即DE平分∠AEF，
∴∠AED=$\frac{1}{2}$∠AEF=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
【答案】
70°
【知识点】
轴对称的性质，三角形内角和，平角的定义
【点评】
本题是基础的角度计算综合题，解题核心是通过轴对称的性质找到角的等量关系，再结合三角形内角和、平角的性质逐步推导，难度较低，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
2. [2023·安徽第17题]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段$A_1B_1$;
(2)将线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到线段$A_2B_2$,画出线段$A_2B_2$;
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N,使得直线MN垂直平分AB.
(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段$A_1B_1$;
(2)将线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到线段$A_2B_2$,画出线段$A_2B_2$;
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N,使得直线MN垂直平分AB.
答案
解：
(1) 分别作出点A、点B关于直线CD的对称点$A_1$、$B_1$，连接$A_1B_1$，所得线段$A_1B_1$即为所求；
(2) 将点A向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点$A_2$，将点B按相同规则平移得到点$B_2$，连接$A_2B_2$，所得线段$A_2B_2$即为所求；
(3) 取线段AB的中点即为点M，作AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线CD的交点即为点N，描出点M、N，直线MN即满足垂直平分AB的要求。
按上述步骤完成作图即可。
(1) 分别作出点A、点B关于直线CD的对称点$A_1$、$B_1$，连接$A_1B_1$，所得线段$A_1B_1$即为所求；
(2) 将点A向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点$A_2$，将点B按相同规则平移得到点$B_2$，连接$A_2B_2$，所得线段$A_2B_2$即为所求；
(3) 取线段AB的中点即为点M，作AB的垂直平分线，该垂直平分线与直线CD的交点即为点N，描出点M、N，直线MN即满足垂直平分AB的要求。
按上述步骤完成作图即可。
解析
【分析】
本题为网格环境下的基础作图题，可按小问逐个梳理思路：
1. 作对称线段：线段由两个端点确定，结合轴对称“对称点的连线被对称轴垂直平分”的性质，只需先找到A、B关于直线CD的对称点，再连接两个对称点即可得到所求对称线段。
2. 作平移后线段：平移变换中图形上所有点的平移方向、距离均一致，只需将端点A、B按“左移2个单位、上移1个单位”的规则平移得到对应点，连接对应点即可得到平移后的线段。
3. 找满足要求的M、N：根据线段垂直平分线的定义，垂直平分线过线段AB的中点且与AB垂直，因此先确定AB的中点M，再过M作AB的垂线，垂线与CD的交点即为N，此时直线MN自然垂直平分AB。
【解析】
(1) ①数出点A到直线CD的水平距离为3个单位，在CD左侧距离CD3个单位的对应位置，作出点A关于CD的对称点$A_1$；②用相同方法作出点B关于CD的对称点$B_1$；③用直尺连接$A_1B_1$，所得线段即为所求。
(2) ①将点A向左数2个小格，再向上数1个小格，得到点$A_2$；②按相同平移规则，将点B向左平移2个单位、向上平移1个单位得到点$B_2$；③连接$A_2B_2$，所得线段即为所求。
(3) ①数格找到线段AB的中点M（中点到A、B的格点距离相等）；②过M作AB的垂线，该垂线与直线CD的交点即为点N，描出M、N两点即可。
【答案】
按上述步骤完成对应作图即可。
【知识点】
1.轴对称作图
2.平移作图
3.线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础类网格作图题，侧重考查几何基本作图技能，解题时需熟练运用轴对称、平移的性质及线段垂直平分线的特征，作图时注意数准格点距离，保证作图规范准确。
【难度系数】
0.8
本题为网格环境下的基础作图题，可按小问逐个梳理思路：
1. 作对称线段：线段由两个端点确定，结合轴对称“对称点的连线被对称轴垂直平分”的性质，只需先找到A、B关于直线CD的对称点，再连接两个对称点即可得到所求对称线段。
2. 作平移后线段：平移变换中图形上所有点的平移方向、距离均一致，只需将端点A、B按“左移2个单位、上移1个单位”的规则平移得到对应点，连接对应点即可得到平移后的线段。
3. 找满足要求的M、N：根据线段垂直平分线的定义，垂直平分线过线段AB的中点且与AB垂直，因此先确定AB的中点M，再过M作AB的垂线，垂线与CD的交点即为N，此时直线MN自然垂直平分AB。
【解析】
(1) ①数出点A到直线CD的水平距离为3个单位，在CD左侧距离CD3个单位的对应位置，作出点A关于CD的对称点$A_1$；②用相同方法作出点B关于CD的对称点$B_1$；③用直尺连接$A_1B_1$，所得线段即为所求。
(2) ①将点A向左数2个小格，再向上数1个小格，得到点$A_2$；②按相同平移规则，将点B向左平移2个单位、向上平移1个单位得到点$B_2$；③连接$A_2B_2$，所得线段即为所求。
(3) ①数格找到线段AB的中点M（中点到A、B的格点距离相等）；②过M作AB的垂线，该垂线与直线CD的交点即为点N，描出M、N两点即可。
【答案】
按上述步骤完成对应作图即可。
【知识点】
1.轴对称作图
2.平移作图
3.线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础类网格作图题，侧重考查几何基本作图技能，解题时需熟练运用轴对称、平移的性质及线段垂直平分线的特征，作图时注意数准格点距离，保证作图规范准确。
【难度系数】
0.8
1. [2026·内蒙古中考]下列由字母A与B的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是（
A
B
C D
A
）A
B
C D
答案
1. A
解析
【分析】
要判断哪个图形是轴对称图形，首先明确轴对称图形的核心判断依据：如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。解题时只需逐个验证四个选项的图形是否存在这样的直线即可：依次观察每个图形，尝试找到一条直线，判断对折后两边能否重合，满足条件的就是正确选项。
【解析】
解：根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一分析：
选项A：沿图形中间的竖直直线折叠，直线左右两边的部分可以完全重合，属于轴对称图形；
选项B：该蜗牛创意图形不存在能使两侧折叠后重合的直线，不属于轴对称图形；
选项C：左侧和右侧图形结构差异明显，折叠后无法重合，不属于轴对称图形；
选项D：该创意汉字图形不存在能使两侧折叠后重合的直线，不属于轴对称图形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕轴对称图形的定义设置，解题时只需结合定义仔细观察图形特征即可快速判断，是对称相关知识的常见考查形式。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形是轴对称图形，首先明确轴对称图形的核心判断依据：如果一个图形沿着某一条直线对折，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。解题时只需逐个验证四个选项的图形是否存在这样的直线即可：依次观察每个图形，尝试找到一条直线，判断对折后两边能否重合，满足条件的就是正确选项。
【解析】
解：根据轴对称图形的定义：沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一分析：
选项A：沿图形中间的竖直直线折叠，直线左右两边的部分可以完全重合，属于轴对称图形；
选项B：该蜗牛创意图形不存在能使两侧折叠后重合的直线，不属于轴对称图形；
选项C：左侧和右侧图形结构差异明显，折叠后无法重合，不属于轴对称图形；
选项D：该创意汉字图形不存在能使两侧折叠后重合的直线，不属于轴对称图形。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，围绕轴对称图形的定义设置，解题时只需结合定义仔细观察图形特征即可快速判断，是对称相关知识的常见考查形式。
【难度系数】
0.9
2. [2025·扬州中考]在如图所示的房屋人字梁架中，$AB=AC$，点$D$在$BC$上，下列条件不能说明$AD⊥BC$的是（
A.$∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$
B
）A.$∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$
答案
2. B
解析
【分析】
首先由已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，BC为底边。要判断哪个条件无法推出AD⊥BC，我们结合等腰三角形的性质和垂直的定义逐一分析选项：①邻补角相等时，每个角均为90°，可直接得到垂直；②等腰三角形本身就有两底角相等的性质，该性质与AD的位置无关；③等腰三角形三线合一指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，因此底边上的中线、顶角平分线都可推出是底边上的高，即垂直。
【解析】
已知AB=AC，故△ABC为等腰三角形，BC是底边。
对选项A：∠ADB与∠ADC是邻补角，和为180°，若∠ADB=∠ADC，则∠ADB=∠ADC=90°，可得AD⊥BC，不符合题意；
对选项B：∠B=∠C是等腰三角形的固有性质，与AD的位置无关，无法推出AD⊥BC，符合题意；
对选项C：BD=CD说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
对选项D：AD平分∠BAC说明AD是等腰△ABC的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三线合一，垂直的定义
【点评】
本题围绕等腰三角形的核心性质“三线合一”命题，解题的关键是明确等腰三角形本身两底角相等的固有性质，区分附加在AD上的条件能否对应三线合一的三种情况，避免将等腰三角形的基本性质当成能确定AD位置的条件。
【难度系数】
0.7
首先由已知AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，BC为底边。要判断哪个条件无法推出AD⊥BC，我们结合等腰三角形的性质和垂直的定义逐一分析选项：①邻补角相等时，每个角均为90°，可直接得到垂直；②等腰三角形本身就有两底角相等的性质，该性质与AD的位置无关；③等腰三角形三线合一指的是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，因此底边上的中线、顶角平分线都可推出是底边上的高，即垂直。
【解析】
已知AB=AC，故△ABC为等腰三角形，BC是底边。
对选项A：∠ADB与∠ADC是邻补角，和为180°，若∠ADB=∠ADC，则∠ADB=∠ADC=90°，可得AD⊥BC，不符合题意；
对选项B：∠B=∠C是等腰三角形的固有性质，与AD的位置无关，无法推出AD⊥BC，符合题意；
对选项C：BD=CD说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意；
对选项D：AD平分∠BAC说明AD是等腰△ABC的顶角平分线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，三线合一，垂直的定义
【点评】
本题围绕等腰三角形的核心性质“三线合一”命题，解题的关键是明确等腰三角形本身两底角相等的固有性质，区分附加在AD上的条件能否对应三线合一的三种情况，避免将等腰三角形的基本性质当成能确定AD位置的条件。
【难度系数】
0.7
3. [2026·湖北中考]如图,在$△ ABC$中,$AC=4$,$AB=5$,分别以点$B$和点$C$为圆心,以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧交于$E$,$F$两点,作直线$EF$与边$AB$交于点$D$,连接$CD$,则$△ ADC$的周长是 (
A.7
B.8
C.9
D.12
C
)A.7
B.8
C.9
D.12
答案
3. C
解析
【分析】
首先根据题目描述的尺规作图特征，判断直线EF是线段BC的垂直平分线，再依据线段垂直平分线的性质得到DC=DB，最后对△ADC的周长做等量代换，结合已知的AB、AC长度即可求出结果。
【解析】
由尺规作图的方法可知，直线EF是线段BC的垂直平分线。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∵点D在EF上，
∴DC=DB。
△ADC的周长为$ C_{△ ADC}=AD+DC+AC $，
将DC替换为DB，可得$ C_{△ ADC}=AD+DB+AC=AB+AC $，
已知$ AB=5 $，$ AC=4 $，代入得$ C_{△ ADC}=5+4=9 $。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图识别，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对尺规作图的识别以及线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过线段等量代换将未知周长转化为已知线段的和，解题思路清晰，是几何中的常考题型。
【难度系数】
0.8
首先根据题目描述的尺规作图特征，判断直线EF是线段BC的垂直平分线，再依据线段垂直平分线的性质得到DC=DB，最后对△ADC的周长做等量代换，结合已知的AB、AC长度即可求出结果。
【解析】
由尺规作图的方法可知，直线EF是线段BC的垂直平分线。
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，
∵点D在EF上，
∴DC=DB。
△ADC的周长为$ C_{△ ADC}=AD+DC+AC $，
将DC替换为DB，可得$ C_{△ ADC}=AD+DB+AC=AB+AC $，
已知$ AB=5 $，$ AC=4 $，代入得$ C_{△ ADC}=5+4=9 $。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，尺规作图识别，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对尺规作图的识别以及线段垂直平分线性质的应用，解题的核心是通过线段等量代换将未知周长转化为已知线段的和，解题思路清晰，是几何中的常考题型。
【难度系数】
0.8
4.[2026·凉山彝族自治州中考]如图,点P是$∠ AOB$的平分线上一点,过点P作$PC// OB$,交OA于点C.若$OC=2$,$∠ POB=15°$,则点P到OB的距离PD的长是
1
.答案
4. 1
解析
【分析】
解题时首先利用角平分线的定义得到∠AOP的度数和∠AOB的总度数，再结合平行线的性质推出△COP是等腰三角形，得到PC的长度；之后利用平行线的性质得到∠PCE为30°，再根据角平分线的性质可知点P到OB的距离PD等于点P到OA的距离，最后在含30°角的直角三角形中利用“30°角所对直角边等于斜边一半”的性质求解即可。
【解析】
解：
∵OP是∠AOB的角平分线，∠POB=15°
∴∠AOP=∠POB=15°，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°
∵PC//OB
∴∠CPO=∠POB=15°，∠PCE=∠AOB=30°
∴∠CPO=∠COP，即△COP为等腰三角形
∴PC=OC=2
过点P作PE⊥OA于点E
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PD⊥OB
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，得PE=PD
在Rt△PCE中，∠PCE=30°，斜边PC=2
∴PE=$\frac{1}{2}$PC=1
∴PD=PE=1
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用平行线和角平分线的性质实现角和线段的等量转化，结合特殊直角三角形的性质求出线段长度，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用角平分线的定义得到∠AOP的度数和∠AOB的总度数，再结合平行线的性质推出△COP是等腰三角形，得到PC的长度；之后利用平行线的性质得到∠PCE为30°，再根据角平分线的性质可知点P到OB的距离PD等于点P到OA的距离，最后在含30°角的直角三角形中利用“30°角所对直角边等于斜边一半”的性质求解即可。
【解析】
解：
∵OP是∠AOB的角平分线，∠POB=15°
∴∠AOP=∠POB=15°，∠AOB=∠AOP+∠POB=30°
∵PC//OB
∴∠CPO=∠POB=15°，∠PCE=∠AOB=30°
∴∠CPO=∠COP，即△COP为等腰三角形
∴PC=OC=2
过点P作PE⊥OA于点E
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PD⊥OB
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，得PE=PD
在Rt△PCE中，∠PCE=30°，斜边PC=2
∴PE=$\frac{1}{2}$PC=1
∴PD=PE=1
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是利用平行线和角平分线的性质实现角和线段的等量转化，结合特殊直角三角形的性质求出线段长度，考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
