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4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$.
(1)作$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若$CD=3$，$AB+BC=16$，求$△ ABC$的面积.
(1)作$∠ ABC$的平分线交$AC$于点$D$；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)若$CD=3$，$AB+BC=16$，求$△ ABC$的面积.
答案
4.(1)图略.
(2)$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 16 = 24$.
(2)$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 3 × 16 = 24$.
解析
【分析】
(1) 第一问为尺规作已知角的平分线，按照角平分线的尺规作图规范操作，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作AB的垂线，可得垂线段长度等于CD=3。再将△ABC的面积拆分为△BCD和△ABD的面积之和，两个三角形的高均为3，底分别为BC和AB，结合已知条件AB+BC=16，代入面积公式即可直接求出总面积，无需单独计算各边长度，简化计算过程。
【解析】
(1) 作图略（按角平分线尺规作图要求作出BD，保留作图痕迹即可）。
(2) 过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E。
∵BD平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$（即$DC ⊥ BC$），$DE ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，$DE=CD=3$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ BCD}+S_{△ ABD}$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · CD + \frac{1}{2} · AB · DE$
将$DE=CD=3$代入，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 3 × (BC+AB)$
已知$AB+BC=16$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 3 × 16=24$
【答案】
(1) 图略；
(2) $\boxed{24}$
【知识点】
角平分线的尺规作图、角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题第一问考查基础尺规作图的操作能力，第二问侧重对角平分线性质的灵活运用，通过拆分三角形面积的转化思路，规避了复杂的边长计算，能有效考查学生对几何性质的应用能力和转化思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问为尺规作已知角的平分线，按照角平分线的尺规作图规范操作，保留作图痕迹即可。
(2) 第二问首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点D作AB的垂线，可得垂线段长度等于CD=3。再将△ABC的面积拆分为△BCD和△ABD的面积之和，两个三角形的高均为3，底分别为BC和AB，结合已知条件AB+BC=16，代入面积公式即可直接求出总面积，无需单独计算各边长度，简化计算过程。
【解析】
(1) 作图略（按角平分线尺规作图要求作出BD，保留作图痕迹即可）。
(2) 过点D作$DE ⊥ AB$，垂足为E。
∵BD平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$（即$DC ⊥ BC$），$DE ⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，$DE=CD=3$。
∵$S_{△ ABC}=S_{△ BCD}+S_{△ ABD}$
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} · BC · CD + \frac{1}{2} · AB · DE$
将$DE=CD=3$代入，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 3 × (BC+AB)$
已知$AB+BC=16$，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 3 × 16=24$
【答案】
(1) 图略；
(2) $\boxed{24}$
【知识点】
角平分线的尺规作图、角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题第一问考查基础尺规作图的操作能力，第二问侧重对角平分线性质的灵活运用，通过拆分三角形面积的转化思路，规避了复杂的边长计算，能有效考查学生对几何性质的应用能力和转化思想的掌握情况。
【难度系数】
0.7
5. [新课标—综合与实践题][2024·合肥庐江期中]根据引入概念，理解、应用概念.
经历数学概念的学习过程
引入概念
概念1 若一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，则称这两个三角形互为“等角三角形”
概念2 连接不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来的三角形互为“等角三角形”，我们就把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”
问题解决
理解概念
任务1 如图1，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，写出图中两对“等角三角形”.
①
②
续表
理解概念
任务2 如图2，在$△ ABC$中，CD为角平分线，$∠ A=40°$，$∠ B=60°$.求证：CD是$△ ABC$的“等角分割线”
应用概念
任务3 在$△ ABC$中，若$∠ A=42°$，CD为$△ ABC$的“等角分割线”，求出$∠ B$所有可能的度数
经历数学概念的学习过程
引入概念
概念1 若一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，则称这两个三角形互为“等角三角形”
概念2 连接不等边三角形的一个顶点和它对边上一点的线段，将不等边三角形分成两个小三角形，若一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原来的三角形互为“等角三角形”，我们就把这条线段叫作这个三角形的“等角分割线”
问题解决
理解概念
任务1 如图1，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，写出图中两对“等角三角形”.
①
△ACD 与△CBD
；②
△ACD 与△ABC(或△CBD 与△ABC)
续表
理解概念
任务2 如图2，在$△ ABC$中，CD为角平分线，$∠ A=40°$，$∠ B=60°$.求证：CD是$△ ABC$的“等角分割线”
应用概念
任务3 在$△ ABC$中，若$∠ A=42°$，CD为$△ ABC$的“等角分割线”，求出$∠ B$所有可能的度数
答案
任务1
①△ACD 与△CBD；②△ACD 与△ABC.(或△CBD 与△ABC)
任务2 证明略.
任务3 根据题意可知,存在以下四种情况：
①当△ACD 是等腰三角形,AC=AD 时,∠B=27°；
②当△ACD 是等腰三角形,CD=AD 时,∠B=54°；
③当△BCD 是等腰三角形,CD=BD 时,∠B=46°；
④当△BCD 是等腰三角形,BC=BD 时,∠B=32°.
综上所述,∠B 所有可能的度数为27°或54°或46°或32°.
①△ACD 与△CBD；②△ACD 与△ABC.(或△CBD 与△ABC)
任务2 证明略.
任务3 根据题意可知,存在以下四种情况：
①当△ACD 是等腰三角形,AC=AD 时,∠B=27°；
②当△ACD 是等腰三角形,CD=AD 时,∠B=54°；
③当△BCD 是等腰三角形,CD=BD 时,∠B=46°；
④当△BCD 是等腰三角形,BC=BD 时,∠B=32°.
综上所述,∠B 所有可能的度数为27°或54°或46°或32°.
解析
【分析】
1. 任务1解题思路：先明确“等角三角形”的定义是两个三角形三个角分别相等，结合直角三角形斜边上高的性质推导角的相等关系，即可找出符合要求的等角三角形。
2. 任务2解题思路：要证明CD是“等角分割线”，需验证两个核心条件：①CD分割出的两个小三角形中有一个是等腰三角形；②另一个小三角形与原△ABC互为等角三角形。先通过三角形内角和算出原三角形各角度数，再结合角平分线性质推导两个小三角形的内角，验证两个条件均成立即可。
3. 任务3解题思路：根据“等角分割线”的定义，分两大类讨论：一类是△ACD为等腰三角形，另一类是△BCD为等腰三角形，每大类下再按等腰三角形腰的不同细分情况，结合等角三角形对应角相等、三角形内角和定理列方程求解，排除不符合不等边三角形要求的结果，即可得到∠B的所有可能值。
【解析】
任务1
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，因此$∠ ADC=∠ CDB=∠ ACB=90°$。
由同角的余角相等可得$∠ A=∠ BCD$，$∠ B=∠ ACD$，因此△ACD与△CBD三个角分别相等，△ACD与△ABC三个角分别相等，均为等角三角形（也可选择△CBD与△ABC）。
任务2
在$△ABC$中，$∠ A=40°$，$∠ B=60°$，由三角形内角和得$∠ ACB=180°-40°-60°=80°$。
∵CD为角平分线，
∴$∠ ACD=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=40°$。
①在△ACD中，$∠ A=∠ ACD=40°$，
∴$AD=CD$，即△ACD为等腰三角形。
②在△BCD中，$∠ BDC=180°-∠ B-∠ BCD=80°$，因此△BCD的三个内角为40°、60°、80°，与△ABC的三个内角完全相等，即△BCD与△ABC互为等角三角形。
综上，CD满足“等角分割线”的定义，得证。
任务3
设$∠ B=x$，则$∠ ACB=180°-42°-x=138°-x$，分4种符合要求的情况讨论：
1. △ACD为等腰三角形，$AC=AD$：此时$∠ ACD=∠ ADC=\frac{180°-42°}{2}=69°$。因△BCD与△ABC是等角三角形，$∠ B$为公共角，故$∠ BCD=∠ A=42°$，可得$∠ ACB=69°+42°=111°$，即$138°-x=111°$，解得$x=27°$。
2. △ACD为等腰三角形，$CD=AD$：此时$∠ ACD=∠ A=42°$。因△BCD与△ABC是等角三角形，故$∠ BCD=∠ A=42°$，可得$∠ ACB=42°+42°=84°$，即$138°-x=84°$，解得$x=54°$。
3. △BCD为等腰三角形，$CD=BD$：此时$∠ BCD=∠ B=x$。因△ACD与△ABC是等角三角形，$∠ A$为公共角，故$∠ ACD=∠ B=x$，可得$∠ ACB=x+x=2x$，即$138°-x=2x$，解得$x=46°$。
4. △BCD为等腰三角形，$BC=BD$：此时$∠ BCD=∠ BDC=\frac{180°-x}{2}$。因△ACD与△ABC是等角三角形，故$∠ ACD=∠ B=x$，可得$∠ ACB=x+\frac{180°-x}{2}=138°-x$，解方程得$x=32°$。
以上4种情况所得△ABC均为不等边三角形，符合定义要求。
【答案】
任务1 ①$\boldsymbol{△ACD}$与$\boldsymbol{△CBD}$；②$\boldsymbol{△ACD}$与$\boldsymbol{△ABC}$（或②$\boldsymbol{△CBD}$与$\boldsymbol{△ABC}$）
任务2 CD是△ABC的“等角分割线”，证明成立。
任务3 ∠B所有可能的度数为$\boldsymbol{27°}$或$\boldsymbol{54°}$或$\boldsymbol{46°}$或$\boldsymbol{32°}$。
【知识点】
新定义理解、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题为新定义类综合题，重点考查对新概念的提取、理解与应用能力，解题时需要结合三角形基础性质进行分类讨论，注意分类时做到不重不漏，能够有效锻炼逻辑推理与严谨分析的能力。
【难度系数】
0.6
1. 任务1解题思路：先明确“等角三角形”的定义是两个三角形三个角分别相等，结合直角三角形斜边上高的性质推导角的相等关系，即可找出符合要求的等角三角形。
2. 任务2解题思路：要证明CD是“等角分割线”，需验证两个核心条件：①CD分割出的两个小三角形中有一个是等腰三角形；②另一个小三角形与原△ABC互为等角三角形。先通过三角形内角和算出原三角形各角度数，再结合角平分线性质推导两个小三角形的内角，验证两个条件均成立即可。
3. 任务3解题思路：根据“等角分割线”的定义，分两大类讨论：一类是△ACD为等腰三角形，另一类是△BCD为等腰三角形，每大类下再按等腰三角形腰的不同细分情况，结合等角三角形对应角相等、三角形内角和定理列方程求解，排除不符合不等边三角形要求的结果，即可得到∠B的所有可能值。
【解析】
任务1
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD⊥AB$，因此$∠ ADC=∠ CDB=∠ ACB=90°$。
由同角的余角相等可得$∠ A=∠ BCD$，$∠ B=∠ ACD$，因此△ACD与△CBD三个角分别相等，△ACD与△ABC三个角分别相等，均为等角三角形（也可选择△CBD与△ABC）。
任务2
在$△ABC$中，$∠ A=40°$，$∠ B=60°$，由三角形内角和得$∠ ACB=180°-40°-60°=80°$。
∵CD为角平分线，
∴$∠ ACD=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=40°$。
①在△ACD中，$∠ A=∠ ACD=40°$，
∴$AD=CD$，即△ACD为等腰三角形。
②在△BCD中，$∠ BDC=180°-∠ B-∠ BCD=80°$，因此△BCD的三个内角为40°、60°、80°，与△ABC的三个内角完全相等，即△BCD与△ABC互为等角三角形。
综上，CD满足“等角分割线”的定义，得证。
任务3
设$∠ B=x$，则$∠ ACB=180°-42°-x=138°-x$，分4种符合要求的情况讨论：
1. △ACD为等腰三角形，$AC=AD$：此时$∠ ACD=∠ ADC=\frac{180°-42°}{2}=69°$。因△BCD与△ABC是等角三角形，$∠ B$为公共角，故$∠ BCD=∠ A=42°$，可得$∠ ACB=69°+42°=111°$，即$138°-x=111°$，解得$x=27°$。
2. △ACD为等腰三角形，$CD=AD$：此时$∠ ACD=∠ A=42°$。因△BCD与△ABC是等角三角形，故$∠ BCD=∠ A=42°$，可得$∠ ACB=42°+42°=84°$，即$138°-x=84°$，解得$x=54°$。
3. △BCD为等腰三角形，$CD=BD$：此时$∠ BCD=∠ B=x$。因△ACD与△ABC是等角三角形，$∠ A$为公共角，故$∠ ACD=∠ B=x$，可得$∠ ACB=x+x=2x$，即$138°-x=2x$，解得$x=46°$。
4. △BCD为等腰三角形，$BC=BD$：此时$∠ BCD=∠ BDC=\frac{180°-x}{2}$。因△ACD与△ABC是等角三角形，故$∠ ACD=∠ B=x$，可得$∠ ACB=x+\frac{180°-x}{2}=138°-x$，解方程得$x=32°$。
以上4种情况所得△ABC均为不等边三角形，符合定义要求。
【答案】
任务1 ①$\boldsymbol{△ACD}$与$\boldsymbol{△CBD}$；②$\boldsymbol{△ACD}$与$\boldsymbol{△ABC}$（或②$\boldsymbol{△CBD}$与$\boldsymbol{△ABC}$）
任务2 CD是△ABC的“等角分割线”，证明成立。
任务3 ∠B所有可能的度数为$\boldsymbol{27°}$或$\boldsymbol{54°}$或$\boldsymbol{46°}$或$\boldsymbol{32°}$。
【知识点】
新定义理解、等腰三角形性质、三角形内角和定理
【点评】
本题为新定义类综合题，重点考查对新概念的提取、理解与应用能力，解题时需要结合三角形基础性质进行分类讨论，注意分类时做到不重不漏，能够有效锻炼逻辑推理与严谨分析的能力。
【难度系数】
0.6
6.如图,在等边三角形ABC中,AB=4,点P在边AB上,PD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E.设PA=x,则AE的长为
$3-\frac{1}{4}x$
.(用含x的式子表示)答案
6.$3-\frac{1}{4}x$
解析
【分析】
本题可结合等边三角形和含30°角的直角三角形的性质逐步推导：首先根据等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，先由PA=x表示出BP的长度；再在Rt△PBD中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BD，进而得到DC的长度；接着在Rt△DEC中再次利用30°角直角三角形的性质求出EC的长度；最后通过AE=AC-EC化简即可得到结果。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=4
∴AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°
∵PA=x，
∴BP=AB-PA=4-x
∵PD⊥BC，
∴∠PDB=90°
∴∠BPD=90°-∠B=30°
∴BD=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}(4-x)=2-\frac{1}{2}x$
∴DC=BC-BD=$4-(2-\frac{1}{2}x)=2+\frac{1}{2}x$
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°
∴∠EDC=90°-∠C=30°
∴EC=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2}x)=1+\frac{1}{4}x$
∴AE=AC-EC=$4-(1+\frac{1}{4}x)=3-\frac{1}{4}x$
【答案】
$3-\frac{1}{4}x$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是灵活运用特殊三角形的边长关系逐步推导所求线段，需要注意每一步线段和差计算的准确性，是等边三角形相关考点的典型考题。
【难度系数】
0.7
本题可结合等边三角形和含30°角的直角三角形的性质逐步推导：首先根据等边三角形三边相等、内角均为60°的性质，先由PA=x表示出BP的长度；再在Rt△PBD中利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出BD，进而得到DC的长度；接着在Rt△DEC中再次利用30°角直角三角形的性质求出EC的长度；最后通过AE=AC-EC化简即可得到结果。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=4
∴AB=BC=AC=4，∠B=∠C=60°
∵PA=x，
∴BP=AB-PA=4-x
∵PD⊥BC，
∴∠PDB=90°
∴∠BPD=90°-∠B=30°
∴BD=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}(4-x)=2-\frac{1}{2}x$
∴DC=BC-BD=$4-(2-\frac{1}{2}x)=2+\frac{1}{2}x$
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°
∴∠EDC=90°-∠C=30°
∴EC=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}(2+\frac{1}{2}x)=1+\frac{1}{4}x$
∴AE=AC-EC=$4-(1+\frac{1}{4}x)=3-\frac{1}{4}x$
【答案】
$3-\frac{1}{4}x$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质；线段的和差计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是灵活运用特殊三角形的边长关系逐步推导所求线段，需要注意每一步线段和差计算的准确性，是等边三角形相关考点的典型考题。
【难度系数】
0.7
