章知识导图
轴对称图形与
等腰三角形
线段的垂
直平分线
定义 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线
性质 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的①相等
判定 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
角的
平分线
定义 在角的内部,以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角,这条射线叫作这个角的平分线
性质 角平分线上的点到角两边的距离相等
判定 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
等腰
三角形
性质 (1)等腰三角形的两底角相等.简称“等边对等角”
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合.简称“②”
判定 有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)
有两个角相等的三角形是等腰三角形.简称“等角对等边”
等边三角形
性质 三边都相等
三个角都是③
判定 三边相等的三角形是等边三角形
有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形
有两个角是$60°$的三角形是等边三角形
三个角都相等的三角形是等边三角形
含$30°$角的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于$30°$,那么它所对的直角边等于斜边的④

①距离
②三线合一
③60°
④一半

【分析】
本题为基础概念识记填空题，需结合对应的几何性质逐一分析每个空：①对应线段垂直平分线的性质，回忆该性质的核心内容即可作答；②对应等腰三角形“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合”的简称，属于固定表述；③对应等边三角形的内角性质，结合三角形内角和180°可推导得出；④对应含30°角的直角三角形的特殊边长关系，属于需要牢记的特殊性质。
【解析】
①根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此①填“距离”；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，该性质的简称是“三线合一”，因此②填“三线合一”；
③等边三角形的三个内角相等，结合三角形内角和为180°，可得每个内角的度数为180°÷3=60°，因此③填“60°”；
④根据含30°角的直角三角形的性质：直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半，因此④填“一半”。
【答案】
①距离；②三线合一；③60°；④一半
【知识点】
线段垂直平分线性质；等腰三角形性质；特殊直角三角形性质
【点评】
本题考查几何基础性质的识记，所有考点均为几何部分的核心基础内容，熟练掌握这些性质是后续解决几何证明、计算类题目的前提。
【难度系数】
0.9

1.[2025·芜湖期末]对称美是我国古人和谐平衡思想的体现,常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上,使对称之美惊艳了千年的时光.下列四个图案中,不是轴对称图形的是 ()

1.B

【分析】
解这道题首先要明确轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。接下来我们只需要逐个判断四个选项中的图形是否符合该定义，找出不符合的选项即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
选项A：存在多条过圆心的直线，沿这些直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，属于轴对称图形；
选项B：无法找到任意一条直线，使得沿该直线折叠后直线两旁的部分完全重合，不属于轴对称图形；
选项C：存在过图形中心的横向、纵向等直线，沿这些直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，属于轴对称图形；
选项D：存在过图形中心的横向、纵向直线，沿这些直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合，属于轴对称图形。
综上，不是轴对称图形的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题结合特色图案考查轴对称图形的判断，解题核心是准确掌握轴对称图形的定义，通过寻找对称轴即可快速判断，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.8

2.如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且点M，N分别在PA，PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°，则∠APC的度数为（）

A.120°
B.125°
C.130°
D.135°

2.C

【分析】
首先看到“点M、N分别在PA、PC的垂直平分线上”，优先运用线段垂直平分线的性质，得到MA=MP、NC=NP，再结合等边对等角，推出∠BAP=∠APM，∠BCP=∠CPN。其次，P在直线MN上，可知∠APM+∠APC+∠CPN=180°，代入角的等量关系得到∠BAP+∠BCP+∠APC=180°。再利用三角形内角和定理，先在△ABC中求出∠BAC+∠BCA=100°，结合△APC的内角和关系，代入化简即可求出∠APC的度数。
【解析】
解：
∵点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，
∴MA=MP，NC=NP（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴∠BAP=∠APM，∠BCP=∠CPN（等边对等角）。
∵点P在MN上，M、P、N三点共线，
∴∠APM + ∠APC + ∠CPN = 180°，
代入角的等量关系得：$∠ BAP + ∠ BCP + ∠ APC = 180°$ ①。
在△ABC中，$∠ ABC=80°$，
∴$∠ BAC + ∠ BCA = 180° - ∠ ABC = 100°$，
即$(∠ BAP + ∠ PAC) + (∠ BCP + ∠ PCA) = 100°$，
整理得：$(∠ BAP + ∠ BCP) + (∠ PAC + ∠ PCA) = 100°$ ②。
在△APC中，$∠ PAC + ∠ PCA = 180° - ∠ APC$ ③，
把③代入②得：$(∠ BAP + ∠ BCP) + 180° - ∠ APC = 100°$，
即$∠ BAP + ∠ BCP = ∠ APC - 80°$ ④。
把④代入①得：$∠ APC - 80° + ∠ APC = 180°$，
解得$2∠ APC=260°$，即$∠ APC=130°$。
【答案】C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形相关性质的综合应用题，解题关键是结合线段垂直平分线的性质转化角的等量关系，再利用三角形内角和建立等式求解，需要熟练挖掘图中隐含的角的和差关系。
【难度系数】
0.65

3.如图，在$△ ABC$中，$DE$是$AC$的垂直平分线，$AE=3\ \mathrm{cm}$，$△ ABD$的周长为$12\ \mathrm{cm}$，则$△ ABC$的周长为$\mathrm{cm}.$

3.18

【分析】
解题时首先观察到题干给出了AC的垂直平分线DE，首先联想线段垂直平分线的性质：一是垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，二是垂直平分线平分对应线段。第一步我们可以利用性质得到AD=CD，且AC=2AE，先算出AC的长度；第二步看已知的△ABD周长，将其中的AD替换为等量的CD，就可以把△ABD的周长转化为AB+BC的长度；最后△ABC的周长为AB+BC+AC，代入已经求出的数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE，
已知AE=3cm，因此AC=2×3=6cm，
又
∵△ABD的周长为12cm，即AB+BD+AD=12cm，
将AD替换为CD，可得AB+BD+CD=AB+BC=12cm，
因此△ABC的周长=AB+BC+AC=12+6=18cm。
【答案】
18
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，建立已知周长和未知周长的关联，熟练掌握线段垂直平分线的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8