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10. 如图，BD是$△ ABC$的角平分线，DE是$△ DBC$的高线，$∠ A = 75°$，$∠ C = 45°$，求$∠ BDE$的度数.
答案
10. $\because ∠A=75°,∠C=45°$,
$\therefore ∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-75°-45°=60°$.
$\because BD$是$△ABC$的角平分线,
$\therefore ∠DBE=\frac{1}{2}∠ABC$
$=\frac{1}{2}×60°$
$=30°$.
$\because DE$是$△DBC$的高线,
$\therefore DE⊥BC$.
$\therefore ∠DEB=90°$.
$\therefore ∠BDE=90°-∠DBE=90°-30°=60°$.
答:$∠BDE$的度数为$60°$.
$\therefore ∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-75°-45°=60°$.
$\because BD$是$△ABC$的角平分线,
$\therefore ∠DBE=\frac{1}{2}∠ABC$
$=\frac{1}{2}×60°$
$=30°$.
$\because DE$是$△DBC$的高线,
$\therefore DE⊥BC$.
$\therefore ∠DEB=90°$.
$\therefore ∠BDE=90°-∠DBE=90°-30°=60°$.
答:$∠BDE$的度数为$60°$.
解析
【分析】
要计算∠BDE的度数，观察图形可知DE是△DBC的高线，即DE⊥BC，△BDE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，只需要求出锐角∠DBE的度数即可。而BD是△ABC的角平分线，因此∠DBE等于∠ABC的一半，所以首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A和∠C的度数求出∠ABC的度数，再依次推导∠DBE、∠BDE的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，
∵ ∠A=75°，∠C=45°，
∴ ∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-75°-45°=60°。
∵ BD是△ABC的角平分线，
∴ ∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵ DE是△DBC的高线，
∴ DE⊥BC，即∠DEB=90°。
在Rt△BDE中，
∠BDE=90°-∠DBE=90°-30°=60°。
【答案】
$\boxed{60°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考查三角形的基础性质，解题时既可以从所求角出发逆向推导所需条件，也可以从已知条件出发正向逐步计算，理清条件和结论的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算∠BDE的度数，观察图形可知DE是△DBC的高线，即DE⊥BC，△BDE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，只需要求出锐角∠DBE的度数即可。而BD是△ABC的角平分线，因此∠DBE等于∠ABC的一半，所以首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠A和∠C的度数求出∠ABC的度数，再依次推导∠DBE、∠BDE的度数即可。
【解析】
解：在△ABC中，
∵ ∠A=75°，∠C=45°，
∴ ∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-75°-45°=60°。
∵ BD是△ABC的角平分线，
∴ ∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵ DE是△DBC的高线，
∴ DE⊥BC，即∠DEB=90°。
在Rt△BDE中，
∠BDE=90°-∠DBE=90°-30°=60°。
【答案】
$\boxed{60°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考查三角形的基础性质，解题时既可以从所求角出发逆向推导所需条件，也可以从已知条件出发正向逐步计算，理清条件和结论的关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=30°,∠ B=62°,CE$平分$∠ ACB$.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)若$CD ⊥ AB$于点$D$,点$F$在$CE$上,且$∠ CDF=74°$,求证$△ CFD$是直角三角形.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)若$CD ⊥ AB$于点$D$,点$F$在$CE$上,且$∠ CDF=74°$,求证$△ CFD$是直角三角形.
答案
11. (1) $\because$ 在$△ABC$中, $∠A = 30°$, $∠B=62°$,
$\therefore ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-62°=88°$.
$\because CE$平分$∠ACB$,
$\therefore ∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$.
(2)$\because CD ⊥ AB$,
$\therefore ∠CDB=90°$.
$\therefore ∠B+∠DCB=90°$.
$\therefore ∠DCB=90°-∠B=90°-62°=28°$.
$\because CE$平分$∠ACB$,
$\therefore ∠ECB=∠ACE=44°$.
$\therefore ∠FCD = ∠ECB - ∠DCB = 44° - 28°=16°$.
$\therefore ∠FCD+∠CDF=16°+74°=90°$.
$\therefore △CFD$是直角三角形.
$\therefore ∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-30°-62°=88°$.
$\because CE$平分$∠ACB$,
$\therefore ∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$.
(2)$\because CD ⊥ AB$,
$\therefore ∠CDB=90°$.
$\therefore ∠B+∠DCB=90°$.
$\therefore ∠DCB=90°-∠B=90°-62°=28°$.
$\because CE$平分$∠ACB$,
$\therefore ∠ECB=∠ACE=44°$.
$\therefore ∠FCD = ∠ECB - ∠DCB = 44° - 28°=16°$.
$\therefore ∠FCD+∠CDF=16°+74°=90°$.
$\therefore △CFD$是直角三角形.
解析
【分析】
(1) 要求∠ACE的度数，已知CE平分∠ACB，因此只需先求出∠ACB的度数。已知△ABC中两个内角∠A和∠B的度数，根据三角形内角和为180°，可算出∠ACB，再结合角平分线的性质，将∠ACB除以2即可得到∠ACE。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，根据直角三角形的判定定理，只需证明三角形中有两个内角之和为90°即可。已知∠CDF=74°，因此只需先求出∠FCD的度数，验证二者之和是否为90°。求∠FCD时，先结合CD⊥AB的条件，在Rt△CDB中求出∠DCB的度数，再结合角平分线得到的∠ECB的度数，用∠ECB减去∠DCB即可得到∠FCD，最后验证角度和即可完成证明。
【解析】
(1) $\because$ 在$△ ABC$中, $∠ A = 30°$, $∠ B=62°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-62°=88°$.
$\because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$.
(2)$\because CD ⊥ AB$,
$\therefore ∠ CDB=90°$,
$\therefore ∠ B+∠ DCB=90°$,
$\therefore ∠ DCB=90°-∠ B=90°-62°=28°$.
$\because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ECB=∠ ACE=44°$,
$\therefore ∠ FCD = ∠ ECB - ∠ DCB = 44° - 28°=16°$.
$\because ∠ FCD+∠ CDF=16°+74°=90°$,
$\therefore △ CFD$是直角三角形.
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ ACE=44°}$；
(2) $\boldsymbol{△ CFD}$是直角三角形，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】
本题属于三角形角度计算与判定的基础题型，侧重考察基础性质的应用，解题时需结合已知条件逐步推导所求角度，计算过程简单，能有效巩固三角形相关的基础概念。
【难度系数】
0.8
(1) 要求∠ACE的度数，已知CE平分∠ACB，因此只需先求出∠ACB的度数。已知△ABC中两个内角∠A和∠B的度数，根据三角形内角和为180°，可算出∠ACB，再结合角平分线的性质，将∠ACB除以2即可得到∠ACE。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，根据直角三角形的判定定理，只需证明三角形中有两个内角之和为90°即可。已知∠CDF=74°，因此只需先求出∠FCD的度数，验证二者之和是否为90°。求∠FCD时，先结合CD⊥AB的条件，在Rt△CDB中求出∠DCB的度数，再结合角平分线得到的∠ECB的度数，用∠ECB减去∠DCB即可得到∠FCD，最后验证角度和即可完成证明。
【解析】
(1) $\because$ 在$△ ABC$中, $∠ A = 30°$, $∠ B=62°$,
$\therefore ∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-62°=88°$.
$\because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$.
(2)$\because CD ⊥ AB$,
$\therefore ∠ CDB=90°$,
$\therefore ∠ B+∠ DCB=90°$,
$\therefore ∠ DCB=90°-∠ B=90°-62°=28°$.
$\because CE$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ ECB=∠ ACE=44°$,
$\therefore ∠ FCD = ∠ ECB - ∠ DCB = 44° - 28°=16°$.
$\because ∠ FCD+∠ CDF=16°+74°=90°$,
$\therefore △ CFD$是直角三角形.
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ ACE=44°}$；
(2) $\boldsymbol{△ CFD}$是直角三角形，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】
本题属于三角形角度计算与判定的基础题型，侧重考察基础性质的应用，解题时需结合已知条件逐步推导所求角度，计算过程简单，能有效巩固三角形相关的基础概念。
【难度系数】
0.8
12. (1) 如图①, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, $CD ⊥ AB$, 垂足为 $D$, $∠ ACD$ 与 $∠ B$ 有什么关系? 为什么?
(2) 如图②, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $D, E$ 分别在边 $AC, AB$ 上, 且 $∠ ADE = ∠ B$, 试判断 $△ ADE$ 的形状, 并说明理由.
(3) 如图③, 在 $Rt△ ABC$ 和 $Rt△ BDE$ 中, $∠ C = 90°$, $∠ E = 90°$, $AB ⊥ BD$, 点 $C, B, E$ 在同一条直线上, $∠ A$ 与 $∠ D$ 有什么关系? 为什么?
(2) 如图②, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$, $D, E$ 分别在边 $AC, AB$ 上, 且 $∠ ADE = ∠ B$, 试判断 $△ ADE$ 的形状, 并说明理由.
(3) 如图③, 在 $Rt△ ABC$ 和 $Rt△ BDE$ 中, $∠ C = 90°$, $∠ E = 90°$, $AB ⊥ BD$, 点 $C, B, E$ 在同一条直线上, $∠ A$ 与 $∠ D$ 有什么关系? 为什么?
答案
12. (1)$∠ACD=∠B$.
理由:$\because$ 在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90°$,
$\therefore ∠A+∠B=90°$.
$\because CD ⊥ AB$,
$\therefore ∠CDA=90°$.
$\therefore ∠A+∠ACD=90°$.
$\therefore ∠ACD=∠B$.
(2)$△ADE$为直角三角形.
理由:$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠A+∠B=90°$.
$\because ∠ADE=∠B$,
$\therefore ∠A+∠ADE=90°$.
$\therefore △ADE$为直角三角形.
(3)$∠A+∠D=90°$.
理由:$\because$ 在$Rt△ABC$中,$∠C=90°$,
$\therefore ∠A+∠ABC=90°$.
$\because AB ⊥ BD$,
$\therefore ∠ABD=90°$.
$\therefore ∠ABC+∠DBE=90°$.
$\therefore ∠A=∠DBE$.
$\because$ 在$Rt△BDE$中,$∠E=90°$,
$\therefore ∠DBE+∠D=90°$.
$\therefore ∠A+∠D=90°$.
理由:$\because$ 在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90°$,
$\therefore ∠A+∠B=90°$.
$\because CD ⊥ AB$,
$\therefore ∠CDA=90°$.
$\therefore ∠A+∠ACD=90°$.
$\therefore ∠ACD=∠B$.
(2)$△ADE$为直角三角形.
理由:$\because ∠C=90°$,
$\therefore ∠A+∠B=90°$.
$\because ∠ADE=∠B$,
$\therefore ∠A+∠ADE=90°$.
$\therefore △ADE$为直角三角形.
(3)$∠A+∠D=90°$.
理由:$\because$ 在$Rt△ABC$中,$∠C=90°$,
$\therefore ∠A+∠ABC=90°$.
$\because AB ⊥ BD$,
$\therefore ∠ABD=90°$.
$\therefore ∠ABC+∠DBE=90°$.
$\therefore ∠A=∠DBE$.
$\because$ 在$Rt△BDE$中,$∠E=90°$,
$\therefore ∠DBE+∠D=90°$.
$\therefore ∠A+∠D=90°$.
解析
【分析】
(1) 要探究∠ACD与∠B的关系，可利用直角三角形两锐角互余的性质：先在$Rt△ABC$中得到$∠A+∠B=90°$，再由$CD⊥AB$得到$Rt△ACD$中$∠A+∠ACD=90°$，根据同角的余角相等即可推出两角的关系。
(2) 判断$△ADE$的形状，可通过分析其内角的度数特征推导：已知$∠ADE=∠B$，结合$Rt△ABC$中$∠A+∠B=90°$，等量代换可得$∠A+∠ADE=90°$，即可证明$△ADE$有一个内角为直角，从而判定其形状。
(3) 要探究$∠A$与$∠D$的关系，可通过中间角等量代换推导：先由$AB⊥BD$得$∠ABD=90°$，结合平角的性质可得$∠ABC+∠DBE=90°$，再结合$Rt△ABC$中$∠A+∠ABC=90°$，可得$∠A=∠DBE$，最后结合$Rt△BDE$中$∠DBE+∠D=90°$，代换即可得到$∠A$与$∠D$的关系。
【解析】
(1) $∠ACD=∠B$，理由如下：
$\because$ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$。
$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠CDA=90°$，
$\therefore ∠A+∠ACD=90°$，
$\therefore ∠ACD=∠B$。
(2) $△ADE$为直角三角形，理由如下：
$\because ∠C=90°$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$。
$\because ∠ADE=∠B$，
$\therefore ∠A+∠ADE=90°$，
$\therefore △ADE$为直角三角形。
(3) $∠A+∠D=90°$，理由如下：
$\because$ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，
$\therefore ∠A+∠ABC=90°$。
$\because AB ⊥ BD$，
$\therefore ∠ABD=90°$，
$\therefore ∠ABC+∠DBE=90°$，
$\therefore ∠A=∠DBE$。
$\because$ 在$Rt△BDE$中，$∠E=90°$，
$\therefore ∠DBE+∠D=90°$，
$\therefore ∠A+∠D=90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACD=∠B}$
(2) $\boldsymbol{△ADE}$是直角三角形
(3) $\boldsymbol{∠A+∠D=90°}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 同角的余角相等
3. 直角三角形的判定
【点评】
本题围绕直角三角形内角性质设计，三个小问由浅入深，核心考查利用角的互余关系进行等量代换的能力，能帮助学生熟悉几何说理的基本逻辑，是直角三角形内角相关的基础典型题。
【难度系数】
0.8
(1) 要探究∠ACD与∠B的关系，可利用直角三角形两锐角互余的性质：先在$Rt△ABC$中得到$∠A+∠B=90°$，再由$CD⊥AB$得到$Rt△ACD$中$∠A+∠ACD=90°$，根据同角的余角相等即可推出两角的关系。
(2) 判断$△ADE$的形状，可通过分析其内角的度数特征推导：已知$∠ADE=∠B$，结合$Rt△ABC$中$∠A+∠B=90°$，等量代换可得$∠A+∠ADE=90°$，即可证明$△ADE$有一个内角为直角，从而判定其形状。
(3) 要探究$∠A$与$∠D$的关系，可通过中间角等量代换推导：先由$AB⊥BD$得$∠ABD=90°$，结合平角的性质可得$∠ABC+∠DBE=90°$，再结合$Rt△ABC$中$∠A+∠ABC=90°$，可得$∠A=∠DBE$，最后结合$Rt△BDE$中$∠DBE+∠D=90°$，代换即可得到$∠A$与$∠D$的关系。
【解析】
(1) $∠ACD=∠B$，理由如下：
$\because$ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$。
$\because CD ⊥ AB$，
$\therefore ∠CDA=90°$，
$\therefore ∠A+∠ACD=90°$，
$\therefore ∠ACD=∠B$。
(2) $△ADE$为直角三角形，理由如下：
$\because ∠C=90°$，
$\therefore ∠A+∠B=90°$。
$\because ∠ADE=∠B$，
$\therefore ∠A+∠ADE=90°$，
$\therefore △ADE$为直角三角形。
(3) $∠A+∠D=90°$，理由如下：
$\because$ 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，
$\therefore ∠A+∠ABC=90°$。
$\because AB ⊥ BD$，
$\therefore ∠ABD=90°$，
$\therefore ∠ABC+∠DBE=90°$，
$\therefore ∠A=∠DBE$。
$\because$ 在$Rt△BDE$中，$∠E=90°$，
$\therefore ∠DBE+∠D=90°$，
$\therefore ∠A+∠D=90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACD=∠B}$
(2) $\boldsymbol{△ADE}$是直角三角形
(3) $\boldsymbol{∠A+∠D=90°}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 同角的余角相等
3. 直角三角形的判定
【点评】
本题围绕直角三角形内角性质设计，三个小问由浅入深，核心考查利用角的互余关系进行等量代换的能力，能帮助学生熟悉几何说理的基本逻辑，是直角三角形内角相关的基础典型题。
【难度系数】
0.8
