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4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点D在AB边上,将$△ CBD$沿CD折叠,使点B恰好落在AC边上的点E处.若$∠ A=25°$,则$∠ CDE$的度数为
70°
.答案
4.70°
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠A的度数，求出∠B的度数；第二步，根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知∠BCD=∠ECD，∠CDE=∠CDB，结合∠ACB=90°可算出∠BCD的度数；第三步，利用三角形内角和为180°，在△BCD中求出∠CDB的度数，即可得到∠CDE的度数。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=90°-25°=65°$。
由折叠的性质可知：$∠ BCD=∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×90°=45°$，且$∠ CDE=∠ CDB$。
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为180°，
得$∠ CDB=180°-∠ B-∠ BCD=180°-65°-45°=70°$，
因此$∠ CDE=∠ CDB=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
直角三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查三角形角度的计算，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合直角三角形和三角形内角和定理进行角度推导，难度不大，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下步骤思考：第一步，先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠A的度数，求出∠B的度数；第二步，根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可知∠BCD=∠ECD，∠CDE=∠CDB，结合∠ACB=90°可算出∠BCD的度数；第三步，利用三角形内角和为180°，在△BCD中求出∠CDB的度数，即可得到∠CDE的度数。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ B=90°-∠ A=90°-25°=65°$。
由折叠的性质可知：$∠ BCD=∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×90°=45°$，且$∠ CDE=∠ CDB$。
在$△ BCD$中，根据三角形内角和为180°，
得$∠ CDB=180°-∠ B-∠ BCD=180°-65°-45°=70°$，
因此$∠ CDE=∠ CDB=70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
直角三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题主要考查三角形角度的计算，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合直角三角形和三角形内角和定理进行角度推导，难度不大，熟练掌握基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
5. 在一个直角三角形中，
(1)若两个锐角相等，则这两个锐角各是多少度？
(2)若两个锐角的差是$28°$，则其中较大的一个锐角是多少度？
(1)若两个锐角相等，则这两个锐角各是多少度？
(2)若两个锐角的差是$28°$，则其中较大的一个锐角是多少度？
答案
5.(1)45°,45°
(2)59°
(2)59°
解析
【分析】
解题的核心依据是直角三角形的内角性质：直角三角形内角和为180°，其中直角为90°，因此两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。
(1)已知两个锐角相等，只需将90°平均分成2份，即可得到每个锐角的度数；
(2)已知两个锐角的差为28°，结合两锐角和为90°，可以通过设未知数列一元一次方程求解，也可以利用和差公式直接计算较大锐角的度数。
【解析】
首先明确：直角三角形中两个锐角的和 = 180° - 90° = 90°。
(1) 因为两个锐角相等，所以每个锐角的度数为：$90° ÷ 2 = 45°$，即两个锐角均为45°。
(2) 设较大的锐角为$ x° $，则较小的锐角为$ (x-28)° $，根据两锐角和为90°列方程：
$ x + (x - 28) = 90 $
化简得：$ 2x - 28 = 90 $
移项计算得：$ 2x = 118 $，解得$ x = 59 $，即较大锐角为59°。
【答案】
(1)45°,45°；(2)59°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形的内角性质，解题的关键是抓住“直角三角形两锐角和为90°”这个隐含条件，结合题目给出的角的等量关系列式求解即可。
【难度系数】
0.85
解题的核心依据是直角三角形的内角性质：直角三角形内角和为180°，其中直角为90°，因此两个锐角的和为90°（即两锐角互余）。
(1)已知两个锐角相等，只需将90°平均分成2份，即可得到每个锐角的度数；
(2)已知两个锐角的差为28°，结合两锐角和为90°，可以通过设未知数列一元一次方程求解，也可以利用和差公式直接计算较大锐角的度数。
【解析】
首先明确：直角三角形中两个锐角的和 = 180° - 90° = 90°。
(1) 因为两个锐角相等，所以每个锐角的度数为：$90° ÷ 2 = 45°$，即两个锐角均为45°。
(2) 设较大的锐角为$ x° $，则较小的锐角为$ (x-28)° $，根据两锐角和为90°列方程：
$ x + (x - 28) = 90 $
化简得：$ 2x - 28 = 90 $
移项计算得：$ 2x = 118 $，解得$ x = 59 $，即较大锐角为59°。
【答案】
(1)45°,45°；(2)59°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题，核心考查直角三角形的内角性质，解题的关键是抓住“直角三角形两锐角和为90°”这个隐含条件，结合题目给出的角的等量关系列式求解即可。
【难度系数】
0.85
6. (1) 在$△ ABC$中，$∠ A = 37°$，$∠ C = 53°$，则$△ ABC$是 （
A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.直角三角形
D
）A.钝角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.直角三角形
答案
6.(1)D
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于180°，已知两个内角的度数，我们可以先计算出第三个内角的度数，再根据三角形按角分类的标准，判断三角形的类型即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知$∠ A=37°$，$∠ C=53°$，则$∠ B$的度数为：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 37° - 53° = 90°$
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形内角和定理的应用和三角形按角分类的判定，计算时可先观察两个已知角的和，能简化计算过程。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要回忆三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于180°，已知两个内角的度数，我们可以先计算出第三个内角的度数，再根据三角形按角分类的标准，判断三角形的类型即可。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知$∠ A=37°$，$∠ C=53°$，则$∠ B$的度数为：
$∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 37° - 53° = 90°$
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，重点考查三角形内角和定理的应用和三角形按角分类的判定，计算时可先观察两个已知角的和，能简化计算过程。
【难度系数】
0.9
(2)在$△ ABC$中，$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，则此三角形是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
6.(2)B
解析
【分析】
解题核心是利用三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的三个角的数量关系求解角度，再判断三角形类型。首先可将最小的∠A设为未知数，根据已知等量关系把∠B、∠C都用含该未知数的式子表示，再代入内角和公式列方程求解，算出最大角的度数后即可确定三角形类别。
【解析】
设$∠ A = x$，
由$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$可得：
$∠ B=2∠ A=2x$，$∠ C=3∠ A=3x$。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，因此：
$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
将角度代入得：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得$6x=180°$，解得$x=30°$。
因此最大角$∠ C=3x=90°$，有一个角为直角的三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题考查三角形内角和定理的基础应用，解题关键是根据角的比例关系设未知数建立方程求解角度，再判断三角形类型，是三角形内角和相关的常规基础题。
【难度系数】
0.85
解题核心是利用三角形内角和为180°的性质，结合题目给出的三个角的数量关系求解角度，再判断三角形类型。首先可将最小的∠A设为未知数，根据已知等量关系把∠B、∠C都用含该未知数的式子表示，再代入内角和公式列方程求解，算出最大角的度数后即可确定三角形类别。
【解析】
设$∠ A = x$，
由$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$可得：
$∠ B=2∠ A=2x$，$∠ C=3∠ A=3x$。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，因此：
$∠ A+∠ B+∠ C=180°$
将角度代入得：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得$6x=180°$，解得$x=30°$。
因此最大角$∠ C=3x=90°$，有一个角为直角的三角形是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题考查三角形内角和定理的基础应用，解题关键是根据角的比例关系设未知数建立方程求解角度，再判断三角形类型，是三角形内角和相关的常规基础题。
【难度系数】
0.85
7. 如图，已知P是射线ON上一动点(即点P可在射线ON上运动)，∠AON=30°，当∠A的度数为
60°或90°
时，△AOP为直角三角形.答案
7. 60°或90°
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确△AOP为直角三角形时，直角顶点没有明确给出，需要分类讨论。已知∠AON=30°，这个角不可能是直角，因此只需分两种情况分析：一是直角顶点为点A，即∠A本身是直角；二是直角顶点为点P，即∠APO为直角，再结合三角形内角和为180°即可求出对应∠A的度数。
【解析】
△AOP为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当∠A为直角时，∠A=90°，此时△AOP是直角三角形，符合题意；
2. 当∠APO为直角时，∠APO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ AON - ∠ APO = 180° - 30° - 90° = 60°$
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
直角三角形的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意当直角三角形的直角顶点未明确说明时，要分情况讨论所有可能的直角位置，避免漏解，同时可以先结合已知的固定角度排除不可能的情况，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确△AOP为直角三角形时，直角顶点没有明确给出，需要分类讨论。已知∠AON=30°，这个角不可能是直角，因此只需分两种情况分析：一是直角顶点为点A，即∠A本身是直角；二是直角顶点为点P，即∠APO为直角，再结合三角形内角和为180°即可求出对应∠A的度数。
【解析】
△AOP为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当∠A为直角时，∠A=90°，此时△AOP是直角三角形，符合题意；
2. 当∠APO为直角时，∠APO=90°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A = 180° - ∠ AON - ∠ APO = 180° - 30° - 90° = 60°$
综上，∠A的度数为60°或90°。
【答案】
60°或90°
【知识点】
直角三角形的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意当直角三角形的直角顶点未明确说明时，要分情况讨论所有可能的直角位置，避免漏解，同时可以先结合已知的固定角度排除不可能的情况，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
8. 在$△ ABC$中，$∠ A=70°$,若$O$是$△ ABC$三边上的高所在直线的交点，点$O$不与点$B,C$重合，则$∠ BOC$的度数是
110°或70°
.答案
8. 110°或70°
解析
【分析】
首先明确O是△ABC三条高的交点（即垂心），题目未说明△ABC的形状，因此需分两种情况讨论：①当△ABC为锐角三角形时，垂心在三角形内部，可借助四边形内角和、对顶角性质推导∠BOC的度数；②当△ABC为钝角三角形（∠B或∠C为钝角）时，垂心在三角形外部，可利用同角的余角相等推导∠BOC与∠A的关系，最终得到两种结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当△ABC为锐角三角形时，垂心O在三角形内部
设AB边上的高为CE，AC边上的高为BF，CE与BF交于点O，可得∠AEC=∠AFB=90°。
在四边形AEOF中，内角和为360°，因此：
$∠ EOF=360°-∠ A-∠ AEC-∠ AFB=360°-70°-90°-90°=110°$
因为∠BOC与∠EOF是对顶角，所以$∠ BOC=∠ EOF=110°$。
2. 当△ABC为钝角三角形时，不妨设∠B为钝角，垂心O在三角形外部
设BC边上的高为AD，AB边上的高CE交AB的延长线于E，AD与CE交于点O，可得∠ADC=∠AEC=90°。
在Rt△ADC中，$∠ A + ∠ OCD=90°$；在Rt△OEC中，$∠ BOC + ∠ OCD=90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ BOC=∠ A=70°$。
同理，当∠C为钝角时，∠BOC也为70°。
综上，∠BOC的度数为110°或70°。
【答案】
$110°$或$70°$
【知识点】
三角形垂心定义，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查与三角形垂心相关的角度计算，解题的关键是考虑到垂心可能在三角形内部或外部两种情况，避免因遗漏钝角三角形的情况导致少解。
【难度系数】
0.6
首先明确O是△ABC三条高的交点（即垂心），题目未说明△ABC的形状，因此需分两种情况讨论：①当△ABC为锐角三角形时，垂心在三角形内部，可借助四边形内角和、对顶角性质推导∠BOC的度数；②当△ABC为钝角三角形（∠B或∠C为钝角）时，垂心在三角形外部，可利用同角的余角相等推导∠BOC与∠A的关系，最终得到两种结果。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当△ABC为锐角三角形时，垂心O在三角形内部
设AB边上的高为CE，AC边上的高为BF，CE与BF交于点O，可得∠AEC=∠AFB=90°。
在四边形AEOF中，内角和为360°，因此：
$∠ EOF=360°-∠ A-∠ AEC-∠ AFB=360°-70°-90°-90°=110°$
因为∠BOC与∠EOF是对顶角，所以$∠ BOC=∠ EOF=110°$。
2. 当△ABC为钝角三角形时，不妨设∠B为钝角，垂心O在三角形外部
设BC边上的高为AD，AB边上的高CE交AB的延长线于E，AD与CE交于点O，可得∠ADC=∠AEC=90°。
在Rt△ADC中，$∠ A + ∠ OCD=90°$；在Rt△OEC中，$∠ BOC + ∠ OCD=90°$。
根据同角的余角相等，可得$∠ BOC=∠ A=70°$。
同理，当∠C为钝角时，∠BOC也为70°。
综上，∠BOC的度数为110°或70°。
【答案】
$110°$或$70°$
【知识点】
三角形垂心定义，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题考查与三角形垂心相关的角度计算，解题的关键是考虑到垂心可能在三角形内部或外部两种情况，避免因遗漏钝角三角形的情况导致少解。
【难度系数】
0.6
9. 如图①,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$CE ⊥ AB$于点$E$.
(1)猜想$∠ 1$与$∠ 2$的关系,并说明理由.
(2)如果$∠ ABC$是钝角,如图②,(1)中的结论是否还成立?
(1)猜想$∠ 1$与$∠ 2$的关系,并说明理由.
(2)如果$∠ ABC$是钝角,如图②,(1)中的结论是否还成立?
答案
9. (1)$∠1=∠2$.
理由:$\because AD ⊥ BC,CE ⊥ AB$,
$\therefore ∠ADB=∠CEB=90°$.
$\therefore ∠2+∠B=90°,∠1+∠B=90°$.
$\therefore ∠1=∠2$.
(2)成立.
理由:$\because AD ⊥ BC,CE ⊥ AB$,
$\therefore ∠D=∠E=90°$.
$\therefore ∠2+∠ABD=90°,∠1+∠CBE=90°$.
$\because ∠ABD=∠CBE$,
$\therefore ∠1=∠2$.
理由:$\because AD ⊥ BC,CE ⊥ AB$,
$\therefore ∠ADB=∠CEB=90°$.
$\therefore ∠2+∠B=90°,∠1+∠B=90°$.
$\therefore ∠1=∠2$.
(2)成立.
理由:$\because AD ⊥ BC,CE ⊥ AB$,
$\therefore ∠D=∠E=90°$.
$\therefore ∠2+∠ABD=90°,∠1+∠CBE=90°$.
$\because ∠ABD=∠CBE$,
$\therefore ∠1=∠2$.
解析
【分析】
(1)要判断∠1与∠2的关系，首先观察到图中有两个垂直条件，可得到两个直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可知∠1、∠2都和∠B互余，再根据同角的余角相等即可推出二者的关系。
(2)当∠ABC为钝角时，依然先通过垂直条件得到直角三角形，可得∠2和∠ABD互余、∠1和∠CBE互余，再结合∠ABD与∠CBE是对顶角、二者相等的特点，利用等角的余角相等即可验证原结论是否成立。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠1=∠2}$，理由如下：
$\because AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ADB=∠CEB=90°$，
$\therefore ∠2+∠B=90°$，$∠1+∠B=90°$，
$\therefore ∠1=∠2$。
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
$\because AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AB$，
$\therefore ∠D=∠E=90°$，
$\therefore ∠2+∠ABD=90°$，$∠1+∠CBE=90°$，
又$\because ∠ABD=∠CBE$（对顶角相等），
$\therefore ∠1=∠2$。
【答案】
(1) $∠1=∠2$，理由见解析；
(2) 成立，理由见解析。
【知识点】
直角三角形两锐角互余，余角的性质，对顶角相等
【点评】
本题属于基础角度推导题，解题核心是结合垂直条件找到互余的角，再利用同角或等角的余角相等的性质完成证明，钝角情形只需借助对顶角相等做角的转化即可，整体难度较低，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
(1)要判断∠1与∠2的关系，首先观察到图中有两个垂直条件，可得到两个直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可知∠1、∠2都和∠B互余，再根据同角的余角相等即可推出二者的关系。
(2)当∠ABC为钝角时，依然先通过垂直条件得到直角三角形，可得∠2和∠ABD互余、∠1和∠CBE互余，再结合∠ABD与∠CBE是对顶角、二者相等的特点，利用等角的余角相等即可验证原结论是否成立。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠1=∠2}$，理由如下：
$\because AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ADB=∠CEB=90°$，
$\therefore ∠2+∠B=90°$，$∠1+∠B=90°$，
$\therefore ∠1=∠2$。
(2) (1)中的结论仍然成立，理由如下：
$\because AD ⊥ BC$，$CE ⊥ AB$，
$\therefore ∠D=∠E=90°$，
$\therefore ∠2+∠ABD=90°$，$∠1+∠CBE=90°$，
又$\because ∠ABD=∠CBE$（对顶角相等），
$\therefore ∠1=∠2$。
【答案】
(1) $∠1=∠2$，理由见解析；
(2) 成立，理由见解析。
【知识点】
直角三角形两锐角互余，余角的性质，对顶角相等
【点评】
本题属于基础角度推导题，解题核心是结合垂直条件找到互余的角，再利用同角或等角的余角相等的性质完成证明，钝角情形只需借助对顶角相等做角的转化即可，整体难度较低，掌握相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
