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例 如图，BD平分$∠ ABC$，$∠ ADB = 60°$，$∠ BDC=80°$，$∠ C=70°$. 试判断$△ ABD$的形状，并说明理由.
解: $△ ABD$是直角三角形.
理由: 在$△ DBC$中，$∠ BDC = 80°$，$∠ C=70°$，
$\therefore ∠ DBC = 180° - ∠ BDC - ∠ C = 180° -80° -70°=30°$.
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD= ∠ DBC=30°$.
在$△ ABD$中，$∠ ADB=60°$，$∠ ABD=30°$，
$\therefore ∠ ADB+∠ ABD=60°+30°=90°$.
$\therefore △ ABD$是直角三角形.
方法点拨 如果三角形中有两个角的和等于$90°$(互余)，那么就可判定该三角形为直角三角形.
解: $△ ABD$是直角三角形.
理由: 在$△ DBC$中，$∠ BDC = 80°$，$∠ C=70°$，
$\therefore ∠ DBC = 180° - ∠ BDC - ∠ C = 180° -80° -70°=30°$.
$\because BD$平分$∠ ABC$，
$\therefore ∠ ABD= ∠ DBC=30°$.
在$△ ABD$中，$∠ ADB=60°$，$∠ ABD=30°$，
$\therefore ∠ ADB+∠ ABD=60°+30°=90°$.
$\therefore △ ABD$是直角三角形.
方法点拨 如果三角形中有两个角的和等于$90°$(互余)，那么就可判定该三角形为直角三角形.
答案
解：△ABD是直角三角形。
理由：在△DBC中，∠BDC = 80°，∠C = 70°，
∴ ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠C = 180° - 80° - 70° = 30°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = 30°。
在△ABD中，∠ADB = 60°，∠ABD = 30°，
∴ ∠ADB + ∠ABD = 60° + 30° = 90°。
∴ △ABD是直角三角形。
理由：在△DBC中，∠BDC = 80°，∠C = 70°，
∴ ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠C = 180° - 80° - 70° = 30°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = 30°。
在△ABD中，∠ADB = 60°，∠ABD = 30°，
∴ ∠ADB + ∠ABD = 60° + 30° = 90°。
∴ △ABD是直角三角形。
解析
【分析】
要判断△ABD的形状，需先推导其内角的数量关系：第一步先在已知两个内角度数的△DBC中，利用三角形内角和为180°计算出∠DBC的度数；第二步根据BD是∠ABC的角平分线的性质，得到∠ABD的度数；第三步在△ABD中计算已知两个内角的和，若两角和为90°，即可判定该三角形为直角三角形。
【解析】
△ABD是直角三角形，理由如下：
在△DBC中，∠BDC = 80°，∠C = 70°，
∴ ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠C = 180° - 80° - 70° = 30°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = 30°。
在△ABD中，∠ADB = 60°，∠ABD = 30°，
∴ ∠ADB + ∠ABD = 60° + 30° = 90°，
∴ △ABD是直角三角形。
【答案】
△ABD是直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的核心是通过已知的三角形内角和角平分线性质，过渡推导待判定三角形的内角关系，思路连贯清晰，熟练掌握基础几何定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判断△ABD的形状，需先推导其内角的数量关系：第一步先在已知两个内角度数的△DBC中，利用三角形内角和为180°计算出∠DBC的度数；第二步根据BD是∠ABC的角平分线的性质，得到∠ABD的度数；第三步在△ABD中计算已知两个内角的和，若两角和为90°，即可判定该三角形为直角三角形。
【解析】
△ABD是直角三角形，理由如下：
在△DBC中，∠BDC = 80°，∠C = 70°，
∴ ∠DBC = 180° - ∠BDC - ∠C = 180° - 80° - 70° = 30°。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠DBC = 30°。
在△ABD中，∠ADB = 60°，∠ABD = 30°，
∴ ∠ADB + ∠ABD = 60° + 30° = 90°，
∴ △ABD是直角三角形。
【答案】
△ABD是直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础几何应用题，解题的核心是通过已知的三角形内角和角平分线性质，过渡推导待判定三角形的内角关系，思路连贯清晰，熟练掌握基础几何定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
1. 在$△ OAB$中，$∠ O=90°$，$∠ A=35°$，则$∠ B$的度数为（
A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$145°$
B
）A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$145°$
答案
1.B
解析
【分析】
本题可利用三角形内角和定理求解，解题思路为：首先明确任意三角形的内角和为180°，题干已经给出△OAB中两个内角的度数，∠O为直角等于90°，∠A为35°，只需用三角形内角和减去两个已知角的度数，即可求出∠B的度数，也可直接利用直角三角形两锐角互余的性质计算。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。
在△OAB中，∠O+∠A+∠B=180°，
已知∠O=90°，∠A=35°，代入得：
∠B=180°-∠O-∠A=180°-90°-35°=55°，
因此答案选B。
（也可利用直角三角形两锐角互余的性质计算：∠B=90°-∠A=90°-35°=55°）
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查三角形内角相关性质的直接应用，只要熟练掌握对应性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题可利用三角形内角和定理求解，解题思路为：首先明确任意三角形的内角和为180°，题干已经给出△OAB中两个内角的度数，∠O为直角等于90°，∠A为35°，只需用三角形内角和减去两个已知角的度数，即可求出∠B的度数，也可直接利用直角三角形两锐角互余的性质计算。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。
在△OAB中，∠O+∠A+∠B=180°，
已知∠O=90°，∠A=35°，代入得：
∠B=180°-∠O-∠A=180°-90°-35°=55°，
因此答案选B。
（也可利用直角三角形两锐角互余的性质计算：∠B=90°-∠A=90°-35°=55°）
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查三角形内角相关性质的直接应用，只要熟练掌握对应性质，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 如图，AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C,若$∠ BOD=35°$,则$∠ A$的度数为 (
A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$145°$
B
)A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$145°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察已知角∠BOD，它和∠AOC是对顶角，根据对顶角相等可先求出∠AOC的度数；再由AC⊥CD可知△ACO是直角三角形，直角三角形的两个锐角和为90°，用90°减去∠AOC的度数即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=35°，
∵AC⊥CD，
∴∠C=90°，即△ACO为直角三角形，
在Rt△ACO中，∠A+∠AOC=90°，
∴∠A=90°-∠AOC=90°-35°=55°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，结合相交线的性质和直角三角形的内角性质即可求解，解题的关键是准确识别相等的对顶角。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知角∠BOD，它和∠AOC是对顶角，根据对顶角相等可先求出∠AOC的度数；再由AC⊥CD可知△ACO是直角三角形，直角三角形的两个锐角和为90°，用90°减去∠AOC的度数即可得到∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=35°，
∵AC⊥CD，
∴∠C=90°，即△ACO为直角三角形，
在Rt△ACO中，∠A+∠AOC=90°，
∴∠A=90°-∠AOC=90°-35°=55°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角相等；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，结合相交线的性质和直角三角形的内角性质即可求解，解题的关键是准确识别相等的对顶角。
【难度系数】
0.8
3. 将含$30°$角的直角三角尺和直尺如图放置，若$∠α=43°$，则$∠β$的度数是 （
A.$30°$
B.$43°$
C.$47°$
D.$60°$
C
）A.$30°$
B.$43°$
C.$47°$
D.$60°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆平行线的性质：直尺的对边互相平行，可得到与∠α相等的内错角/同位角；再结合直角三角尺的直角特征，明确相关角的和差关系，即可推导求出∠β的度数。
【解析】
解：
∵直尺的对边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得与∠α相等的同位角为43°。
又
∵直角三角尺的直角为90°，该43°的角与∠β在直角的两侧，两角之和等于90°，
∴∠β = 90° - ∠α = 90° - 43° = 47°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角形的特征；角度计算
【点评】
本题是常见的三角尺与直尺结合的角度计算题型，解题的核心是准确识别平行线带来的等角关系，再结合直角的和差特征计算即可，属于基础角度运算题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行线的性质：直尺的对边互相平行，可得到与∠α相等的内错角/同位角；再结合直角三角尺的直角特征，明确相关角的和差关系，即可推导求出∠β的度数。
【解析】
解：
∵直尺的对边互相平行，根据“两直线平行，同位角相等”，可得与∠α相等的同位角为43°。
又
∵直角三角尺的直角为90°，该43°的角与∠β在直角的两侧，两角之和等于90°，
∴∠β = 90° - ∠α = 90° - 43° = 47°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；直角三角形的特征；角度计算
【点评】
本题是常见的三角尺与直尺结合的角度计算题型，解题的核心是准确识别平行线带来的等角关系，再结合直角的和差特征计算即可，属于基础角度运算题。
【难度系数】
0.7
