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1. 如图，一束平行光线照射在等边三角形上，若∠1=40°，则∠2的度数为
$20°$
。答案
1. $20°$
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：①入射光线为平行光线，可联想到平行线的性质；②图形为等边三角形，可联想到等边三角形的内角均为60°。接下来需要建立已知角∠1、未知角∠2和等边三角形内角的关系：根据平行线的同位角相等性质，可推出等边三角形的一个60°内角恰好等于∠1与∠2的和，最后代入∠1的度数即可求出∠2的数值。
【解析】
解：
∵入射光线为平行光线，根据平行线的性质，可得等边三角形的一个内角 = ∠1 + ∠2
又
∵等边三角形的三个内角均为60°，且已知∠1=40°
∴∠2 = 60° - ∠1 = 60° - 40° = 20°
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础性质综合题，核心考查对平行线和等边三角形基本性质的掌握，解题的关键是准确找到角度之间的数量关系，熟练掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先梳理已知条件：①入射光线为平行光线，可联想到平行线的性质；②图形为等边三角形，可联想到等边三角形的内角均为60°。接下来需要建立已知角∠1、未知角∠2和等边三角形内角的关系：根据平行线的同位角相等性质，可推出等边三角形的一个60°内角恰好等于∠1与∠2的和，最后代入∠1的度数即可求出∠2的数值。
【解析】
解：
∵入射光线为平行光线，根据平行线的性质，可得等边三角形的一个内角 = ∠1 + ∠2
又
∵等边三角形的三个内角均为60°，且已知∠1=40°
∴∠2 = 60° - ∠1 = 60° - 40° = 20°
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质；角的和差计算
【点评】
本题属于基础性质综合题，核心考查对平行线和等边三角形基本性质的掌握，解题的关键是准确找到角度之间的数量关系，熟练掌握相关基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$△ ABC$中,$BC$的垂直平分线分别交$BC$,$AB$于点$F$,$E$.若$△ AEC$是等边三角形,则$∠ ACB=$
$90°$
.答案
2. $90°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到BC的垂直平分线，联想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得EC=EB，进而推出∠B=∠ECB；再结合△AEC是等边三角形，利用等边三角形各内角为60°的性质，得到∠AEC=60°，∠A=60°；接下来利用三角形外角的性质，可知∠AEC是△EBC的外角，等于两个不相邻内角∠B和∠ECB的和，即可求出∠B的度数；最后在△ABC中利用三角形内角和为180°，就能算出∠ACB的度数。
【解析】
∵ EF是BC的垂直平分线，点E在EF上
∴ EB=EC
∴ ∠B=∠ECB
∵ △AEC是等边三角形
∴ ∠A=∠AEC=60°
∵ ∠AEC是△EBC的外角
∴ ∠AEC=∠B+∠ECB=2∠B
∴ 2∠B=60°，解得∠B=30°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°
【答案】
90°
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等边三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将多个几何基础性质结合考察，解题核心是熟练掌握各几何性质，逐步推导角度关系即可求解，练习此类题目有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先看到BC的垂直平分线，联想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得EC=EB，进而推出∠B=∠ECB；再结合△AEC是等边三角形，利用等边三角形各内角为60°的性质，得到∠AEC=60°，∠A=60°；接下来利用三角形外角的性质，可知∠AEC是△EBC的外角，等于两个不相邻内角∠B和∠ECB的和，即可求出∠B的度数；最后在△ABC中利用三角形内角和为180°，就能算出∠ACB的度数。
【解析】
∵ EF是BC的垂直平分线，点E在EF上
∴ EB=EC
∴ ∠B=∠ECB
∵ △AEC是等边三角形
∴ ∠A=∠AEC=60°
∵ ∠AEC是△EBC的外角
∴ ∠AEC=∠B+∠ECB=2∠B
∴ 2∠B=60°，解得∠B=30°
在△ABC中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°
【答案】
90°
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 等边三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础综合题，将多个几何基础性质结合考察，解题核心是熟练掌握各几何性质，逐步推导角度关系即可求解，练习此类题目有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.7
3. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，添加下列一个条件后不能判断$△ ABC$是等边三角形的是（
A.$∠ A=60°$
B.$AC=BC$
C.$∠ B$的补角等于$∠ C$的补角
D.$AB$边上的高也是$AB$边上的中线
C
）A.$∠ A=60°$
B.$AC=BC$
C.$∠ B$的补角等于$∠ C$的补角
D.$AB$边上的高也是$AB$边上的中线
答案
3. C
解析
【分析】
首先题目已知△ABC中AB=AC，因此它已经是等腰三角形，且底角∠B=∠C。要判断哪个条件不能推出它是等边三角形，我们只需要结合等边三角形的判定定理，逐一分析每个选项给出的条件是否能让这个等腰三角形满足等边的要求（要么有一个内角为60°，要么三边相等），排除能判定为等边的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，且∠B=∠C。
对选项A：若∠A=60°，根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
对选项B：若AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
对选项C：若∠B的补角等于∠C的补角，即180°-∠B=180°-∠C，化简可得∠B=∠C，这是等腰△ABC本身就具备的性质，没有新增有效条件，无法判定△ABC是等边三角形，符合题意；
对选项D：若AB边上的高也是AB边上的中线，说明这条线段垂直平分AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；补角的性质
【点评】
本题核心是考查等腰三角形与等边三角形的判定逻辑，解题时要先抓住题干已给出的等腰三角形前提，注意区分哪些条件是等腰三角形本身就具备的，哪些是能升级为等边三角形的新增判定条件，避免误判。
【难度系数】
0.7
首先题目已知△ABC中AB=AC，因此它已经是等腰三角形，且底角∠B=∠C。要判断哪个条件不能推出它是等边三角形，我们只需要结合等边三角形的判定定理，逐一分析每个选项给出的条件是否能让这个等腰三角形满足等边的要求（要么有一个内角为60°，要么三边相等），排除能判定为等边的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
已知在△ABC中，AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，且∠B=∠C。
对选项A：若∠A=60°，根据“有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
对选项B：若AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，三边相等的三角形是等边三角形，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意；
对选项C：若∠B的补角等于∠C的补角，即180°-∠B=180°-∠C，化简可得∠B=∠C，这是等腰△ABC本身就具备的性质，没有新增有效条件，无法判定△ABC是等边三角形，符合题意；
对选项D：若AB边上的高也是AB边上的中线，说明这条线段垂直平分AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AC=BC，结合已知AB=AC，可得AB=AC=BC，可判定△ABC是等边三角形，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；补角的性质
【点评】
本题核心是考查等腰三角形与等边三角形的判定逻辑，解题时要先抓住题干已给出的等腰三角形前提，注意区分哪些条件是等腰三角形本身就具备的，哪些是能升级为等边三角形的新增判定条件，避免误判。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$∠ ABC=60°,AB=3,$动点$P$从点$B$出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线$BC$运动，设点$P$运动的时间为$t$秒，则当$t=$
3
时，$△ ABP$是等边三角形。答案
4. 3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆等边三角形的判定定理，已知∠ABC=60°，即△ABP的内角∠B=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，只需满足AB=BP，就能判定△ABP是等边三角形。接下来结合动点P的运动速度和时间，表示出BP的长度，令BP等于AB的长度，即可求出t的值。
【解析】
解：要使△ABP为等边三角形，已知∠ABP=∠ABC=60°，
根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，
因此只需满足边相等的条件：$AB=BP$。
∵ 动点P从点B出发，运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，
∴ $BP=1× t=t$。
又已知$AB=3$，令$t=3$时，$AB=BP$，此时△ABP是等边三角形。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的判定，动线段长度计算
【点评】
本题属于基础题型，将等边三角形判定和简单动点问题结合，解题核心是熟练运用等边三角形的判定定理，快速定位需要满足的边相等条件，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆等边三角形的判定定理，已知∠ABC=60°，即△ABP的内角∠B=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，只需满足AB=BP，就能判定△ABP是等边三角形。接下来结合动点P的运动速度和时间，表示出BP的长度，令BP等于AB的长度，即可求出t的值。
【解析】
解：要使△ABP为等边三角形，已知∠ABP=∠ABC=60°，
根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，
因此只需满足边相等的条件：$AB=BP$。
∵ 动点P从点B出发，运动速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，
∴ $BP=1× t=t$。
又已知$AB=3$，令$t=3$时，$AB=BP$，此时△ABP是等边三角形。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的判定，动线段长度计算
【点评】
本题属于基础题型，将等边三角形判定和简单动点问题结合，解题核心是熟练运用等边三角形的判定定理，快速定位需要满足的边相等条件，就能轻松求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图, 在$△ ABC$中, $AB = 4\ \mathrm{cm}$, $BC = 6\ \mathrm{cm}$, $∠ B=60°$, 将$△ ABC$沿着射线$BC$的方向平移$2\ \mathrm{cm}$后, 得到$△ A'B'C'$, 连接$A'C$. 求$△ A'B'C$的周长.
答案
5. $\because\ \ △ ABC$沿着射线$BC$的方向平移$2\ \mathrm{cm}$得到$△ A'B'C',$
$\therefore\ \ AB=A'B'=4\ \mathrm{cm},∠ B=∠ A'B'C'=60°,BB'=2\ \mathrm{cm}.$
$\because\ \ BC=6\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ B'C=BC-BB'=6-2=4(\mathrm{cm}).$
$\therefore\ \ A'B'=B'C=4\ \mathrm{cm}.$
$\because\ \ ∠ A'B'C'=60°,$
$\therefore\ \ △ A'B'C$是等边三角形.
$\therefore\ \ A'B'=B'C=A'C=4\ \mathrm{cm}.$
$\therefore\ \ △ A'B'C$的周长为$12\ \mathrm{cm}.$
$\therefore\ \ AB=A'B'=4\ \mathrm{cm},∠ B=∠ A'B'C'=60°,BB'=2\ \mathrm{cm}.$
$\because\ \ BC=6\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ B'C=BC-BB'=6-2=4(\mathrm{cm}).$
$\therefore\ \ A'B'=B'C=4\ \mathrm{cm}.$
$\because\ \ ∠ A'B'C'=60°,$
$\therefore\ \ △ A'B'C$是等边三角形.
$\therefore\ \ A'B'=B'C=A'C=4\ \mathrm{cm}.$
$\therefore\ \ △ A'B'C$的周长为$12\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移前后图形的对应边相等、对应角相等，对应点连线的长度等于平移距离。首先根据平移性质得到A'B'与AB的长度关系、∠A'B'C与∠B的大小关系以及平移距离BB'的长度；接着结合BC的长度计算出B'C的长度，得到A'B'=B'C，再结合60°的角判定△A'B'C为等边三角形；最后根据等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
$\because\ \ △ ABC$沿着射线$BC$的方向平移$2\ \mathrm{cm}$得到$△ A'B'C',$
$\therefore\ \ AB=A'B'=4\ \mathrm{cm},∠ B=∠ A'B'C'=60°,BB'=2\ \mathrm{cm}.$
$\because\ \ BC=6\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ B'C=BC-BB'=6-2=4(\mathrm{cm}),$
$\therefore\ \ A'B'=B'C=4\ \mathrm{cm}.$
又$\because\ \ ∠ A'B'C'=60°,$
$\therefore\ \ △ A'B'C$是等边三角形，
$\therefore\ \ A'B'=B'C=A'C=4\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ △ A'B'C$的周长为$4×3=12\ \mathrm{cm}.$
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平移的性质，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题是平移性质和等边三角形判定的综合基础题，解题关键是利用平移的性质得到对应边、对应角的等量关系，进而判断三角形的形状，再计算周长。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平移的性质：平移前后图形的对应边相等、对应角相等，对应点连线的长度等于平移距离。首先根据平移性质得到A'B'与AB的长度关系、∠A'B'C与∠B的大小关系以及平移距离BB'的长度；接着结合BC的长度计算出B'C的长度，得到A'B'=B'C，再结合60°的角判定△A'B'C为等边三角形；最后根据等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
$\because\ \ △ ABC$沿着射线$BC$的方向平移$2\ \mathrm{cm}$得到$△ A'B'C',$
$\therefore\ \ AB=A'B'=4\ \mathrm{cm},∠ B=∠ A'B'C'=60°,BB'=2\ \mathrm{cm}.$
$\because\ \ BC=6\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ B'C=BC-BB'=6-2=4(\mathrm{cm}),$
$\therefore\ \ A'B'=B'C=4\ \mathrm{cm}.$
又$\because\ \ ∠ A'B'C'=60°,$
$\therefore\ \ △ A'B'C$是等边三角形，
$\therefore\ \ A'B'=B'C=A'C=4\ \mathrm{cm},$
$\therefore\ \ △ A'B'C$的周长为$4×3=12\ \mathrm{cm}.$
【答案】
$12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
平移的性质，等边三角形的判定，等边三角形的性质
【点评】
本题是平移性质和等边三角形判定的综合基础题，解题关键是利用平移的性质得到对应边、对应角的等量关系，进而判断三角形的形状，再计算周长。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在等边三角形ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.求证M是BE的中点.
答案
6. $\because\ \ △ ABC$是等边三角形，
$\therefore\ \ ∠ ABC=∠ ACB=60°.$
$\because\ \ D$是$AC$的中点，
$\therefore\ \ BD$平分$∠ ABC.$
$\therefore\ \ ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
$\because\ \ CE=CD,$
$\therefore\ \ ∠ E=∠ CDE.$
$\because\ \ ∠ ACB=∠ E+∠ CDE=60°,$
$\therefore\ \ ∠ E=30°.$
$\therefore\ \ ∠ DBC=∠ E.$
$\therefore\ \ DB=DE.$
$\because\ \ DM⊥ BC,$
$\therefore\ \ M$是$BE$的中点.
$\therefore\ \ ∠ ABC=∠ ACB=60°.$
$\because\ \ D$是$AC$的中点，
$\therefore\ \ BD$平分$∠ ABC.$
$\therefore\ \ ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
$\because\ \ CE=CD,$
$\therefore\ \ ∠ E=∠ CDE.$
$\because\ \ ∠ ACB=∠ E+∠ CDE=60°,$
$\therefore\ \ ∠ E=30°.$
$\therefore\ \ ∠ DBC=∠ E.$
$\therefore\ \ DB=DE.$
$\because\ \ DM⊥ BC,$
$\therefore\ \ M$是$BE$的中点.
解析
【分析】
要证明M是BE的中点，已知DM⊥BC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明DB=DE，进而转化为证明∠DBC=∠E。首先利用等边三角形的性质和D是AC中点的条件，求出∠DBC的度数；再根据CE=CD，结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠E的度数，验证两角相等即可得到DB=DE，最后结合DM⊥BC的条件即可推出结论。
【解析】
$\because\ \ △ ABC$是等边三角形，
$\therefore\ \ ∠ ABC=∠ ACB=60°.$
$\because\ \ D$是$AC$的中点，
$\therefore\ \ BD$平分$∠ ABC.$
$\therefore\ \ ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
$\because\ \ CE=CD,$
$\therefore\ \ ∠ E=∠ CDE.$
$\because\ \ ∠ ACB=∠ E+∠ CDE=60°,$
$\therefore\ \ ∠ E=30°.$
$\therefore\ \ ∠ DBC=∠ E.$
$\therefore\ \ DB=DE.$
$\because\ \ DM⊥ BC,$
$\therefore\ \ M$是$BE$的中点.
【答案】
M是BE的中点
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用类基础题，解题时可采用逆向思维，从待证结论倒推需要满足的条件，再结合已知条件逐步推导得到所需结论，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要证明M是BE的中点，已知DM⊥BC，结合等腰三角形“三线合一”的性质，只需证明DB=DE，进而转化为证明∠DBC=∠E。首先利用等边三角形的性质和D是AC中点的条件，求出∠DBC的度数；再根据CE=CD，结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质求出∠E的度数，验证两角相等即可得到DB=DE，最后结合DM⊥BC的条件即可推出结论。
【解析】
$\because\ \ △ ABC$是等边三角形，
$\therefore\ \ ∠ ABC=∠ ACB=60°.$
$\because\ \ D$是$AC$的中点，
$\therefore\ \ BD$平分$∠ ABC.$
$\therefore\ \ ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°.$
$\because\ \ CE=CD,$
$\therefore\ \ ∠ E=∠ CDE.$
$\because\ \ ∠ ACB=∠ E+∠ CDE=60°,$
$\therefore\ \ ∠ E=30°.$
$\therefore\ \ ∠ DBC=∠ E.$
$\therefore\ \ DB=DE.$
$\because\ \ DM⊥ BC,$
$\therefore\ \ M$是$BE$的中点.
【答案】
M是BE的中点
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用类基础题，解题时可采用逆向思维，从待证结论倒推需要满足的条件，再结合已知条件逐步推导得到所需结论，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
