如图①，$△ ABC$是等边三角形，$AD$，$CE$是$△ ABC$的角平分线，$AD$与$CE$相交于点$O$. 点$P$在线段$DC$上，点$Q$在边$AC$上，且$BP=CQ$. 连接$OP$，$OQ$.
(1) $∠ ACE=$，$∠ EOD=$；
(2)研究发现$OA=OC$.理由如下：
$\because AD$是$△ ABC$的角平分线，且$AB=AC$，根据等腰三角形的性质(①)，可得$AD⊥ BC$，且$BD=DC$，即$AD$垂直平分$BC$.同理，$CE$垂直平分$AB$. $\therefore O$是$△ ABC$三边垂直平分线的交点.根据线段垂直平分线的性质(②)，$\therefore OA=OC$.
上述证明过程中，①②两处的理由分别为和；(填选项前的字母)
A.“三线合一”
B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
C.等腰三角形的两个底角相等
(3)判断$OQ$和$OP$的数量关系，并说明理由；
(4)如图②，若$P$是射线$DC$上任意一点，点$Q$在射线$CA$上，其他条件不变，当$△ OPC$为等腰三角形时，请直接写出$∠ COQ$的度数.

(1)$30°$ $120°$
(2)A B
(3)$OQ=OP$. 理由如下：
$\because\ \ △ ABC$是等边三角形，
$\therefore\ \ ∠ BAC=∠ ACB=∠ B=60°,BC=AC.$
$\because\ \ AD,CE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore\ \ ∠ OAQ=\frac{1}{2}∠ BAC=30°,∠ OCP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°,$
即$∠ OAQ=∠ OCP.$
又$\because\ \ \ BP=CQ,$
$\therefore\ \ \ BC-BP=AC-CQ,$即$CP=AQ.$
由(2)得$OA=OC,$
$\therefore\ \ △ OAQ≌△ OCP.$
$\therefore\ \ OQ=OP.$
(4)$∠ COQ$的度数为$90°$或$135°.$

【分析】
(1) 先利用等边三角形内角为$60°$的性质，结合角平分线平分内角，可得$∠ ACE$的度数；再根据等边三角形角平分线同时是高，得到$∠ AEC=∠ ADC=90°$，结合四边形内角和$360°$即可求出$∠ EOD$的度数。
(2) 结合等腰三角形和线段垂直平分线的性质对应匹配即可：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，即三线合一；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
(3) 要证$OQ=OP$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：先找$△ OAQ$和$△ OCP$的边角相等条件，利用等边三角形的性质得角相等，结合$BP=CQ$推导出边相等，再结合已知$OA=OC$，用SAS即可证明全等。
(4) 因为$P$在射线$DC$、$Q$在射线$CA$上，需分类讨论$△ OPC$为等腰三角形的情况：首先分$P$在线段$DC$上和$P$在$C$右侧两种情况，结合等腰三角形等边对等角的性质计算$∠ COP$的度数，再利用全等三角形对应角相等的性质，结合$∠ AOC=120°$即可求出$∠ COQ$的度数，排除不符合题意的情况后得到结果。
【解析】
(1) $\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ACB=60°$，
$\because CE$是$△ ABC$的角平分线，$\therefore ∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$；
$\because AD$、$CE$是等边三角形的角平分线，$\therefore AD⊥ BC$，$CE⊥ AB$，即$∠ AEC=∠ ADC=90°$，
在四边形$AEOD$中，$∠ EOD=360°-∠ AEC-∠ ADC-∠ BAC=360°-90°-90°-60°=120°$。
(2) 等腰三角形中顶角平分线与底边上的高、中线重合，对应“三线合一”，故①选A；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故②选B。
(3) $OQ=OP$，理由如下：
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC=∠ ACB=∠ B=60°,BC=AC$。
$\because AD,CE$是$△ ABC$的角平分线，
$\therefore ∠ OAQ=\frac{1}{2}∠ BAC=30°,∠ OCP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°,$
即$∠ OAQ=∠ OCP$。
又$\because BP=CQ,$
$\therefore BC-BP=AC-CQ,$即$CP=AQ$。
由(2)得$OA=OC,$
$\therefore △ OAQ≌△ OCP(\mathrm{SAS})$。
$\therefore OQ=OP$。
(4) 分两种情况讨论：
① 当$P$在线段$DC$上时，$∠ OCP=30°$，若$△ OPC$为等腰三角形且$OP=PC$，则$∠ POC=∠ PCO=30°$，
由$△ OAQ≌△ OCP$得$∠ AOQ=∠ POC=30°$，
又$\because ∠ AOC=180°-30°-30°=120°$，
$\therefore ∠ COQ=∠ AOC-∠ AOQ=120°-30°=90°$；
② 当$P$在$C$点右侧的射线上时，$∠ OCP=180°-30°=150°$，$△ OPC$为等腰三角形只能是$OC=PC$，此时$∠ COP=∠ CPO=\frac{180°-150°}{2}=15°$，
由$△ OAQ≌△ OCP$得$∠ AOQ=∠ COP=15°$，
$\therefore ∠ COQ=∠ AOC+∠ AOQ=120°+15°=135°$；
其余等腰情况均不符合射线取值要求，故舍去。
【答案】
(1) $30°$；$120°$
(2) $\mathrm{A}$；$\mathrm{B}$
(3) $OQ=OP$，理由见解析
(4) $90°$或$135°$
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了等边三角形、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质找到全等条件，第(4)问需要注意动点在射线上的多种位置情况，分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6