知识梳理
知识点1）等边三角形的定义及性质
1. 三边都相等的三角形叫作三角形.
2. 等边三角形的三个角都，并且每一个角都等于.
要点提示
1. 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
2. 等边三角形是腰和底边相等的等腰三角形.
3. 等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.
知识点2）等边三角形的判定
1. 三边都相等的三角形是三角形.
2. 三个角都相等的三角形是三角形.
3. 有一个角是$60°$的等腰三角形是三角形.

1. 等边
2. 相等 $60°$
知识点2
1. 等边
2. 等边
3. 等边

【分析】
本题考查等边三角形的基础概念识记，解题时可对应题干给出的分类，分别回忆等边三角形的定义、性质、判定相关的课本知识点直接填写即可。首先回忆定义：三边相等的三角形是等边三角形；其次回忆性质：等边三角形三个内角相等，结合三角形内角和180°可推出每个内角为60°；最后回忆三个判定定理，直接对应填空即可，无复杂推导，属于基础识记题。
【解析】
知识点1：
1. 根据等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形，因此填“等边”。
2. 根据等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，又因为三角形内角和为180°，因此每个角的度数为180°÷3=60°，所以依次填“相等”、“$60°$”。
知识点2：
1. 根据等边三角形的判定定理1：三边都相等的三角形是等边三角形，因此填“等边”。
2. 根据等边三角形的判定定理2：三个角都相等的三角形是等边三角形，因此填“等边”。
3. 根据等边三角形的判定定理3：有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，因此填“等边”。
【答案】
知识点1：
1. 等边
2. 相等 $60°$
知识点2：
1. 等边
2. 等边
3. 等边
【知识点】
等边三角形的定义；等边三角形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是等边三角形相关基础概念的识记类题型，熟练掌握这些基础概念是后续解决等边三角形相关计算、证明类题目的前提，需要准确记忆。
【难度系数】
0.9

例 如图,在等边三角形ABC中,点D,E在边BC上,BD=CE,F是点E关于AC的对称点,连接AF,DF.

(1)求证AD=AE;
(2)求证△ADF是等边三角形.
分析:(1)根据等边三角形的性质得到AB=AC,∠B=∠C=60°,进而证明△ABD≌△ACE,即可证明AD=AE.
(2)由轴对称的性质得到AE=AF,∠CAE=∠CAF,进而推出∠BAD=∠CAE=∠CAF,AD=AE=AF,再证明∠DAF=60°,即可证明△ADF是等边三角形.
证明:(1)∵ △ABC是等边三角形,
∴ AB=AC,∠B=∠C=60°.
在△ABD和△ACE中,
$\{\begin{array}{l}AB=AC,\\∠B=∠C,\\BD=CE,\end{array} $
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
∴ AD=AE.
(2)∵ F是点E关于AC的对称点,
∴ AE=AF,∠CAE=∠CAF.
∵ △ABD≌△ACE,
∴ ∠BAD=∠CAE,AD=AE.
∴ ∠BAD=∠CAF,AD=AF.
∵ △ABC是等边三角形,
∴ ∠BAC=60°.
∴ ∠CAF + ∠CAD = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC=60°,即∠DAF=60°.
∴ △ADF是等边三角形.
方法点拨 在证明∠DAF=60°的过程中,涉及角度的转化.要善于利用已知角的度数以及全等三角形的对应角相等、轴对称的性质,通过等量代换等方法进行角度的计算和转化.在复杂的几何图形中,准确找到角度之间的联系,是解决问题的关键之一.

证明：(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠B=∠C=60°。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠B=∠C,\\BD=CE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS)。
∴ AD=AE。
(2)
∵ F是点E关于AC的对称点，
∴ AE=AF，∠CAE=∠CAF。
∵ △ABD≌△ACE，
∴ ∠BAD=∠CAE，AD=AE。
∴ ∠BAD=∠CAF，AD=AF。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°。
∴ ∠CAF + ∠CAD = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC=60°，即∠DAF=60°。
又∵ AD=AF，
∴ △ADF是等边三角形。

【分析】
(1)要证明AD=AE，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知△ABC是等边三角形，可得AB=AC，∠B=∠C=60°，结合题目给出的BD=CE，可利用SAS判定△ABD≌△ACE，进而得到对应边AD=AE。
(2)要证明△ADF是等边三角形，可先证它是等腰三角形，再证明有一个内角为60°。首先根据轴对称的性质可得AE=AF，∠CAE=∠CAF，结合(1)中的全等结论可推出AD=AF，∠BAD=∠CAF，再利用等边三角形∠BAC=60°的性质，通过角度等量代换得到∠DAF=∠BAC=60°，即可判定△ADF是等边三角形。
【解析】
(1)
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=AC，∠B=∠C=60°。
在△ABD和△ACE中，
$\begin{cases}AB=AC,\\∠B=∠C,\\BD=CE,\end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS)。
∴ AD=AE。
(2)
∵ F是点E关于AC的对称点，
∴ AE=AF，∠CAE=∠CAF。
∵ △ABD≌△ACE，
∴ ∠BAD=∠CAE，AD=AE。
∴ ∠BAD=∠CAF，AD=AF。
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°。
∴ ∠CAF + ∠CAD = ∠BAD + ∠CAD = ∠BAC=60°，即∠DAF=60°。
又
∵ AD=AF，
∴ △ADF是等边三角形。
【答案】
(1)证明见解析，得AD=AE；
(2)证明见解析，得△ADF是等边三角形。
【知识点】
等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是灵活运用全等三角形、轴对称、等边三角形的相关性质，通过合理的边角转化完成证明，熟练掌握各基础定理是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.7