7. 如图,在△ABC中,若AB=AC,哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形?能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请画出这条直线.

7. 图①③④能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形. 如图.

【分析】
已知△ABC是AB=AC的等腰三角形，解题时先根据三角形内角和为180°，结合已知顶角度数算出每个图形中底角∠B、∠C的度数；再逐一判断能否通过过某一顶点作直线，将原三角形的一个内角拆分为两个角，使拆分后得到的两个小三角形都满足“有两个内角相等”的等腰三角形判定条件即可。
【解析】
先计算各图中底角的度数，再逐一验证：
1. 图①：顶角∠A=36°，因此∠B=∠C=(180°-36°)÷2=72°。过点B作直线，将∠B拆分为两个36°的角，得到的两个小三角形分别有两个角为36°、36°和36°、72°，均为等腰三角形，符合要求。
2. 图②：顶角∠A=45°，因此∠B=∠C=(180°-45°)÷2=67.5°。无论过哪个顶点拆分内角，都无法得到两个同时满足等腰条件的小三角形，不符合要求。
3. 图③：顶角∠A=90°，因此∠B=∠C=45°。过点A作BC边上的高（等腰三角形三线合一），将∠A拆分为两个45°的角，得到的两个小三角形均为等腰直角三角形，符合要求。
4. 图④：顶角∠A=108°，因此∠B=∠C=(180°-108°)÷2=36°。过点A作直线，将∠A拆分为36°和72°的角，得到的两个小三角形分别有两个角为36°、36°和72°、72°，均为等腰三角形，符合要求。
综上，图①③④满足条件，分割线如参考答案所示。
【答案】
图①③④能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形. 如图.

【知识点】
等腰三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题需要结合等腰三角形的性质与判定，通过角度计算、尝试拆分内角判断是否符合要求，能有效锻炼角度计算能力和分类讨论的思维。
【难度系数】
0.6

8. 如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE相交于点O.给出下列四个条件:
①∠EBO=∠DCO;
②∠BEO=∠CDO;
③BE=CD;
④OB=OC.
(1)上述四个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)?
(2)选择(1)中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.

8. (1)①③或①④或②③或②④.
(2)选①③证明.
在△BOE 和△COD 中，
$\begin{cases} ∠EBO=∠DCO, \\ ∠BOE=∠COD, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴ △BOE ≌△COD.
∴ OB=OC.
∴ ∠OBC=∠OCB.
∴ ∠OBC+∠EBO=∠OCB+∠DCO,
即∠ABC=∠ACB.
∴ AB=AC,
即△ABC 是等腰三角形.

【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，核心目标是证明∠ABC=∠ACB。我们可以通过组合已知条件推导角相等：
1. 若选含①∠EBO=∠DCO的组合：搭配④OB=OC时，可由OB=OC直接得∠OBC=∠OCB，两角相加即可得∠ABC=∠ACB；搭配③BE=CD时，结合对顶角∠BOE=∠COD，可先证△BOE≌△COD得到OB=OC，再推导角相等。
2. 若选含②∠BEO=∠CDO的组合：搭配③BE=CD或④OB=OC，都可先证△BOE≌△COD，得到∠EBO=∠DCO和OB=OC，进而推导∠ABC=∠ACB。
据此即可找出所有符合要求的条件组合。
【解析】
(1) 可判定△ABC是等腰三角形的情形为：①③、①④、②③、②④。
(2) 选择①③的情形证明：
在△BOE 和△COD 中，
$\begin{cases} ∠EBO=∠DCO, \\ ∠BOE=∠COD（对顶角相等）, \\ BE=CD, \end{cases}$
∴△BOE ≌△COD（AAS）。
∴OB=OC（全等三角形对应边相等）。
∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。
∴∠OBC+∠EBO=∠OCB+∠DCO，
即∠ABC=∠ACB。
∴AB=AC（等角对等边），
即△ABC 是等腰三角形。
【答案】
(1) ①③或①④或②③或②④；
(2) 选①③证明如上，△ABC是等腰三角形。
【知识点】
1. 等腰三角形的判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置，需要结合全等三角形的知识推导角的等量关系，解题关键是明确要证△ABC为等腰三角形只需证明其两个底角相等，列举条件组合时要严格按照全等判定定理筛选，避免漏解。
【难度系数】
0.7