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1. 在$△ ABC$中，已知$a,b,c$分别是$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，则下列条件中，不能判定$△ ABC$是等腰三角形的是（
A.$a=3,b=3,c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠ B=50°,∠ C=80°$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$
B
）A.$a=3,b=3,c=4$
B.$a:b:c=2:3:4$
C.$∠ B=50°,∠ C=80°$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断能否判定△ABC是等腰三角形，需依据等腰三角形的判定规则：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形。我们只需逐个分析四个选项，判断其是否满足上述两个条件之一，不满足的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知a=3，b=3，可得a=b，即三角形有两条边相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意；
B选项：a:b:c=2:3:4，说明三条边的长度均不相等，根据大边对大角，三个内角也互不相等，不能判定△ABC是等腰三角形，符合题意；
C选项：根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，因此∠A=∠B=50°，三角形有两个角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意；
D选项：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据内角和为180°，则x+x+2x=180°，解得x=45°，因此∠A=∠B=45°，三角形有两个角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题，解题时要灵活结合边、角两种判定方法，结合内角和定理计算角度即可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断能否判定△ABC是等腰三角形，需依据等腰三角形的判定规则：①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个内角相等的三角形是等腰三角形。我们只需逐个分析四个选项，判断其是否满足上述两个条件之一，不满足的即为正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：已知a=3，b=3，可得a=b，即三角形有两条边相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意；
B选项：a:b:c=2:3:4，说明三条边的长度均不相等，根据大边对大角，三个内角也互不相等，不能判定△ABC是等腰三角形，符合题意；
C选项：根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-80°=50°，因此∠A=∠B=50°，三角形有两个角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意；
D选项：设∠A=x，∠B=x，∠C=2x，根据内角和为180°，则x+x+2x=180°，解得x=45°，因此∠A=∠B=45°，三角形有两个角相等，可判定△ABC是等腰三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形判定的基础应用题，解题时要灵活结合边、角两种判定方法，结合内角和定理计算角度即可快速判断，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. 下列条件不能推出$△ ABC$为等腰三角形的是
（
A.$∠ B=∠ C$
B.$AD⊥ BC, ∠ BAD=∠ CAD$
C.$AD⊥ BC, BD=CD$
D.$AD⊥ BC, ∠ BAD=∠ ACD$
（
D
）A.$∠ B=∠ C$
B.$AD⊥ BC, ∠ BAD=∠ CAD$
C.$AD⊥ BC, BD=CD$
D.$AD⊥ BC, ∠ BAD=∠ ACD$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断各选项能否推出△ABC为等腰三角形，核心是验证是否能得到△ABC中有两条边相等或两个内角相等，我们结合等腰三角形判定、全等三角形性质、垂直平分线性质逐一分析每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：在△ABC中，∠B=∠C，根据“等角对等边”可得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
B选项：已知AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意。
C选项：已知AD⊥BC，BD=CD，即AD是线段BC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意。
D选项：已知AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，∠BAD+∠B=90°，在Rt△ACD中，∠ACD+∠CAD=90°，结合∠BAD=∠ACD，可推出∠B=∠CAD，但无法得到△ABC中两个内角相等或两条边相等，因此不能推出△ABC是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置选项，需要熟练掌握全等证明、垂直平分线性质等基础知识点，逐一推导选项对应的边角关系即可解题，解题时要注意区分对应角的相等关系，避免误判。
【难度系数】
0.8
要判断各选项能否推出△ABC为等腰三角形，核心是验证是否能得到△ABC中有两条边相等或两个内角相等，我们结合等腰三角形判定、全等三角形性质、垂直平分线性质逐一分析每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：在△ABC中，∠B=∠C，根据“等角对等边”可得AB=AC，因此△ABC是等腰三角形，不符合题意。
B选项：已知AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠BAD=∠CAD \\AD=AD \\∠ADB=∠ADC\end{array} $
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意。
C选项：已知AD⊥BC，BD=CD，即AD是线段BC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得AB=AC，△ABC是等腰三角形，不符合题意。
D选项：已知AD⊥BC，
∴在Rt△ABD中，∠BAD+∠B=90°，在Rt△ACD中，∠ACD+∠CAD=90°，结合∠BAD=∠ACD，可推出∠B=∠CAD，但无法得到△ABC中两个内角相等或两条边相等，因此不能推出△ABC是等腰三角形，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题围绕等腰三角形的判定设置选项，需要熟练掌握全等证明、垂直平分线性质等基础知识点，逐一推导选项对应的边角关系即可解题，解题时要注意区分对应角的相等关系，避免误判。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在△ABC中,AB=AC=8,D为BC的中点,点N在线段AD上,NM//AC交AB于点M,BN=3,则△BMN的周长为
11
。答案
3. 11
解析
【分析】
解题时首先根据AB=AC、D是BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质得出AD平分∠BAC；再结合NM//AC，由平行线内错角相等的性质，通过等量代换得到∠ANM=∠BAD，进而推出AM=MN；最后将△BMN的周长中的MN替换为AM，把周长转化为AB+BN的和，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即∠BAD=∠CAD，
∵NM//AC，
∴∠ANM=∠CAD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ANM=∠BAD，
∴AM=MN（等角对等边），
∴△BMN的周长 = BM + MN + BN = BM + AM + BN = AB + BN，
代入AB=8，BN=3，得周长=8+3=11。
【答案】
11
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；等角对等边
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用题型，核心解题思路是通过角的等量关系实现边的转化，将未知三角形的周长转化为已知线段的和，简化计算过程，考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据AB=AC、D是BC中点，利用等腰三角形三线合一的性质得出AD平分∠BAC；再结合NM//AC，由平行线内错角相等的性质，通过等量代换得到∠ANM=∠BAD，进而推出AM=MN；最后将△BMN的周长中的MN替换为AM，把周长转化为AB+BN的和，代入已知数值计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），即∠BAD=∠CAD，
∵NM//AC，
∴∠ANM=∠CAD（两直线平行，内错角相等），
∴∠ANM=∠BAD，
∴AM=MN（等角对等边），
∴△BMN的周长 = BM + MN + BN = BM + AM + BN = AB + BN，
代入AB=8，BN=3，得周长=8+3=11。
【答案】
11
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；等角对等边
【点评】
本题是等腰三角形相关性质的基础应用题型，核心解题思路是通过角的等量关系实现边的转化，将未知三角形的周长转化为已知线段的和，简化计算过程，考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 小明从点A出发，沿北偏东$50°$方向行走到点B，然后从点B沿南偏东$50°$方向到达点C，点C恰好在点A的正东方向，若小明共走了1000 m，则B，C之间的距离为
500
m.答案
4. 500
解析
【分析】
首先根据题意画出方位示意图，先利用平行线的性质求出△ABC中∠ABC的度数，再结合C在A正东的条件求出∠BAC的度数，利用三角形内角和定理得到∠ACB的度数，根据等角对等边判断AB与BC的数量关系，最后结合总路程即可求出BC的长度。
【解析】
1. 过点A作正北方向的射线AP，过点B作正南方向的射线BQ，由方位角的性质可知AP//BQ。
2. 已知小明从A沿北偏东50°到B，故∠PAB=50°，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABQ=∠PAB=50°。
3. 又从B沿南偏东50°到C，故∠QBC=50°，因此∠ABC=∠ABQ+∠QBC=50°+50°=100°。
4. 因为点C在A的正东方向，正北与正东方向夹角为90°，所以∠BAC=90°-50°=40°。
5. 根据三角形内角和为180°，可得∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-100°-40°=40°，所以∠BAC=∠ACB。
6. 根据“等角对等边”，可得AB=BC。
7. 已知小明共走了1000m，即AB+BC=1000m，将AB替换为BC，得2BC=1000m，解得BC=500m。
【答案】
500
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题将方位角与等腰三角形的判定结合考查，解题的核心是正确画出方位示意图，准确推导三角形各内角的度数，是几何基础知识在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
首先根据题意画出方位示意图，先利用平行线的性质求出△ABC中∠ABC的度数，再结合C在A正东的条件求出∠BAC的度数，利用三角形内角和定理得到∠ACB的度数，根据等角对等边判断AB与BC的数量关系，最后结合总路程即可求出BC的长度。
【解析】
1. 过点A作正北方向的射线AP，过点B作正南方向的射线BQ，由方位角的性质可知AP//BQ。
2. 已知小明从A沿北偏东50°到B，故∠PAB=50°，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABQ=∠PAB=50°。
3. 又从B沿南偏东50°到C，故∠QBC=50°，因此∠ABC=∠ABQ+∠QBC=50°+50°=100°。
4. 因为点C在A的正东方向，正北与正东方向夹角为90°，所以∠BAC=90°-50°=40°。
5. 根据三角形内角和为180°，可得∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-100°-40°=40°，所以∠BAC=∠ACB。
6. 根据“等角对等边”，可得AB=BC。
7. 已知小明共走了1000m，即AB+BC=1000m，将AB替换为BC，得2BC=1000m，解得BC=500m。
【答案】
500
【知识点】
方位角的应用；等腰三角形的判定；平行线的性质
【点评】
本题将方位角与等腰三角形的判定结合考查，解题的核心是正确画出方位示意图，准确推导三角形各内角的度数，是几何基础知识在实际生活中的典型应用。
【难度系数】
0.7
5. 将一副直角三角尺按照如图所示的方式摆放,等腰直角三角尺ABC的斜边BC与含$30°$角的直角三角尺BDE的直角边BD的长度相等,且斜边BC与BE在同一条直线上,AC与BD交于点O,连接CD.求证$△ CDO$是等腰三角形.
答案
5.
∵ BC=BD，
∴ ∠BDC=∠BCD.
∵ ∠DBE=30°,
∴ ∠BDC=∠BCD=75°.
∵ ∠ACB=45°,
∴ ∠DOC = ∠DBC + ∠ACB = 30° + 45°=75°.
∴ ∠DOC=∠ODC.
∴ CO=CD，
即△CDO 是等腰三角形.
∵ BC=BD，
∴ ∠BDC=∠BCD.
∵ ∠DBE=30°,
∴ ∠BDC=∠BCD=75°.
∵ ∠ACB=45°,
∴ ∠DOC = ∠DBC + ∠ACB = 30° + 45°=75°.
∴ ∠DOC=∠ODC.
∴ CO=CD，
即△CDO 是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△CDO是等腰三角形，核心是证明该三角形存在两个相等的内角或者两条相等的边。结合题干给出的边相等条件、三角尺的特殊角度，优先选择通过角度计算证明角相等：首先由BC=BD得到△BCD为等腰三角形，结合∠DBE=30°可算出∠BDC的度数；再利用三角形外角的性质计算∠DOC的度数，若两个角度数相等，即可判定△CDO为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ BC=BD，
∴ ∠BDC=∠BCD。
∵ ∠DBE=30°，
∴ ∠BDC=∠BCD=(180°-30°)÷2=75°。
∵ 等腰直角三角尺ABC中∠ACB=45°，
∴ ∠DOC是△BOC的外角，∠DOC = ∠DBC + ∠ACB = 30° + 45°=75°。
∴ ∠DOC=∠ODC，
∴ CO=CD，
即△CDO是等腰三角形。
【答案】
△CDO是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合常见直角三角尺的特殊角度设置问题，侧重考查等腰三角形相关性质、判定以及三角形外角性质的应用，解题的关键是准确利用已知条件计算出对应角的度数，属于几何基础证明题。
【难度系数】
0.7
要证明△CDO是等腰三角形，核心是证明该三角形存在两个相等的内角或者两条相等的边。结合题干给出的边相等条件、三角尺的特殊角度，优先选择通过角度计算证明角相等：首先由BC=BD得到△BCD为等腰三角形，结合∠DBE=30°可算出∠BDC的度数；再利用三角形外角的性质计算∠DOC的度数，若两个角度数相等，即可判定△CDO为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ BC=BD，
∴ ∠BDC=∠BCD。
∵ ∠DBE=30°，
∴ ∠BDC=∠BCD=(180°-30°)÷2=75°。
∵ 等腰直角三角尺ABC中∠ACB=45°，
∴ ∠DOC是△BOC的外角，∠DOC = ∠DBC + ∠ACB = 30° + 45°=75°。
∴ ∠DOC=∠ODC，
∴ CO=CD，
即△CDO是等腰三角形。
【答案】
△CDO是等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合常见直角三角尺的特殊角度设置问题，侧重考查等腰三角形相关性质、判定以及三角形外角性质的应用，解题的关键是准确利用已知条件计算出对应角的度数，属于几何基础证明题。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=2∠ C$,$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$,过点$B$作$BE ⊥ AD$交$AD$于点$F$,交$AC$于点$E$.
(1)求证$△ ABE$为等腰三角形;
(2)若$AC=11$,$AB=6$,求$BD$的长.
(1)求证$△ ABE$为等腰三角形;
(2)若$AC=11$,$AB=6$,求$BD$的长.
答案
6. (1)
∵ BE⊥AD，
∴ ∠AFE=∠AFB=90°.
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠EAF=∠BAF.
在△AEF 和△ABF 中，
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°,
∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°,
∴ ∠AEF=∠ABF.
∴ AE=AB.
即△ABE 是等腰三角形.
(2)如图,连接 DE.
∵ AE=AB,AF⊥BE，
∴ BF=EF.
∴ AF 垂直平分 BE,即 AD 垂直平分 BE.
∴ BD=ED.
∴ ∠DEF=∠DBF.
∵ ∠AEF=∠ABF，
∴ ∠DEF+∠AEF=∠DBF+∠ABF, 即∠AED=∠ABD.
∵ ∠ABC=2∠C，
∴ ∠AED=2∠C.
∵ ∠AED=∠C+∠EDC，
∴ ∠C=∠EDC.
∴ CE=ED.
∴ BD = ED = CE = AC-AE
=AC-AB=11-6=5.
答:BD 的长为 5.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE为等腰三角形，可通过证明两边相等或两角相等推导。已知AD是∠BAC的平分线，可得∠EAF=∠BAF，结合BE⊥AD得到∠AFE=∠AFB=90°，利用三角形内角和定理即可推出∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，完成证明。
(2) 求解BD长度时，先由(1)的结论得AE=AB=6，即可算出CE=AC-AE=5，此时需建立BD与CE的等量关系：连接DE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BE，推出BD=ED；再通过角的转化结合已知∠ABC=2∠C，利用三角形外角的性质可证∠EDC=∠C，得到ED=CE，进而求得BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ BE⊥AD，
∴ ∠AFE=∠AFB=90°.
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAF=∠BAF.
在△AEF和△ABF中，
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，
∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，
∴ ∠AEF=∠ABF，
∴ AE=AB，
即△ABE是等腰三角形。
(2) 解：如图，连接DE。
∵ AE=AB，AF⊥BE，
∴ BF=EF，即AF垂直平分BE，也就是AD垂直平分BE，
∴ BD=ED，
∴ ∠DEF=∠DBF。
∵ ∠AEF=∠ABF，
∴ ∠DEF+∠AEF=∠DBF+∠ABF，即∠AED=∠ABD。
∵ ∠ABC=2∠C，
∴ ∠AED=2∠C。
又
∵ ∠AED是△EDC的外角，
∴ ∠AED=∠C+∠EDC，
∴ ∠C=∠EDC，
∴ CE=ED，
∴ BD=ED=CE=AC-AE=AC-AB=11-6=5。
【答案】
(1) △ABE为等腰三角形，证明成立；
(2) 如图，连接DE。
BD的长为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形相关的性质与判定，解题的关键是结合已知条件合理添加辅助线，通过角与线段的等量转化建立待求线段和已知线段的关系，对逻辑推理能力有一定的训练作用。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABE为等腰三角形，可通过证明两边相等或两角相等推导。已知AD是∠BAC的平分线，可得∠EAF=∠BAF，结合BE⊥AD得到∠AFE=∠AFB=90°，利用三角形内角和定理即可推出∠AEF=∠ABF，得到AE=AB，完成证明。
(2) 求解BD长度时，先由(1)的结论得AE=AB=6，即可算出CE=AC-AE=5，此时需建立BD与CE的等量关系：连接DE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD垂直平分BE，推出BD=ED；再通过角的转化结合已知∠ABC=2∠C，利用三角形外角的性质可证∠EDC=∠C，得到ED=CE，进而求得BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ BE⊥AD，
∴ ∠AFE=∠AFB=90°.
∵ AD平分∠BAC，
∴ ∠EAF=∠BAF.
在△AEF和△ABF中，
∠AFE+∠EAF+∠AEF=180°，
∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，
∴ ∠AEF=∠ABF，
∴ AE=AB，
即△ABE是等腰三角形。
(2) 解：如图，连接DE。
∵ AE=AB，AF⊥BE，
∴ BF=EF，即AF垂直平分BE，也就是AD垂直平分BE，
∴ BD=ED，
∴ ∠DEF=∠DBF。
∵ ∠AEF=∠ABF，
∴ ∠DEF+∠AEF=∠DBF+∠ABF，即∠AED=∠ABD。
∵ ∠ABC=2∠C，
∴ ∠AED=2∠C。
又
∵ ∠AED是△EDC的外角，
∴ ∠AED=∠C+∠EDC，
∴ ∠C=∠EDC，
∴ CE=ED，
∴ BD=ED=CE=AC-AE=AC-AB=11-6=5。
【答案】
(1) △ABE为等腰三角形，证明成立；
(2) 如图，连接DE。
BD的长为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题综合考查了三角形相关的性质与判定，解题的关键是结合已知条件合理添加辅助线，通过角与线段的等量转化建立待求线段和已知线段的关系，对逻辑推理能力有一定的训练作用。
【难度系数】
0.7
