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1. (★)如图,小明用手盖住了一个三角形的一部分,则这个三角形是 【 】
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
(第1题) (第2题)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
(第1题) (第2题)
答案
C
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内角和定理与三角形按角分类的判定规则：首先观察图形中露出的两个角，可知二者均为锐角且度数之和小于90°，再结合三角形内角和为180°，可计算出被盖住的角的度数大于90°，属于钝角，最后根据钝角三角形的定义即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
观察图形可得，露出的两个角均为锐角，且两个锐角的度数之和小于90°，因此被手盖住的角的度数为：
$180° - \mathrm{两个露出锐角的和} ＞ 180° -90° =90°$
即被盖住的角是钝角。
根据三角形按角分类的规则：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此该三角形为钝角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对三角形相关基础概念的理解和应用，解题的核心是通过露出角的特征推导未知角的类型，结合分类规则判断即可。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形内角和定理与三角形按角分类的判定规则：首先观察图形中露出的两个角，可知二者均为锐角且度数之和小于90°，再结合三角形内角和为180°，可计算出被盖住的角的度数大于90°，属于钝角，最后根据钝角三角形的定义即可得出结论。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
观察图形可得，露出的两个角均为锐角，且两个锐角的度数之和小于90°，因此被手盖住的角的度数为：
$180° - \mathrm{两个露出锐角的和} ＞ 180° -90° =90°$
即被盖住的角是钝角。
根据三角形按角分类的规则：有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，因此该三角形为钝角三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，侧重考查对三角形相关基础概念的理解和应用，解题的核心是通过露出角的特征推导未知角的类型，结合分类规则判断即可。
【难度系数】
0.9
2. (★)如图,以DE为边的三角形有 【 】
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
C
解析
【分析】
要找出以DE为边的三角形，首先明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。我们只需固定DE为其中一条边，依次寻找能与D、E两点共同构成三角形的第三个顶点，按顺序枚举即可，注意不要遗漏、不要重复计数。
【解析】
我们逐个统计以DE为边的三角形：
1. 第三个顶点为F，构成$△ DEF$；
2. 第三个顶点为A，构成$△ ADE$；
3. 第三个顶点为B，构成$△ BDE$；
4. 第三个顶点为C，构成$△ CDE$。
综上，以DE为边的三角形共有4个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是明确三角形边的含义，按照固定顺序枚举计数即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9
要找出以DE为边的三角形，首先明确三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。我们只需固定DE为其中一条边，依次寻找能与D、E两点共同构成三角形的第三个顶点，按顺序枚举即可，注意不要遗漏、不要重复计数。
【解析】
我们逐个统计以DE为边的三角形：
1. 第三个顶点为F，构成$△ DEF$；
2. 第三个顶点为A，构成$△ ADE$；
3. 第三个顶点为B，构成$△ BDE$；
4. 第三个顶点为C，构成$△ CDE$。
综上，以DE为边的三角形共有4个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题是基础概念类题目，解题核心是明确三角形边的含义，按照固定顺序枚举计数即可，不容易出错。
【难度系数】
0.9
3. (★)如图,三角形的个数为 【 】
A.3
B.4
C.5
D.6
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
C
解析
【分析】
要正确数出图中三角形的个数，需按照有序计数的原则，避免重复或遗漏。我们可以先数独立的小三角形，再数由多个小三角形组合而成的大三角形，逐一排查所有符合三角形定义的图形。
【解析】
我们按从小到大的顺序逐个列举图中的三角形：
1. 独立的小三角形：$△ ABD$、$△ CDE$、$△ ACE$，共3个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：$△ ACD$（由$△ ACE$和$△ CDE$组合而成），共1个；
3. 最大的组合三角形：$△ ABC$（由$△ ABD$和$△ ACD$组合而成），共1个；
合计三角形个数为：$3+1+1=5$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义，图形计数
【点评】
本题属于基础的图形计数类题目，重点考查有序计数的能力，计数时按照固定顺序排查，就能避免重复、遗漏的问题，轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
要正确数出图中三角形的个数，需按照有序计数的原则，避免重复或遗漏。我们可以先数独立的小三角形，再数由多个小三角形组合而成的大三角形，逐一排查所有符合三角形定义的图形。
【解析】
我们按从小到大的顺序逐个列举图中的三角形：
1. 独立的小三角形：$△ ABD$、$△ CDE$、$△ ACE$，共3个；
2. 由2个小三角形组合成的三角形：$△ ACD$（由$△ ACE$和$△ CDE$组合而成），共1个；
3. 最大的组合三角形：$△ ABC$（由$△ ABD$和$△ ACD$组合而成），共1个；
合计三角形个数为：$3+1+1=5$个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义，图形计数
【点评】
本题属于基础的图形计数类题目，重点考查有序计数的能力，计数时按照固定顺序排查，就能避免重复、遗漏的问题，轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.8
4. (★)如图,表示出以BC为边的三角形:
.
.
答案
解：以BC为边的三角形是$△ ABC$，$△ EBC$，$△ DBC$，$△ FBC$。
解析
【分析】
要找出以BC为边的三角形，首先回忆三角形的构成：三角形有3个顶点，其中2个顶点已经固定为B和C，只需找出所有能和B、C构成三角形的第三个顶点即可。我们按从上到下的顺序查找图中除B、C外的点：A、E、D、F，依次将这几个点作为第三个顶点和B、C组合，就能不重不漏地找出所有符合要求的三角形。
【解析】
根据三角形的定义，以BC为边时，第三个顶点分别为：
1. 顶点A，对应的三角形为$△ ABC$；
2. 顶点E，对应的三角形为$△ EBC$；
3. 顶点D，对应的三角形为$△ DBC$；
4. 顶点F，对应的三角形为$△ FBC$。
【答案】
$△ ABC$，$△ EBC$，$△ DBC$，$△ FBC$
【知识点】
三角形的定义、三角形的表示
【点评】
本题属于基础概念题，解题时只要按照固定顺序查找第三个顶点，就能避免出现遗漏或重复的问题，难度较低。
【难度系数】
0.9
要找出以BC为边的三角形，首先回忆三角形的构成：三角形有3个顶点，其中2个顶点已经固定为B和C，只需找出所有能和B、C构成三角形的第三个顶点即可。我们按从上到下的顺序查找图中除B、C外的点：A、E、D、F，依次将这几个点作为第三个顶点和B、C组合，就能不重不漏地找出所有符合要求的三角形。
【解析】
根据三角形的定义，以BC为边时，第三个顶点分别为：
1. 顶点A，对应的三角形为$△ ABC$；
2. 顶点E，对应的三角形为$△ EBC$；
3. 顶点D，对应的三角形为$△ DBC$；
4. 顶点F，对应的三角形为$△ FBC$。
【答案】
$△ ABC$，$△ EBC$，$△ DBC$，$△ FBC$
【知识点】
三角形的定义、三角形的表示
【点评】
本题属于基础概念题，解题时只要按照固定顺序查找第三个顶点，就能避免出现遗漏或重复的问题，难度较低。
【难度系数】
0.9
5. (★)下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位:cm),其中首尾相接能搭成一个三角形的是
【 】
A.5,7,12
B.7,7,15
C.6,9,16
D.6,8,12
【 】
A.5,7,12
B.7,7,15
C.6,9,16
D.6,8,12
答案
D
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确判断三条线段能否构成三角形的核心依据是“三角形任意两边之和大于第三边”，为了简化计算，我们只需验证两条较短边的长度之和是否大于最长边即可——因为若两条短边的和大于最长边，那么最长边加任意一条短边必然大于另一条短边，自动满足其余的两边之和大于第三边的要求。接下来我们逐个对选项进行验证即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，采用简便判断方法：比较两条较短边的和与最长边的大小。
A选项：三根小棒长度为5,7,12，最长边为12，两条短边和为5+7=12，12=12，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
B选项：三根小棒长度为7,7,15，最长边为15，两条短边和为7+7=14，14＜15，不满足要求，不能构成三角形；
C选项：三根小棒长度为6,9,16，最长边为16，两条短边和为6+9=15，15＜16，不满足要求，不能构成三角形；
D选项：三根小棒长度为6,8,12，最长边为12，两条短边和为6+8=14，14＞12，满足三边关系，可以构成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“两短边之和大于最长边”的简便判断方法即可快速解题，需注意两边之和等于第三边时无法构成三角形，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确判断三条线段能否构成三角形的核心依据是“三角形任意两边之和大于第三边”，为了简化计算，我们只需验证两条较短边的长度之和是否大于最长边即可——因为若两条短边的和大于最长边，那么最长边加任意一条短边必然大于另一条短边，自动满足其余的两边之和大于第三边的要求。接下来我们逐个对选项进行验证即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，采用简便判断方法：比较两条较短边的和与最长边的大小。
A选项：三根小棒长度为5,7,12，最长边为12，两条短边和为5+7=12，12=12，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
B选项：三根小棒长度为7,7,15，最长边为15，两条短边和为7+7=14，14＜15，不满足要求，不能构成三角形；
C选项：三根小棒长度为6,9,16，最长边为16，两条短边和为6+9=15，15＜16，不满足要求，不能构成三角形；
D选项：三根小棒长度为6,8,12，最长边为12，两条短边和为6+8=14，14＞12，满足三边关系，可以构成三角形。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“两短边之和大于最长边”的简便判断方法即可快速解题，需注意两边之和等于第三边时无法构成三角形，整体难度较低。
【难度系数】
0.9
6. (★)如图，$CD ⊥ AB$于点D，则【】
A.线段CD是$△ ABC$的边AC上的高
B.线段CD是$△ DBC$的边DB上的高
C.线段AD是$△ ABC$的边BC上的高
D.线段BD是$△ ABC$的边DC上的高
A.线段CD是$△ ABC$的边AC上的高
B.线段CD是$△ DBC$的边DB上的高
C.线段AD是$△ ABC$的边BC上的高
D.线段BD是$△ ABC$的边DC上的高
答案
B
解析
【分析】
要判断各选项的正误，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。判断一条线段是否为某三角形某边上的高，需满足两个核心条件：①线段的一个端点是该三角形的顶点，另一个端点在这条对边（或对边所在直线）上；②线段与这条边互相垂直。我们按照这个标准逐一验证选项即可。
【解析】
结合三角形高的定义逐个分析选项：
A. 线段CD的端点C是△ABC的顶点，但AC是△ABC中顶点B的对边，AC边上的高应从点B向AC作垂线，CD实际是△ABC中AB边上的高，故A错误；
B. 线段CD的端点C是△DBC的顶点，DB是△DBC中顶点C的对边，已知CD⊥AB，即CD⊥DB，符合高的定义，因此线段CD是△DBC的边DB上的高，故B正确；
C. 线段AD不垂直于△ABC的边BC，不符合高的定义，故C错误；
D. 首先DC不是△ABC的边，其次BD不是从△ABC的顶点向对边作出的垂线段，不符合高的定义，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对三角形高的定义的理解，解题时要注意明确高对应的三角形和对应的边，不要混淆不同三角形的高即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
要判断各选项的正误，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。判断一条线段是否为某三角形某边上的高，需满足两个核心条件：①线段的一个端点是该三角形的顶点，另一个端点在这条对边（或对边所在直线）上；②线段与这条边互相垂直。我们按照这个标准逐一验证选项即可。
【解析】
结合三角形高的定义逐个分析选项：
A. 线段CD的端点C是△ABC的顶点，但AC是△ABC中顶点B的对边，AC边上的高应从点B向AC作垂线，CD实际是△ABC中AB边上的高，故A错误；
B. 线段CD的端点C是△DBC的顶点，DB是△DBC中顶点C的对边，已知CD⊥AB，即CD⊥DB，符合高的定义，因此线段CD是△DBC的边DB上的高，故B正确；
C. 线段AD不垂直于△ABC的边BC，不符合高的定义，故C错误；
D. 首先DC不是△ABC的边，其次BD不是从△ABC的顶点向对边作出的垂线段，不符合高的定义，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对三角形高的定义的理解，解题时要注意明确高对应的三角形和对应的边，不要混淆不同三角形的高即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
7. (★★)有3 cm,6 cm,8 cm,9 cm的四条线段,任选其中的三条线段组成一个三角形,则最多能组成三角形的个数为 【 】
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题思路分为两步：首先，列举出从4条线段中任选3条的所有可能组合；其次，对每个组合逐一用三边关系判断是否能构成三角形，统计符合条件的组合数即可。判断时可以用简便方法：只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，若满足则该组合能构成三角形，反之则不能。
【解析】
首先列出从4条线段中任选3条的所有4种组合：
① 3cm，6cm，8cm：较短两边和为3+6=9cm，9＞8，满足三边关系，可构成三角形；
② 3cm，6cm，9cm：较短两边和为3+6=9cm，9=9，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
③ 3cm，8cm，9cm：较短两边和为3+8=11cm，11＞9，满足三边关系，可构成三角形；
④ 6cm，8cm，9cm：较短两边和为6+8=14cm，14＞9，满足三边关系，可构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共有3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 枚举法
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查三角形三边关系的实际运用，解题时要注意不重不漏地枚举所有组合，尤其要注意“两边之和等于第三边时不能构成三角形”这个易错点。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要用到三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。解题思路分为两步：首先，列举出从4条线段中任选3条的所有可能组合；其次，对每个组合逐一用三边关系判断是否能构成三角形，统计符合条件的组合数即可。判断时可以用简便方法：只需验证较短两条线段的长度和是否大于最长线段的长度，若满足则该组合能构成三角形，反之则不能。
【解析】
首先列出从4条线段中任选3条的所有4种组合：
① 3cm，6cm，8cm：较短两边和为3+6=9cm，9＞8，满足三边关系，可构成三角形；
② 3cm，6cm，9cm：较短两边和为3+6=9cm，9=9，不满足两边之和大于第三边，不可构成三角形；
③ 3cm，8cm，9cm：较短两边和为3+8=11cm，11＞9，满足三边关系，可构成三角形；
④ 6cm，8cm，9cm：较短两边和为6+8=14cm，14＞9，满足三边关系，可构成三角形。
综上，能构成三角形的组合共有3个。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 枚举法
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查三角形三边关系的实际运用，解题时要注意不重不漏地枚举所有组合，尤其要注意“两边之和等于第三边时不能构成三角形”这个易错点。
【难度系数】
0.7
8. (★★)若长度分别为3,6,a的三条线段能组成一个三角形,则整数a的值可以是(写出一个即可).
答案
解：
根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$6 - 3 ＜ a ＜ 6 + 3$
即 $3 ＜ a ＜ 9$
整数a可取范围内的任意值，例如$a=4$（答案不唯一，5、6、7、8均符合要求）。
根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$6 - 3 ＜ a ＜ 6 + 3$
即 $3 ＜ a ＜ 9$
整数a可取范围内的任意值，例如$a=4$（答案不唯一，5、6、7、8均符合要求）。
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。本题已知两条边长为3和6，我们可以先根据三边关系列出关于a的不等式，求出a的取值范围，再在范围内选取任意一个整数即可。
【解析】
根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$6 - 3 ＜ a ＜ 6 + 3$
化简得 $3 ＜ a ＜ 9$
由于a为整数，因此a可取4、5、6、7、8中的任意一个，例如a=4。
【答案】
4（答案不唯一，5、6、7、8均符合要求）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，掌握三边关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。本题已知两条边长为3和6，我们可以先根据三边关系列出关于a的不等式，求出a的取值范围，再在范围内选取任意一个整数即可。
【解析】
根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$6 - 3 ＜ a ＜ 6 + 3$
化简得 $3 ＜ a ＜ 9$
由于a为整数，因此a可取4、5、6、7、8中的任意一个，例如a=4。
【答案】
4（答案不唯一，5、6、7、8均符合要求）
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是基础题型，主要考查三角形三边关系的应用，解题关键是准确求出第三边的取值范围，掌握三边关系即可快速解答。
【难度系数】
0.9
9. (★★)如图，$△ ABC$的边$BC$上的高为$AF$，中线为$AD$，边$AC$上的高为$BG$，已知$AF=6$，$BD=5$，$BG=5$.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)求$AC$的长.
(1)求$△ ABC$的面积；
(2)求$AC$的长.
答案
解：
(1) ∵ AD是△ABC的中线，BD=5，
∴ BC=2BD=10。
∵ AF是△ABC的边BC上的高，AF=6，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$。
(2) ∵ BG是△ABC的边AC上的高，BG=5，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BG$，
代入$S_{△ ABC}=30$，$BG=5$得：
$30=\frac{1}{2} × AC × 5$，
解得 $AC=12$。
答：(1) $△ ABC$的面积为30；(2) $AC$的长为12。
(1) ∵ AD是△ABC的中线，BD=5，
∴ BC=2BD=10。
∵ AF是△ABC的边BC上的高，AF=6，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$。
(2) ∵ BG是△ABC的边AC上的高，BG=5，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BG$，
代入$S_{△ ABC}=30$，$BG=5$得：
$30=\frac{1}{2} × AC × 5$，
解得 $AC=12$。
答：(1) $△ ABC$的面积为30；(2) $AC$的长为12。
解析
【分析】
(1) 要计算△ABC的面积，已知BC边上的高AF的长度，只需要先求出底边BC的长度：AD是△ABC的中线，根据中线的性质，中线平分对边，可得BC=2BD，代入BD的数值即可得到BC的长，再利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$就能算出面积。
(2) 要求AC的长度，已知AC边上的高BG，同一个三角形的面积是固定的，因此可以用AC和BG作为底和高表示△ABC的面积，结合第一问求出的面积，代入数值解方程即可得到AC的长。
【解析】
(1)
∵ AD是△ABC的中线，BD=5，
∴ BC=2BD=2×5=10。
∵ AF是△ABC的边BC上的高，AF=6，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$。
(2)
∵ BG是△ABC的边AC上的高，BG=5，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BG$，
将$S_{△ ABC}=30$，$BG=5$代入得：
$30=\frac{1}{2} × AC × 5$，
解得 $AC=12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用三角形中线的性质得到底边长度，再结合面积公式和等面积法求解未知边长，熟练掌握相关基础概念就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
(1) 要计算△ABC的面积，已知BC边上的高AF的长度，只需要先求出底边BC的长度：AD是△ABC的中线，根据中线的性质，中线平分对边，可得BC=2BD，代入BD的数值即可得到BC的长，再利用三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$就能算出面积。
(2) 要求AC的长度，已知AC边上的高BG，同一个三角形的面积是固定的，因此可以用AC和BG作为底和高表示△ABC的面积，结合第一问求出的面积，代入数值解方程即可得到AC的长。
【解析】
(1)
∵ AD是△ABC的中线，BD=5，
∴ BC=2BD=2×5=10。
∵ AF是△ABC的边BC上的高，AF=6，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × AF = \frac{1}{2} × 10 × 6 = 30$。
(2)
∵ BG是△ABC的边AC上的高，BG=5，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AC × BG$，
将$S_{△ ABC}=30$，$BG=5$代入得：
$30=\frac{1}{2} × AC × 5$，
解得 $AC=12$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{30}$；(2) $\boldsymbol{12}$
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用三角形中线的性质得到底边长度，再结合面积公式和等面积法求解未知边长，熟练掌握相关基础概念就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
