10.(★★)如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若$∠ A = 35°$, $∠ B = 25°$, $∠ C = 50°$,则$∠ 1$的度数为【 】

A.$60°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$85°$

B

【分析】
要计算∠1的度数，我们可以结合三角形外角性质和内角和定理求解：首先观察到∠AEB是△BEC的外角，可先利用三角形外角的性质求出∠AEB的度数，再在包含∠1的△AOE（设AD、BE交点为O）中，利用三角形内角和为180°，减去已知的∠A和求出的∠AEB的度数，即可得到∠1的大小。
【解析】
设AD与BE的交点为O。
1. 求∠AEB的度数：
∠AEB是△BEC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ AEB = ∠ C + ∠ EBC$
已知$∠ C=50°$，$∠ EBC=∠ B=25°$，代入得：
$∠ AEB = 50° + 25° = 75°$
2. 求∠1的度数：
在△AOE中，根据三角形内角和定理，三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ 1 + ∠ A + ∠ AEB = 180°$
已知$∠ A=35°$，$∠ AEB=75°$，代入得：
$∠ 1 = 180° - 35° - 75° = 70°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础常考题型，重点考查三角形内角和与外角性质的综合运用，解题的核心是准确识别外角对应的不相邻内角，熟练运用角度计算的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7

11. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ BCD = 30°,∠ ACB = 80°,CD$是边$AB$上的高,$AE$是$∠ CAB$的平分线,则$∠ AEB$的度数是.

$\boldsymbol{100°}$

【分析】
要计算∠AEB的度数，可先求出△AEB中另外两个内角∠B和∠EAB的度数：
1. 先利用CD是AB边上的高得到∠CDB=90°，结合∠BCD=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠B的度数；
2. 再在△ABC中，利用三角形内角和为180°，结合已知的∠ACB和已求的∠B，算出∠CAB的度数；
3. 接着根据AE是∠CAB的平分线，求出∠EAB的度数；
4. 最后在△AEB中，再次利用三角形内角和定理即可求出∠AEB的度数。
【解析】
解：
∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB=90°，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，
∴∠B=90°-∠BCD=90°-30°=60°，
在△ABC中，∠ACB=80°，∠B=60°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-80°-60°=40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB=$\frac{1}{2}$∠CAB=$\frac{1}{2}$×40°=20°，
在△AEB中，
∠AEB=180°-∠EAB-∠B=180°-20°-60°=100°。
【答案】
$\boldsymbol{100°}$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础综合题，解题的核心是结合已知条件逐层推导未知角的度数，熟练掌握三角形相关性质是解题的前提。
【难度系数】
0.7

12. (★★) 如图, 在△ABC中, ∠ABD = 24°, ∠A=45°, ∠ACE=12°.
(1)求∠BFC的度数；
(2)若∠ABC = 90°, 求证: ∠BCF = $\frac{1}{2}$∠CBF.

解：(1) 在△ABD中，∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 45° + 24° = 69°。
∵ ∠BFC是△DFC的外角，
∴ ∠BFC = ∠BDC + ∠ACE = 69° + 12° = 81°。
(2) 证明：∵ ∠ABC = 90°，∠ABD = 24°，
∴ ∠CBF = ∠ABC - ∠ABD = 90° - 24° = 66°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 45° - 90° = 45°，
∵ ∠ACE = 12°，
∴ ∠BCF = ∠ACB - ∠ACE = 45° - 12° = 33°，
∴ ∠BCF = $\frac{1}{2}$∠CBF。

【分析】
(1) 求∠BFC的度数可利用三角形外角性质分步计算：首先∠BDC是△ABD的外角，根据“三角形外角等于不相邻两个内角的和”，结合已知的∠A、∠ABD先算出∠BDC；再看∠BFC是△DFC的外角，再次用外角性质，将∠BDC与∠ACE相加即可得到∠BFC的度数。
(2) 要证明∠BCF = $\frac{1}{2}$∠CBF，需先分别求出两个角的度数再验证倍数关系：先通过∠ABC与∠ABD的差算出∠CBF的度数；再利用三角形内角和为180°算出△ABC中∠ACB的度数，结合已知的∠ACE求出∠BCF的度数，最后对比两个角的度数即可完成证明。
【解析】
(1) 在△ABD中，∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质：
$∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD = 45° + 24° = 69°$
又
∵$∠ BFC$是$△ DFC$的外角，同理可得：
$∠ BFC = ∠ BDC + ∠ ACE = 69° + 12° = 81°$
(2) 证明：$\because ∠ ABC = 90°$，$∠ ABD = 24°$
$\therefore ∠ CBF = ∠ ABC - ∠ ABD = 90° - 24° = 66°$
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ ABC = 180° - 45° - 90° = 45°$
$\because ∠ ACE = 12°$
$\therefore ∠ BCF = ∠ ACB - ∠ ACE = 45° - 12° = 33°$
$\because 33° = \frac{1}{2} × 66°$
$\therefore ∠ BCF = \frac{1}{2}∠ CBF$，得证。
【答案】
(1) $∠ BFC = 81°$；
(2) 证明成立，即$∠ BCF = \frac{1}{2}∠ CBF$。
【知识点】
三角形外角性质；三角形内角和定理；角的和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题关键是准确识别外角对应的不相邻内角，理清各角之间的和差关系，熟练掌握相关定理就能快速解答。
【难度系数】
0.7

13. (★★★)如图①,把△ABC纸片沿DE折叠,点A落在四边形BCDE内部A'处.

(1)猜想∠A,∠1,∠2之间的关系,并证明.
(2)当点A落在四边形BCDE外部时(如图②),(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,请说明理由.若不成立,∠A,∠1,∠2之间又存在什么关系?并证明.

解：
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ A}$，证明如下：
由折叠的性质可得：
$∠ A'ED = ∠ AED$，$∠ A'DE = ∠ ADE$，
$\because ∠ 1 + ∠ A'ED + ∠ AED = 180°$，$∠ 2 + ∠ A'DE + ∠ ADE = 180°$，
$\therefore ∠ 1 + 2∠ AED = 180°$，$∠ 2 + 2∠ ADE = 180°$，
两式相加得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ AED + ∠ ADE) = 360°$，
在$△ AED$中，$∠ AED + ∠ ADE = 180° - ∠ A$，
代入上式得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(180° - ∠ A) = 360°$，
化简得：$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ A$。
(2) (1)中的猜想不成立，此时$∠ A, ∠ 1, ∠ 2$的关系为$\boldsymbol{∠ 2 - ∠ 1 = 2∠ A}$，证明如下：
设$A'E$与$AD$交于点$F$，
由折叠的性质可得：$∠ A' = ∠ A$，
根据三角形外角的性质：
$∠ 2 = ∠ A + ∠ AFD$，
又$\because ∠ AFD$是$△ A'EF$的外角，
$\therefore ∠ AFD = ∠ A' + ∠ 1$，
将$∠ A' = ∠ A$代入得：$∠ AFD = ∠ A + ∠ 1$，
$\therefore ∠ 2 = ∠ A + ∠ A + ∠ 1$，
整理得：$∠ 2 - ∠ 1 = 2∠ A$。

【分析】
(1) 解决第一问首先从折叠的性质入手，折叠前后对应角相等，可得∠A'ED=∠AED，∠A'DE=∠ADE。再结合平角为180°，分别写出∠1与∠AED、∠2与∠ADE的数量关系，将两个式子相加后，利用三角形内角和定理把∠AED+∠ADE替换为180°-∠A，化简即可得到三个角的关系。
(2) 解决第二问时，点A落在四边形外部，原来的平角关系不再适用，此时考虑三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。结合折叠后∠A'=∠A，通过两次外角代换即可推导出新的角度关系。
【解析】
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ A}$，证明如下：
由折叠的性质可得：$∠ A'ED = ∠ AED$，$∠ A'DE = ∠ ADE$，
$\because ∠ 1 + ∠ A'ED + ∠ AED = 180°$，$∠ 2 + ∠ A'DE + ∠ ADE = 180°$，
$\therefore ∠ 1 + 2∠ AED = 180°$，$∠ 2 + 2∠ ADE = 180°$，
两式相加得：$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ AED + ∠ ADE) = 360°$，
在$△ AED$中，根据三角形内角和定理，$∠ AED + ∠ ADE = 180° - ∠ A$，
代入上式得：$∠ 1 + ∠ 2 + 2(180° - ∠ A) = 360°$，
化简得：$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ A$。
(2) (1)中的猜想不成立，此时$∠ A, ∠ 1, ∠ 2$的关系为$\boldsymbol{∠ 2 - ∠ 1 = 2∠ A}$，证明如下：
设$A'E$与$AD$交于点$F$，
由折叠的性质可得：$∠ A' = ∠ A$，
根据三角形外角的性质：$∠ 2 = ∠ A + ∠ AFD$，
又$\because ∠ AFD$是$△ A'EF$的外角，$\therefore ∠ AFD = ∠ A' + ∠ 1$，
将$∠ A' = ∠ A$代入得：$∠ AFD = ∠ A + ∠ 1$，
$\therefore ∠ 2 = ∠ A + ∠ A + ∠ 1$，
整理得：$∠ 2 - ∠ 1 = 2∠ A$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠1+∠2=2∠A}$
(2) 不成立，$\boldsymbol{∠2-∠1=2∠A}$
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题属于折叠类角度探究问题，核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和、外角性质进行角度推导，解题时要注意落点位置不同，角度关系存在差异，需分类讨论避免出错。
【难度系数】
0.6