10.(★★)如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若$∠ A = 35°$, $∠ B = 25°$, $∠ C = 50°$,则$∠ 1$的度数为【 】

A.$60°$
B.$70°$
C.$75°$
D.$85°$

B

根据三角形外角的性质，可得∠AEB = ∠C + ∠CBE = 50° + 25° = 75°。再由三角形内角和为180°，在△ADE中，∠1 = 180° - ∠A - ∠AEB = 180° - 35° - 75° = 70°。

11. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ BCD = 30°,∠ ACB = 80°,CD$是边$AB$上的高,$AE$是$∠ CAB$的平分线,则$∠ AEB$的度数是.

$\boldsymbol{100°}$

解：
∵ ∠ACB = 80°，∠BCD = 30°
∴ ∠ACD = ∠ACB - ∠BCD = 80° - 30° = 50°
∵ CD是边AB上的高
∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°
在Rt△ACD中，∠CAB = 90° - ∠ACD = 90° - 50° = 40°
在Rt△BCD中，∠B = 90° - ∠BCD = 90° - 30° = 60°
∵ AE是∠CAB的平分线
∴ ∠EAB = $\frac{1}{2}$∠CAB = $\frac{1}{2}$×40° = 20°
在△AEB中，∠AEB = 180° - ∠EAB - ∠B = 180° - 20° - 60° = 100°
最终

12. (★★) 如图, 在△ABC中, ∠ABD = 24°, ∠A=45°, ∠ACE=12°.
(1)求∠BFC的度数；
(2)若∠ABC = 90°, 求证: ∠BCF = $\frac{1}{2}$∠CBF.

解：(1) 在△ABD中，∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 45° + 24° = 69°。
∵ ∠BFC是△DFC的外角，
∴ ∠BFC = ∠BDC + ∠ACE = 69° + 12° = 81°。
(2) 证明：∵ ∠ABC = 90°，∠ABD = 24°，
∴ ∠CBF = ∠ABC - ∠ABD = 90° - 24° = 66°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°得：
∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 45° - 90° = 45°，
∵ ∠ACE = 12°，
∴ ∠BCF = ∠ACB - ∠ACE = 45° - 12° = 33°，
∴ ∠BCF = $\frac{1}{2}$∠CBF。

13. (★★★)如图①,把△ABC纸片沿DE折叠,点A落在四边形BCDE内部A'处.

(1)猜想∠A,∠1,∠2之间的关系,并证明.
(2)当点A落在四边形BCDE外部时(如图②),(1)中的猜想是否仍然成立?若成立,请说明理由.若不成立,∠A,∠1,∠2之间又存在什么关系?并证明.

解：
(1) 猜想：$\boldsymbol{∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ A}$，证明如下：
由折叠的性质可得：
$∠ A'ED = ∠ AED$，$∠ A'DE = ∠ ADE$，
$\because ∠ 1 + ∠ A'ED + ∠ AED = 180°$，$∠ 2 + ∠ A'DE + ∠ ADE = 180°$，
$\therefore ∠ 1 + 2∠ AED = 180°$，$∠ 2 + 2∠ ADE = 180°$，
两式相加得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ AED + ∠ ADE) = 360°$，
在$△ AED$中，$∠ AED + ∠ ADE = 180° - ∠ A$，
代入上式得：
$∠ 1 + ∠ 2 + 2(180° - ∠ A) = 360°$，
化简得：$∠ 1 + ∠ 2 = 2∠ A$。
(2) (1)中的猜想不成立，此时$∠ A, ∠ 1, ∠ 2$的关系为$\boldsymbol{∠ 2 - ∠ 1 = 2∠ A}$，证明如下：
设$A'E$与$AD$交于点$F$，
由折叠的性质可得：$∠ A' = ∠ A$，
根据三角形外角的性质：
$∠ 2 = ∠ A + ∠ AFD$，
又$\because ∠ AFD$是$△ A'EF$的外角，
$\therefore ∠ AFD = ∠ A' + ∠ 1$，
将$∠ A' = ∠ A$代入得：$∠ AFD = ∠ A + ∠ 1$，
$\therefore ∠ 2 = ∠ A + ∠ A + ∠ 1$，
整理得：$∠ 2 - ∠ 1 = 2∠ A$。