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1. (★)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=40°$，则$∠ A$的度数是
【 】
A.$50°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$40°$
【 】
A.$50°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$40°$
答案
A
解析
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°。在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=40°，因此∠A=180°-∠C-∠B=180°-90°-40°=50°。
2. (★)(1)直角三角形的两个锐角；
(2)有两个角的三角形是直角三角形。
(2)有两个角的三角形是直角三角形。
答案
解：(1) 互余
(2) 互余
(2) 互余
3. (★)如图，$∠ ACB = 90°$, $CD ⊥ AB$,垂足为D,则下列结论错误的是 【 】
A.$∠ A = ∠ 2$
B.$∠ 1$和$∠ B$都是$∠ A$的余角
C.$∠ 1 = ∠ 2$
D.图中有3个直角三角形
A.$∠ A = ∠ 2$
B.$∠ 1$和$∠ B$都是$∠ A$的余角
C.$∠ 1 = ∠ 2$
D.图中有3个直角三角形
答案
C
解析
已知∠ACB=90°，CD⊥AB，可得∠ADC=∠BDC=90°。
1. 验证A选项：由∠2+∠B=90°，∠A+∠B=90°，根据同角的余角相等，得∠A=∠2，该结论正确。
2. 验证B选项：由∠1+∠A=90°，∠B+∠A=90°，可知∠1和∠B都是∠A的余角，该结论正确。
3. 验证C选项：仅当△ABC为等腰直角三角形时∠1=∠2，一般情况下该等式不成立，该结论错误。
4. 验证D选项：图中的直角三角形为△ABC、△ACD、△BCD，共3个，该结论正确。
1. 验证A选项：由∠2+∠B=90°，∠A+∠B=90°，根据同角的余角相等，得∠A=∠2，该结论正确。
2. 验证B选项：由∠1+∠A=90°，∠B+∠A=90°，可知∠1和∠B都是∠A的余角，该结论正确。
3. 验证C选项：仅当△ABC为等腰直角三角形时∠1=∠2，一般情况下该等式不成立，该结论错误。
4. 验证D选项：图中的直角三角形为△ABC、△ACD、△BCD，共3个，该结论正确。
4. (★)如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°$,$∠ DAB = 40°$,$∠ C = 20°$,则$∠ CAD$的度数为.
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
解：在△ABC中，
∵ ∠B=90°，∠C=20°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-90°-20°=70°，
又∵ ∠DAB=40°，
∴ ∠CAD=∠BAC-∠DAB=70°-40°=30°。
最终
∵ ∠B=90°，∠C=20°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-90°-20°=70°，
又∵ ∠DAB=40°，
∴ ∠CAD=∠BAC-∠DAB=70°-40°=30°。
最终
5. (★)在△ABC中,三个内角度数之比为2:3:5,则△ABC的形状是 【 】
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
答案
D
解析
设△ABC的三个内角度数分别为2x、3x、5x，根据三角形内角和定理，得2x+3x+5x=180°，解得x=18°，因此最大内角为5×18°=90°，所以△ABC是直角三角形。
6. (★)将一副三角板按如图所示方式摆放，则∠BGE的度数为【】
A.65°
B.75°
C.85°
D.105°
A.65°
B.75°
C.85°
D.105°
答案
B
解析
1. 根据三角板的固有角度特征，可得∠F=30°，∠B=90°，∠E=45°，∠D=90°。
2. 在Rt△ABF中，由三角形内角和定理得∠FAB=180°-∠F-∠B=60°。
3. 在Rt△CDE中，由三角形内角和定理得∠ECD=180°-∠E-∠D=45°。
4. 由三角形外角性质，∠BAC=180°-∠FAB=120°，在△AGC中，∠AGC=180°-∠BAC-∠ACG=180°-120°-45°=15°。
5. 再根据三角形外角性质，∠BGE=∠E + ∠AGE=45°+(180°-120°)=75°，最终得∠BGE=75°。
2. 在Rt△ABF中，由三角形内角和定理得∠FAB=180°-∠F-∠B=60°。
3. 在Rt△CDE中，由三角形内角和定理得∠ECD=180°-∠E-∠D=45°。
4. 由三角形外角性质，∠BAC=180°-∠FAB=120°，在△AGC中，∠AGC=180°-∠BAC-∠ACG=180°-120°-45°=15°。
5. 再根据三角形外角性质，∠BGE=∠E + ∠AGE=45°+(180°-120°)=75°，最终得∠BGE=75°。
7. (★★)如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°$, $BF$ 平分 $∠ ABC$, $∠ AEF = ∠ AFE$. 求证: $△ ACD$ 是直角三角形.
答案
证明：
∵ BF 平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBF。
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 在△ABF中，∠ABF + ∠AFE = 180° - ∠BAC = 90°。
∵ ∠AEF = ∠AFE，∠AEF = ∠BED（对顶角相等），
∴ ∠BED = ∠AFE。
∴ ∠CBF + ∠BED = ∠ABF + ∠AFE = 90°。
∴ 在△BDE中，∠ADB = 180° - (∠CBF + ∠BED) = 90°，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ △ACD 是直角三角形。
∵ BF 平分∠ABC，
∴ ∠ABF = ∠CBF。
∵ ∠BAC = 90°，
∴ 在△ABF中，∠ABF + ∠AFE = 180° - ∠BAC = 90°。
∵ ∠AEF = ∠AFE，∠AEF = ∠BED（对顶角相等），
∴ ∠BED = ∠AFE。
∴ ∠CBF + ∠BED = ∠ABF + ∠AFE = 90°。
∴ 在△BDE中，∠ADB = 180° - (∠CBF + ∠BED) = 90°，
∴ ∠ADC = 90°，
∴ △ACD 是直角三角形。
8. (★)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B=10°$，则$∠ A$的度数为 【 】
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$
答案
A
解析
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，由三角形内角和定理可得$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C = 90°$。已知$∠ A - ∠ B = 10°$，将两式相加得$2∠ A=100°$，解得$∠ A=50°$。
