4.（★★）先化简，再求值：$( \frac{2}{x-1} - \frac{1}{x^2 - 2x + 1} ) ÷ \frac{2x - 3}{x - 1}$，其中$x=6$。

解：
原式$=[\frac{2}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}] ÷ \frac{2x-3}{x-1}$
$=[\frac{2(x-1)}{(x-1)^2} - \frac{1}{(x-1)^2}] · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{2x-2-1}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{2x-3}{(x-1)^2} · \frac{x-1}{2x-3}$
$=\frac{1}{x-1}$
当$x=6$时，
原式$=\frac{1}{6-1}=\frac{1}{5}$

5. (★★)解方程：
(1)$\frac{2-x}{x-3}+\frac{1}{3-x}=1$；
(2)$\frac{2}{m+5}+\frac{1}{$$}=\frac{10}{m^2-25}$。

解：
(1) 方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，得：
$2-x-1=x-3$
移项、合并同类项得：
$-2x=-4$
解得：
$x=2$
检验：当$x=2$时，$x-3=-1≠0$。
所以$x=2$是原分式方程的解。
(2) 由平方差公式得$m^2-25=(m+5)(m-5)$，方程两边同乘最简公分母$(m+5)(m-5)$，得：
$2(m-5)+(m+5)=10$
去括号得：
$2m-10+m+5=10$
合并同类项得：
$3m=15$
解得：
$m=5$
检验：当$m=5$时，$(m+5)(m-5)=0$，所以$m=5$是原方程的增根。
因此原分式方程无解。

6. (★★)随着科技的发展,人工智能使生产生活更加便捷高效.某科技公司生产了一批新型搬运机器人,打出了如下的宣传.根据该宣传,求新型机器人每天搬运的货物量.

解：设新型机器人每天搬运的货物量为$x$ t，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为$(x-20)$ t。
根据题意列方程：
$\frac{960}{x}=\frac{720}{x-20}$
交叉相乘得：
$960(x-20)=720x$
展开并整理：
$960x - 19200 = 720x$
$240x = 19200$
解得：
$x=80$
检验：当$x=80$时，$x(x-20)≠0$，$x=80$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：新型机器人每天搬运的货物量为80 t。

7. (★)有下列各式：$\frac{1}{x}$，$\frac{x}{3}$，$\frac{4}{3b^2 +5}$，$\frac{5}{π}$，$-\frac{7xy}{x^2}$，其中分式有【 】

A.5个
B.4个
C.3个
D.2个

C

根据分式的定义：若式子$\frac{A}{B}$中A、B为整式，且B中含有字母、B≠0，则该式子为分式，逐一判断各式：
1. $\frac{1}{x}$：分母含字母x，是分式；
2. $\frac{x}{3}$：分母为常数3，属于整式，不是分式；
3. $\frac{4}{3b^2+5}$：分母含字母b，是分式；
4. $\frac{5}{π}$：$π$是常数，分母不含字母，属于整式，不是分式；
5. $-\frac{7xy}{x^2}$：分母含字母x，是分式。
综上，分式共有3个。

8. (★)下列分式不是最简分式的是【 】

A.$\frac{x^2}{y^2}$
B.$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$
C.$\frac{a+2}{a+1}$
D.$\frac{2x+y}{2xy+y^2}$

D

根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式为最简分式）逐一判断：
1. 选项A：$\frac{x^2}{y^2}$的分子、分母无公因式，是最简分式；
2. 选项B：$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$的分子无法因式分解，分母因式分解为$(x+y)(x-y)$，分子分母无公因式，是最简分式；
3. 选项C：$\frac{a+2}{a+1}$的分子、分母无公因式，是最简分式；
4. 选项D：将分母因式分解得$2xy+y^2=y(2x+y)$，分式可改写为$\frac{2x+y}{y(2x+y)}$，分子分母存在公因式$2x+y$，可以约去，不是最简分式。

9. (★)若$m,n$的值均扩大为原来的10倍,则下列分式的值不变的是 【】

A.$\dfrac{n+1}{m}$
B.$\dfrac{n-m}{m}$
C.$\dfrac{m+n}{2}$
D.$\dfrac{n-m}{m^2}$

B

将m、n均替换为10m、10n，逐一验证各选项：
1. 选项A：替换后得$\frac{10n+1}{10m}$，与原分式$\frac{n+1}{m}$不相等，值改变；
2. 选项B：替换后得$\frac{10n-10m}{10m}=\frac{10(n-m)}{10m}=\frac{n-m}{m}$，与原分式相等，值不变；
3. 选项C：替换后得$\frac{10m+10n}{2}=10·\frac{m+n}{2}$，是原分式的10倍，值改变；
4. 选项D：替换后得$\frac{10n-10m}{(10m)^2}=\frac{10(n-m)}{100m^2}=\frac{1}{10}·\frac{n-m}{m^2}$，是原分式的$\frac{1}{10}$，值改变。
综上，值不变的是选项B。

10. (★★)已知x为整数，且$\frac{2}{x+4}+\frac{2}{4-x}+\frac{2x+24}{x^2-16}$为整数，则所有符合条件的x的值的积为。

$\boldsymbol{180}$

解：
先对原式化简：
$\begin{aligned}\frac{2}{x+4}+\frac{2}{4-x}+\frac{2x+24}{x^2-16}&=\frac{2}{x+4}-\frac{2}{x-4}+\frac{2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2(x-4)-2(x+4)+2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2x-8-2x-8+2x+24}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2x+8}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2(x+4)}{(x+4)(x-4)}\\&=\frac{2}{x-4}\end{aligned}$
由分式有意义的条件可知：$x+4≠0$，$4-x≠0$，$x^2-16≠0$，即$x≠\pm4$。
因为x为整数，且$\frac{2}{x-4}$为整数，所以$x-4$是2的整数因数，即：
$x-4=\pm1$或$x-4=\pm2$
解得：$x=5$，$x=3$，$x=6$，$x=2$，均满足$x≠\pm4$。
所有符合条件的x的值的积为$2×3×5×6=180$。

11. ( ★ ★ ) 先化简，再求值：
$( \dfrac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \dfrac{a}{a-2} ) ÷ \dfrac{a^2 +2a}{a-2}$，且$a$的值满足$a^2 +2a -8=0.$

解：
先化简原式：
$\begin{aligned}&( \frac{a^2 -4}{a^2 -4a +4} - \frac{a}{a-2} ) ÷ \frac{a^2 +2a}{a-2}\\=&[ \frac{(a+2)(a-2)}{(a-2)^2} - \frac{a}{a-2} ] · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&( \frac{a+2}{a-2} - \frac{a}{a-2} ) · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{a+2 -a}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{2}{a-2} · \frac{a-2}{a(a+2)}\\=&\frac{2}{a^2 + 2a}\end{aligned}$
由$a^2 + 2a -8=0$，移项得$a^2 + 2a =8$。
根据分式有意义的条件，$a≠2$、$a≠0$、$a≠-2$，解方程$a^2+2a-8=0$得根为$a=2$和$a=-4$，舍去使分母为0的$a=2$，$a=-4$符合要求。
将$a^2+2a=8$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$