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1. (★)填空:
(1) $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} =$ ;
(2) $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} =$ ;
(3) $\frac{3c}{2ab} = \frac{(\quad)}{10a^2b}$;
(4) $\frac{x^3 - xy^2}{(x - y)^2} = \frac{(\quad)}{x - y}$.
(1) $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} =$ ;
(2) $\frac{2}{3} + \frac{1}{2} =$ ;
(3) $\frac{3c}{2ab} = \frac{(\quad)}{10a^2b}$;
(4) $\frac{x^3 - xy^2}{(x - y)^2} = \frac{(\quad)}{x - y}$.
答案
解：
(1) $\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3-1}{5}=\frac{2}{5}$；
(2) $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}$；
(3) 等式右边的分母$10a^2b$是将左边分母$2ab$乘$5a$得到的，根据分式的基本性质，分子也要乘$5a$，即$3c·5a=15ac$；
(4) 对分子因式分解：$x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x+y)(x-y)$，
因此$\frac{x^3-xy^2}{(x-y)^2}=\frac{x(x+y)(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{x^2+xy}{x-y}$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{\frac{2}{5}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{7}{6}}$；(3) $\boldsymbol{15ac}$；(4) $\boldsymbol{x^2+xy}$。
(1) $\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3-1}{5}=\frac{2}{5}$；
(2) $\frac{2}{3}+\frac{1}{2}=\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=\frac{7}{6}$；
(3) 等式右边的分母$10a^2b$是将左边分母$2ab$乘$5a$得到的，根据分式的基本性质，分子也要乘$5a$，即$3c·5a=15ac$；
(4) 对分子因式分解：$x^3-xy^2=x(x^2-y^2)=x(x+y)(x-y)$，
因此$\frac{x^3-xy^2}{(x-y)^2}=\frac{x(x+y)(x-y)}{(x-y)^2}=\frac{x^2+xy}{x-y}$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{\frac{2}{5}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{7}{6}}$；(3) $\boldsymbol{15ac}$；(4) $\boldsymbol{x^2+xy}$。
2. (★)分式$\frac{1}{x^2 -4}$与$\frac{x}{4 -2x}$的最简公分母是，通分的结果为。
答案
最简公分母是$\boldsymbol{2(x+2)(x-2)}$，通分的结果为$\boldsymbol{\frac{2}{2(x+2)(x-2)}、\frac{-x^2-2x}{2(x+2)(x-2)}}$。
解析
解：
对两个分式的分母分别因式分解：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，
$4 - 2x = -2(x-2)$，
因此两个分式的最简公分母是$2(x+2)(x-2)$。
通分：
$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1 × 2}{2(x+2)(x-2)} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，
$\frac{x}{4-2x} = \frac{x · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = \frac{-x^2 - 2x}{2(x+2)(x-2)}$。
最终
对两个分式的分母分别因式分解：
$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，
$4 - 2x = -2(x-2)$，
因此两个分式的最简公分母是$2(x+2)(x-2)$。
通分：
$\frac{1}{x^2-4} = \frac{1 × 2}{2(x+2)(x-2)} = \frac{2}{2(x+2)(x-2)}$，
$\frac{x}{4-2x} = \frac{x · (x+2)}{-2(x-2) · (x+2)} = \frac{-x^2 - 2x}{2(x+2)(x-2)}$。
最终
3. (★)填空：
(1)同分母分式加减法法则：. 用式子表示为$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=$.
(2)异分母分式加减法法则：. 用式子表示为$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=$.
(1)同分母分式加减法法则：. 用式子表示为$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=$.
(2)异分母分式加减法法则：. 用式子表示为$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=$.
答案
解：
(1) 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；$\boldsymbol{\frac{a\pm b}{c}}$
(2) 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；$\boldsymbol{\frac{ad\pm bc}{bd}}$
(1) 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；$\boldsymbol{\frac{a\pm b}{c}}$
(2) 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；$\boldsymbol{\frac{ad\pm bc}{bd}}$
4. (★)填空：
(1) $\frac{a}{a-5} - \frac{5}{a-5} =$ ；
(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ 。
(1) $\frac{a}{a-5} - \frac{5}{a-5} =$ ；
(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$ 。
答案
解：
(1) $\frac{a}{a-5} - \frac{5}{a-5} = \frac{a-5}{a-5} = 1$
(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$
(1) $\frac{a}{a-5} - \frac{5}{a-5} = \frac{a-5}{a-5} = 1$
(2) $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{a}{ab} = \frac{a+b}{ab}$
5. (★)计算$\frac{2a}{a-2}+\frac{4}{2-a}$的结果是 【 】
A.2
B.-2
C.$\frac{2a+4}{a-2}$
D.$\frac{2a+4}{2-a}$
A.2
B.-2
C.$\frac{2a+4}{a-2}$
D.$\frac{2a+4}{2-a}$
答案
A
解析
先将$\frac{4}{2-a}$变形为$-\frac{4}{a-2}$，原式化为同分母分式运算：$\frac{2a}{a-2}-\frac{4}{a-2}$，根据同分母分式减法法则，分母不变、分子相减得$\frac{2a-4}{a-2}$，对分子因式分解得$\frac{2(a-2)}{a-2}$，约分后结果为2。
6. (★)化简$\frac{2x}{x^2 -4} - \frac{1}{x+2}$的结果是 【 】
A.$x-2$
B.$\frac{1}{x-2}$
C.$\frac{1}{x+2}$
D.$x+2$
A.$x-2$
B.$\frac{1}{x-2}$
C.$\frac{1}{x+2}$
D.$x+2$
答案
B
解析
先利用平方差公式因式分解分母：$x^2-4=(x+2)(x-2)$，将分式通分，原式变形为$\frac{2x}{(x+2)(x-2)} - \frac{x-2}{(x+2)(x-2)}$，计算分子得$\frac{2x-(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{x+2}{(x+2)(x-2)}$，约去公因式$x+2$，最终化简结果为$\frac{1}{x-2}$。
7. (★★)甲、乙两地相距n km，提速前，火车从甲地到乙地要用t h(t＞1)，提速后，两地间的行车时间减少了1 h，则提速后火车的速度比提速前快了km/h.
答案
$\boldsymbol{\frac{n}{t(t-1)}}$（或$\frac{n}{t^2 - t}$）
解析
解：
提速前火车的速度为 $\frac{n}{t}\ \mathrm{km/h}$，
提速后火车的行驶时间为 $(t-1)\ \mathrm{h}$，则提速后火车的速度为 $\frac{n}{t-1}\ \mathrm{km/h}$。
提速后火车的速度比提速前快的数值为：
$\begin{aligned}\frac{n}{t-1} - \frac{n}{t} &= \frac{nt - n(t-1)}{t(t-1)} \\&= \frac{nt - nt + n}{t(t-1)} \\&= \frac{n}{t(t-1)} = \frac{n}{t^2 - t}\end{aligned}$
最终
提速前火车的速度为 $\frac{n}{t}\ \mathrm{km/h}$，
提速后火车的行驶时间为 $(t-1)\ \mathrm{h}$，则提速后火车的速度为 $\frac{n}{t-1}\ \mathrm{km/h}$。
提速后火车的速度比提速前快的数值为：
$\begin{aligned}\frac{n}{t-1} - \frac{n}{t} &= \frac{nt - n(t-1)}{t(t-1)} \\&= \frac{nt - nt + n}{t(t-1)} \\&= \frac{n}{t(t-1)} = \frac{n}{t^2 - t}\end{aligned}$
最终
8. (★★)计算:
(1)$\frac{a^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-a}$;
(2)$\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x-2}+\frac{8}{x^2-4}$;
(3)$\frac{3}{x-1}-\frac{2x}{1-x^2}-\frac{1}{x+1}$.
(1)$\frac{a^2}{a-b}+\frac{b^2}{b-a}$;
(2)$\frac{x}{x+2}-\frac{x}{x-2}+\frac{8}{x^2-4}$;
(3)$\frac{3}{x-1}-\frac{2x}{1-x^2}-\frac{1}{x+1}$.
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2}{a-b}-\frac{b^2}{a-b}\\&=\frac{a^2-b^2}{a-b}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}\\&=a+b\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}-\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{8}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x^2-2x-x^2-2x+8}{x^2-4}\\&=\frac{-4x+8}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-4(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{4}{x+2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3}{x-1}+\frac{2x}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}\\&=\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{2x}{(x-1)(x+1)}-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{3x+3+2x-x+1}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4x+4}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4}{x-1}\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a^2}{a-b}-\frac{b^2}{a-b}\\&=\frac{a^2-b^2}{a-b}\\&=\frac{(a+b)(a-b)}{a-b}\\&=a+b\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}-\frac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{8}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{x^2-2x-x^2-2x+8}{x^2-4}\\&=\frac{-4x+8}{(x+2)(x-2)}\\&=\frac{-4(x-2)}{(x+2)(x-2)}\\&=-\frac{4}{x+2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{3}{x-1}+\frac{2x}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}\\&=\frac{3(x+1)}{(x-1)(x+1)}+\frac{2x}{(x-1)(x+1)}-\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{3x+3+2x-x+1}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4x+4}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\&=\frac{4}{x-1}\end{aligned}$
