登录
8. (★★)先化简,再求值:$\frac{a^2 - 3a}{a^2 + a} ÷ \frac{a - 3}{a^2 - 1} · \frac{a + 1}{a - 1}$,然后从$-1 ≤ a ≤ 3$中选一个合适的整数作为$a$的值代入求值.
答案
解：
原式$=\frac{a(a-3)}{a(a+1)} · \frac{(a+1)(a-1)}{a-3} · \frac{a+1}{a-1}$
$=a+1$
要使分式有意义，则$a(a+1)≠0$，$a-3≠0$，$a^2-1≠0$，
解得$a≠-1,0,1,3$。
在$-1≤a≤3$的整数中，符合条件的整数为$a=2$。
当$a=2$时，原式$=2+1=3$。
原式$=\frac{a(a-3)}{a(a+1)} · \frac{(a+1)(a-1)}{a-3} · \frac{a+1}{a-1}$
$=a+1$
要使分式有意义，则$a(a+1)≠0$，$a-3≠0$，$a^2-1≠0$，
解得$a≠-1,0,1,3$。
在$-1≤a≤3$的整数中，符合条件的整数为$a=2$。
当$a=2$时，原式$=2+1=3$。
9. (★★)计算：
(1)
(2)
(1)
(2)
答案
解：
(1) 先计算分式的乘方：
$(\dfrac{a^2b}{-cd^3})^3 = \dfrac{a^6b^3}{-c^3d^9} = -\dfrac{a^6b^3}{c^3d^9}$，
$(\dfrac{c}{2a})^2 = \dfrac{c^2}{4a^2}$，
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= -\dfrac{a^6b^3}{c^3d^9} · \dfrac{d^3}{2a} · \dfrac{c^2}{4a^2}\\&= -\dfrac{a^6b^3 · d^3 · c^2}{c^3d^9 · 2a · 4a^2}\\&= -\dfrac{a^3b^3}{8cd^6}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解，计算分式乘方：
$\dfrac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2} = \dfrac{(x+y)(x-y)}{(x+y)^2}$，
$(\dfrac{x+y}{x-y})^2 = \dfrac{(x+y)^2}{(x-y)^2}$，
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \dfrac{(x+y)(x-y)}{(x+y)^2} · \dfrac{(x+y)^2}{(x-y)^2} · \dfrac{x}{x+y}\\&= \dfrac{x}{x-y}\end{aligned}$
(1) 先计算分式的乘方：
$(\dfrac{a^2b}{-cd^3})^3 = \dfrac{a^6b^3}{-c^3d^9} = -\dfrac{a^6b^3}{c^3d^9}$，
$(\dfrac{c}{2a})^2 = \dfrac{c^2}{4a^2}$，
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= -\dfrac{a^6b^3}{c^3d^9} · \dfrac{d^3}{2a} · \dfrac{c^2}{4a^2}\\&= -\dfrac{a^6b^3 · d^3 · c^2}{c^3d^9 · 2a · 4a^2}\\&= -\dfrac{a^3b^3}{8cd^6}\end{aligned}$
(2) 先对多项式因式分解，计算分式乘方：
$\dfrac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2} = \dfrac{(x+y)(x-y)}{(x+y)^2}$，
$(\dfrac{x+y}{x-y})^2 = \dfrac{(x+y)^2}{(x-y)^2}$，
将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&= \dfrac{(x+y)(x-y)}{(x+y)^2} · \dfrac{(x+y)^2}{(x-y)^2} · \dfrac{x}{x+y}\\&= \dfrac{x}{x-y}\end{aligned}$
10. (★★) 先化简, 再求值: $(\dfrac{a+b}{2ab^2})^3 ÷ (\dfrac{a^2 - b^2}{ab^3})^2 ÷ [\dfrac{1}{2(a - b)}]^2$, 其中 $a = -\dfrac{1}{2}, b = \dfrac{2}{3}$.
答案
解：
先对原式各部分进行乘方运算，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a+b)^3}{(2ab^2)^3} ÷ \frac{(a^2-b^2)^2}{(ab^3)^2} ÷ \frac{1}{[2(a-b)]^2}\\&=\frac{(a+b)^3}{8a^3b^6} · \frac{a^2b^6}{(a^2-b^2)^2} · 4(a-b)^2\\&=\frac{(a+b)^3}{8a^3b^6} · \frac{a^2b^6}{(a+b)^2(a-b)^2} · 4(a-b)^2\\&=\frac{(a+b)^3 · a^2b^6 · 4(a-b)^2}{8a^3b^6 · (a+b)^2(a-b)^2}\\&=\frac{a+b}{2a}\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{2}{3}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{-\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{2×(-\frac{1}{2})}\\&=\frac{\frac{1}{6}}{-1}\\&=-\frac{1}{6}\end{aligned}$
先对原式各部分进行乘方运算，再将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a+b)^3}{(2ab^2)^3} ÷ \frac{(a^2-b^2)^2}{(ab^3)^2} ÷ \frac{1}{[2(a-b)]^2}\\&=\frac{(a+b)^3}{8a^3b^6} · \frac{a^2b^6}{(a^2-b^2)^2} · 4(a-b)^2\\&=\frac{(a+b)^3}{8a^3b^6} · \frac{a^2b^6}{(a+b)^2(a-b)^2} · 4(a-b)^2\\&=\frac{(a+b)^3 · a^2b^6 · 4(a-b)^2}{8a^3b^6 · (a+b)^2(a-b)^2}\\&=\frac{a+b}{2a}\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{2}{3}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{-\frac{1}{2} + \frac{2}{3}}{2×(-\frac{1}{2})}\\&=\frac{\frac{1}{6}}{-1}\\&=-\frac{1}{6}\end{aligned}$
11. (★★★)在解答题目“已知$x=2026$，求$\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} ÷ \dfrac{x^2 + 2x}{2x^3} · (\dfrac{1}{x})^2$的值”时，小明将“$x=2026$”看成了“$x=2028$”，但算出的结果仍然正确。请你尝试解释原因。
答案
解：
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2-4}{x-2} · \frac{2x^3}{x^2+2x} · (\frac{1}{x})^2\\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} · \frac{2x^3}{x(x+2)} · \frac{1}{x^2}\\&=(x+2) · \frac{2x^3}{x(x+2)} · \frac{1}{x^2}\\&=2x^2 · \frac{1}{x^2}\\&=2\end{aligned}$
化简后原式的结果为常数2，只要原式有意义（即$x≠0$且$x≠2$），结果就和$x$的取值无关，因此无论$x$取2026还是2028，计算结果都为2，小明算出的结果仍然正确。
先对原式进行化简：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{x^2-4}{x-2} · \frac{2x^3}{x^2+2x} · (\frac{1}{x})^2\\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x-2} · \frac{2x^3}{x(x+2)} · \frac{1}{x^2}\\&=(x+2) · \frac{2x^3}{x(x+2)} · \frac{1}{x^2}\\&=2x^2 · \frac{1}{x^2}\\&=2\end{aligned}$
化简后原式的结果为常数2，只要原式有意义（即$x≠0$且$x≠2$），结果就和$x$的取值无关，因此无论$x$取2026还是2028，计算结果都为2，小明算出的结果仍然正确。
