登录
1. (★)写出下列多项式的公因式：
(1)$2x - 2xy^2$
(2)$3a^2 - 6a^2b + 2ab$
(3)$3x^2(a - b)^2 + 6y(b - a)$
(4)$(a + b)^2 + (a + b)(a - 3b)$
(1)$2x - 2xy^2$
(2)$3a^2 - 6a^2b + 2ab$
(3)$3x^2(a - b)^2 + 6y(b - a)$
(4)$(a + b)^2 + (a + b)(a - 3b)$
答案
解：
(1) 公因式为$2x$
(2) 公因式为$a$
(3) 公因式为$3(a-b)$
(4) 公因式为$a+b$
(1) 公因式为$2x$
(2) 公因式为$a$
(3) 公因式为$3(a-b)$
(4) 公因式为$a+b$
解析
【分析】
找多项式的公因式可遵循固定三步思路：①先确定各项系数的最大公约数（系数为整数时）；②再找各项都含有的相同字母或相同因式，取该字母/因式的最低次幂；③若存在互为相反数的因式，可先统一形式（如$b-a=-(a-b)$）再找共同因式，按这个思路逐一分析每一问即可。
【解析】
按照“定系数、定公共因式、定最低次数”的步骤求解：
(1) 多项式$2x-2xy^2$的两项系数最大公约数为2，两项都含有的字母是$x$，$x$的最低次数为1，$y$仅第二项含有，因此公因式为$2x$；
(2) 多项式$3a^2-6a^2b+2ab$的三项系数3、-6、2的最大公约数为1，三项都含有的字母只有$a$，$a$的最低次数为1，$b$不是三项都有，因此公因式为$a$；
(3) 先将$6y(b-a)$变形为$-6y(a-b)$，两项系数3和6的最大公约数为3，两项都含有的因式为$(a-b)$，$(a-b)$的最低次数为1，$x$、$y$不是两项都有，因此公因式为$3(a-b)$；
(4) 多项式的两项都含有相同因式$(a+b)$，$(a+b)$的最低次数为1，因此公因式为$a+b$。
【答案】
(1)$2x$；(2)$a$；(3)$3(a-b)$；(4)$a+b$
【知识点】
公因式的确定，互为相反数的因式变形
【点评】
本题是公因式判断的基础题型，核心是掌握找公因式的三个步骤，遇到互为相反数的因式时要先统一形式再判断，避免错漏。
【难度系数】
0.9
找多项式的公因式可遵循固定三步思路：①先确定各项系数的最大公约数（系数为整数时）；②再找各项都含有的相同字母或相同因式，取该字母/因式的最低次幂；③若存在互为相反数的因式，可先统一形式（如$b-a=-(a-b)$）再找共同因式，按这个思路逐一分析每一问即可。
【解析】
按照“定系数、定公共因式、定最低次数”的步骤求解：
(1) 多项式$2x-2xy^2$的两项系数最大公约数为2，两项都含有的字母是$x$，$x$的最低次数为1，$y$仅第二项含有，因此公因式为$2x$；
(2) 多项式$3a^2-6a^2b+2ab$的三项系数3、-6、2的最大公约数为1，三项都含有的字母只有$a$，$a$的最低次数为1，$b$不是三项都有，因此公因式为$a$；
(3) 先将$6y(b-a)$变形为$-6y(a-b)$，两项系数3和6的最大公约数为3，两项都含有的因式为$(a-b)$，$(a-b)$的最低次数为1，$x$、$y$不是两项都有，因此公因式为$3(a-b)$；
(4) 多项式的两项都含有相同因式$(a+b)$，$(a+b)$的最低次数为1，因此公因式为$a+b$。
【答案】
(1)$2x$；(2)$a$；(3)$3(a-b)$；(4)$a+b$
【知识点】
公因式的确定，互为相反数的因式变形
【点评】
本题是公因式判断的基础题型，核心是掌握找公因式的三个步骤，遇到互为相反数的因式时要先统一形式再判断，避免错漏。
【难度系数】
0.9
2. (★)多项式$3a^2b^2 -15a^3b^3 -12a^2b^2c$的公因式是
【 】
A.$3a^2b^2$
B.$-15a^3b^3$
C.$3a^2b^2c$
D.$-12a^2b^2c$
【 】
A.$3a^2b^2$
B.$-15a^3b^3$
C.$3a^2b^2c$
D.$-12a^2b^2c$
答案
A
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：首先回忆公因式的定义，公因式是多项式各项都共同包含的因式，确定时分三步：①找各项系数绝对值的最大公约数；②找所有项都共同含有的字母；③取相同字母的最低次幂，三者相乘就是所求公因式。接下来我们对照多项式的三项逐一分析即可。
【解析】
多项式的三项分别为$3a^2b^2$、$-15a^3b^3$、$-12a^2b^2c$：
1. 确定系数部分：各项系数的绝对值为3、15、12，三者的最大公约数是3；
2. 确定共同字母：前两项不含字母c，因此只有a、b是三项都共有的字母；
3. 确定字母的最低次幂：a在三项中的次数分别为2、3、2，最低次是2；b在三项中的次数分别为2、3、2，最低次是2。
将三部分组合，可得公因式为$3a^2b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，解题关键是熟练掌握公因式的确定步骤，注意只有所有项都包含的字母才能纳入公因式，避免把仅部分项含有的字母错算进去。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：首先回忆公因式的定义，公因式是多项式各项都共同包含的因式，确定时分三步：①找各项系数绝对值的最大公约数；②找所有项都共同含有的字母；③取相同字母的最低次幂，三者相乘就是所求公因式。接下来我们对照多项式的三项逐一分析即可。
【解析】
多项式的三项分别为$3a^2b^2$、$-15a^3b^3$、$-12a^2b^2c$：
1. 确定系数部分：各项系数的绝对值为3、15、12，三者的最大公约数是3；
2. 确定共同字母：前两项不含字母c，因此只有a、b是三项都共有的字母；
3. 确定字母的最低次幂：a在三项中的次数分别为2、3、2，最低次是2；b在三项中的次数分别为2、3、2，最低次是2。
将三部分组合，可得公因式为$3a^2b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是公因式确定的基础题型，解题关键是熟练掌握公因式的确定步骤，注意只有所有项都包含的字母才能纳入公因式，避免把仅部分项含有的字母错算进去。
【难度系数】
0.9
3. (★)把多项式$-7ab -14abx +49aby$分解因式,提公因式$-7ab$后,另一个因式是【 】
A.$1+2x-7y$
B.$1-2x-7y$
C.$-1+2x+2y$
D.$-1-2x+7y$
A.$1+2x-7y$
B.$1-2x-7y$
C.$-1+2x+2y$
D.$-1-2x+7y$
答案
A
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先明确提公因式后，另一个因式等于原多项式除以公因式所得的商；计算时要分别用原多项式的每一项除以公因式，重点注意公因式带负号时，每一项的符号都要发生改变，同时不能漏除常数项。
【解析】
要确定提公因式$-7ab$后的另一个因式，只需将原多项式的每一项分别除以$-7ab$，再将所得的商相加即可：
1. 第一项：$-7ab ÷ (-7ab) = 1$
2. 第二项：$-14abx ÷ (-7ab) = 2x$
3. 第三项：$49aby ÷ (-7ab) = -7y$
将三个商相加可得另一个因式为$1+2x-7y$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；单项式除法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式时的符号处理和运算准确性，做题时需注意公因式为负时，原多项式每一项都要变号，同时要避免漏除原多项式的常数类项。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：首先明确提公因式后，另一个因式等于原多项式除以公因式所得的商；计算时要分别用原多项式的每一项除以公因式，重点注意公因式带负号时，每一项的符号都要发生改变，同时不能漏除常数项。
【解析】
要确定提公因式$-7ab$后的另一个因式，只需将原多项式的每一项分别除以$-7ab$，再将所得的商相加即可：
1. 第一项：$-7ab ÷ (-7ab) = 1$
2. 第二项：$-14abx ÷ (-7ab) = 2x$
3. 第三项：$49aby ÷ (-7ab) = -7y$
将三个商相加可得另一个因式为$1+2x-7y$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；单项式除法
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式时的符号处理和运算准确性，做题时需注意公因式为负时，原多项式每一项都要变号，同时要避免漏除原多项式的常数类项。
【难度系数】
0.9
4. (★)多项式$9a^2x^2 - 18a^4x^3$可提的公因式是 【 】
A.$9ax$
B.$9a^2x^2$
C.$a^2x^2$
D.$9a^4x^3$
A.$9ax$
B.$9a^2x^2$
C.$a^2x^2$
D.$9a^4x^3$
答案
B
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循三步思路：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者组合就是该多项式的公因式，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
第一步：确定系数的最大公约数，多项式两项的系数分别是9和18，最大公约数为9；
第二步：找两项都含有的相同字母，两项都含有字母a和x；
第三步：取相同字母的最低次幂，a的次数分别为2和4，最低次是2；x的次数分别为2和3，最低次是2；
综上，该多项式可提的公因式为$9a^2x^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握找公因式的三步规则就能快速解题，是因式分解部分必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需遵循三步思路：第一步先找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者组合就是该多项式的公因式，再对应选项选出正确答案即可。
【解析】
第一步：确定系数的最大公约数，多项式两项的系数分别是9和18，最大公约数为9；
第二步：找两项都含有的相同字母，两项都含有字母a和x；
第三步：取相同字母的最低次幂，a的次数分别为2和4，最低次是2；x的次数分别为2和3，最低次是2；
综上，该多项式可提的公因式为$9a^2x^2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
公因式的确定、提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定方法，熟练掌握找公因式的三步规则就能快速解题，是因式分解部分必须掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.9
5. (★)把多项式$a^2 -4a$分解因式的正确结果是
【】
A.$a(a-4)$
B.$(a+2)(a-2)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$(a-2)^2 -4$
【】
A.$a(a-4)$
B.$(a+2)(a-2)$
C.$a(a+2)(a-2)$
D.$(a-2)^2 -4$
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题，首先明确分解因式的核心要求：最终结果必须是几个整式乘积的形式，且分解要彻底。第一步先观察多项式$a^2-4a$的特征，两项都含有公共的因式$a$，优先考虑用提公因式法分解；也可以通过将各选项展开和原式对比验证，排除错误选项。
【解析】
解法一：提公因式法分解
步骤1：确定公因式：多项式$a^2-4a$的两项中，公共因式为$a$；
步骤2：提取公因式：将$a$提出后，原式可变形为$a· a - a·4 = a(a-4)$，对应选项A。
解法二：逐一验证排除错误选项
选项B：$(a+2)(a-2)=a^2-4$，和原式$a^2-4a$不相等，排除；
选项C：$a(a+2)(a-2)=a(a^2-4)=a^3-4a$，是三次多项式，和原式二次多项式不符，排除；
选项D：$(a-2)^2-4$是整式的差的形式，没有写成几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，排除。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.因式分解的定义
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查提公因式法的应用，解题时可利用整式乘法和因式分解的互逆关系验证结果是否正确，要牢记因式分解的最终结果必须是几个整式乘积的形式。
【难度系数】
0.9
拿到这道题，首先明确分解因式的核心要求：最终结果必须是几个整式乘积的形式，且分解要彻底。第一步先观察多项式$a^2-4a$的特征，两项都含有公共的因式$a$，优先考虑用提公因式法分解；也可以通过将各选项展开和原式对比验证，排除错误选项。
【解析】
解法一：提公因式法分解
步骤1：确定公因式：多项式$a^2-4a$的两项中，公共因式为$a$；
步骤2：提取公因式：将$a$提出后，原式可变形为$a· a - a·4 = a(a-4)$，对应选项A。
解法二：逐一验证排除错误选项
选项B：$(a+2)(a-2)=a^2-4$，和原式$a^2-4a$不相等，排除；
选项C：$a(a+2)(a-2)=a(a^2-4)=a^3-4a$，是三次多项式，和原式二次多项式不符，排除；
选项D：$(a-2)^2-4$是整式的差的形式，没有写成几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，排除。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.因式分解的定义
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查提公因式法的应用，解题时可利用整式乘法和因式分解的互逆关系验证结果是否正确，要牢记因式分解的最终结果必须是几个整式乘积的形式。
【难度系数】
0.9
6. (★)计算$(-2)^{2026} + (-2)^{2027}$所得结果是【】
A.$2^{2026}$
B.$-2^{4053}$
C.$-2$
D.$-2^{2026}$
A.$2^{2026}$
B.$-2^{4053}$
C.$-2$
D.$-2^{2026}$
答案
D
解析
【分析】
观察算式，两项的底数均为-2，指数分别为2026和2027，属于同底数幂相加的形式，可利用提公因式法简化计算。首先确定公因式为指数较小的$(-2)^{2026}$，再将$(-2)^{2027}$转化为$(-2)^{2026} × (-2)$，提取公因式后计算剩余部分的和，最后结合负数偶次幂为正的性质化简即可得到结果。
【解析】
解：原式$= (-2)^{2026} + (-2)^{2026} × (-2)$
提取公因式$(-2)^{2026}$，得：
$= (-2)^{2026} × [1 + (-2)]$
$= (-2)^{2026} × (-1)$
因为负数的偶次幂为正，所以$(-2)^{2026}=2^{2026}$，代入得：
原式$= 2^{2026} × (-1) = -2^{2026}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法；同底数幂的乘法；有理数乘方的性质
【点评】
本题考查提公因式法在幂的运算中的应用，解题核心是准确识别两项的公因式，结合乘方运算性质化简，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
观察算式，两项的底数均为-2，指数分别为2026和2027，属于同底数幂相加的形式，可利用提公因式法简化计算。首先确定公因式为指数较小的$(-2)^{2026}$，再将$(-2)^{2027}$转化为$(-2)^{2026} × (-2)$，提取公因式后计算剩余部分的和，最后结合负数偶次幂为正的性质化简即可得到结果。
【解析】
解：原式$= (-2)^{2026} + (-2)^{2026} × (-2)$
提取公因式$(-2)^{2026}$，得：
$= (-2)^{2026} × [1 + (-2)]$
$= (-2)^{2026} × (-1)$
因为负数的偶次幂为正，所以$(-2)^{2026}=2^{2026}$，代入得：
原式$= 2^{2026} × (-1) = -2^{2026}$
【答案】
D
【知识点】
提公因式法；同底数幂的乘法；有理数乘方的性质
【点评】
本题考查提公因式法在幂的运算中的应用，解题核心是准确识别两项的公因式，结合乘方运算性质化简，熟练掌握相关运算法则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. (★)把下列多项式分解因式,结果正确的是 【 】
A.$12xyz - 9x^2y^2 = 3xyz(4 - 3xyz)$
B.$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$
C.$-x^2 + xy - xz = -x(x^2 + y - z)$
D.$a^2b + 5ab - b = b(a^2 + 5a)$
A.$12xyz - 9x^2y^2 = 3xyz(4 - 3xyz)$
B.$3a^2y - 3ay + 6y = 3y(a^2 - a + 2)$
C.$-x^2 + xy - xz = -x(x^2 + y - z)$
D.$a^2b + 5ab - b = b(a^2 + 5a)$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查提公因式法分解因式，解题时先明确提公因式的步骤：第一步找公因式，先取各项系数的最大公约数，再取各项都含有的相同字母的最低次幂，组合得到公因式；第二步提取公因式，将多项式每一项都除以公因式，把所得的商作为括号内的项，注意符号和不要漏项。我们逐一验证四个选项的分解是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：多项式$12xyz - 9x^2y^2$的公因式是$3xy$，第二项不含字母$z$，分解应为$3xy(4z - 3xy)$，本选项错误；
选项B：多项式$3a^2y - 3ay + 6y$的公因式是$3y$，提取公因式后得$3y(a^2 - a + 2)$，本选项分解正确；
选项C：多项式$-x^2 + xy - xz$提取公因式$-x$后，括号内各项应变号，正确分解为$-x(x - y + z)$，本选项错误；
选项D：多项式$a^2b + 5ab - b$提取公因式$b$后，最后一项剩下$-1$，正确分解为$b(a^2 + 5a - 1)$，本选项漏项错误。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点在于公因式找错、提取公因式后漏项、符号处理不当，解题时提取公因式后可通过整式乘法还原验证分解是否正确。
【难度系数】
0.8
这道题考查提公因式法分解因式，解题时先明确提公因式的步骤：第一步找公因式，先取各项系数的最大公约数，再取各项都含有的相同字母的最低次幂，组合得到公因式；第二步提取公因式，将多项式每一项都除以公因式，把所得的商作为括号内的项，注意符号和不要漏项。我们逐一验证四个选项的分解是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：多项式$12xyz - 9x^2y^2$的公因式是$3xy$，第二项不含字母$z$，分解应为$3xy(4z - 3xy)$，本选项错误；
选项B：多项式$3a^2y - 3ay + 6y$的公因式是$3y$，提取公因式后得$3y(a^2 - a + 2)$，本选项分解正确；
选项C：多项式$-x^2 + xy - xz$提取公因式$-x$后，括号内各项应变号，正确分解为$-x(x - y + z)$，本选项错误；
选项D：多项式$a^2b + 5ab - b$提取公因式$b$后，最后一项剩下$-1$，正确分解为$b(a^2 + 5a - 1)$，本选项漏项错误。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点在于公因式找错、提取公因式后漏项、符号处理不当，解题时提取公因式后可通过整式乘法还原验证分解是否正确。
【难度系数】
0.8
8. (★)分解因式:$5a(m+n)-3b(m+n)=$ .
答案
$\boldsymbol{(m+n)(5a-3b)}$
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察多项式的两项，寻找两项都含有的公共因式（即公因式），可以发现两项都含有因式$(m+n)$，因此公因式为$(m+n)$；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项分别除以公因式，把得到的结果作为另一个因式的对应项，最后整理为两个因式相乘的形式即可。
【解析】
观察多项式$5a(m+n)-3b(m+n)$，可知两项的公因式为$(m+n)$，提取公因式可得：
$\begin{aligned}5a(m+n)-3b(m+n)&=(m+n)·5a - (m+n)·3b\\&=(m+n)(5a-3b)\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{(m+n)(5a-3b)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别出多项式各项的公因式，提取公因式时需注意剩余项的符号不要写错，熟练掌握提公因式法的规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先观察多项式的两项，寻找两项都含有的公共因式（即公因式），可以发现两项都含有因式$(m+n)$，因此公因式为$(m+n)$；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项分别除以公因式，把得到的结果作为另一个因式的对应项，最后整理为两个因式相乘的形式即可。
【解析】
观察多项式$5a(m+n)-3b(m+n)$，可知两项的公因式为$(m+n)$，提取公因式可得：
$\begin{aligned}5a(m+n)-3b(m+n)&=(m+n)·5a - (m+n)·3b\\&=(m+n)(5a-3b)\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{(m+n)(5a-3b)}$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别出多项式各项的公因式，提取公因式时需注意剩余项的符号不要写错，熟练掌握提公因式法的规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
9. (★★)分解因式:
(1) $x^2 -25x$;
(2) $m(a-2)+n(2-a)$;
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$.
(1) $x^2 -25x$;
(2) $m(a-2)+n(2-a)$;
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$.
答案
解：
(1) $x^2 - 25x = x(x - 25)$
(2) $m(a-2)+n(2-a)$
$= m(a-2) - n(a-2)$
$= (a-2)(m - n)$
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$
$= 2x(a-2)^2 - y(a-2)^3$
$= (a-2)^2[2x - y(a-2)]$
$= (a-2)^2(2x - ay + 2y)$
(1) $x^2 - 25x = x(x - 25)$
(2) $m(a-2)+n(2-a)$
$= m(a-2) - n(a-2)$
$= (a-2)(m - n)$
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$
$= 2x(a-2)^2 - y(a-2)^3$
$= (a-2)^2[2x - y(a-2)]$
$= (a-2)^2(2x - ay + 2y)$
解析
【分析】
这三道题均使用提公因式法分解因式，解题思路如下：①先确定每道题的公因式，若出现互为相反数的因式，需先统一因式形式：互为相反数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，可据此调整符号得到公共因式；②提取公因式后，对剩余的式子化简，注意去括号时的符号变化，最终分解到不能再分解为止。
(1)题两项均含公因式$x$，直接提取即可；(2)题中$(a-2)$与$(2-a)$互为相反数，将$(2-a)$变形为$-(a-2)$后，公因式为$(a-2)$，提取后合并剩余项即可；(3)题中$(2-a)^3$是奇次幂，变形为$-(a-2)^3$后公因式为$(a-2)^2$，提取后对括号内的式子去括号化简即可。
【解析】
(1) $x^2 - 25x$
提取公因式$x$：
$x^2 - 25x = x(x - 25)$
(2) $m(a-2)+n(2-a)$
将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，改写原式：
$= m(a-2) - n(a-2)$
提取公因式$(a-2)$：
$= (a-2)(m - n)$
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$
将$(2-a)^3$变形为$-(a-2)^3$，改写原式：
$= 2x(a-2)^2 - y(a-2)^3$
提取公因式$(a-2)^2$：
$= (a-2)^2[2x - y(a-2)]$
对括号内去括号化简：
$= (a-2)^2(2x - ay + 2y)$
【答案】
(1) $x(x - 25)$；(2) $(a-2)(m - n)$；(3) $(a-2)^2(2x - ay + 2y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，因式符号变换，整式去括号化简
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规基础题，核心考查公因式的识别能力，重点需要注意互为相反数的因式的符号转换规则，提取公因式后要将剩余整式化简到最简，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
这三道题均使用提公因式法分解因式，解题思路如下：①先确定每道题的公因式，若出现互为相反数的因式，需先统一因式形式：互为相反数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数，可据此调整符号得到公共因式；②提取公因式后，对剩余的式子化简，注意去括号时的符号变化，最终分解到不能再分解为止。
(1)题两项均含公因式$x$，直接提取即可；(2)题中$(a-2)$与$(2-a)$互为相反数，将$(2-a)$变形为$-(a-2)$后，公因式为$(a-2)$，提取后合并剩余项即可；(3)题中$(2-a)^3$是奇次幂，变形为$-(a-2)^3$后公因式为$(a-2)^2$，提取后对括号内的式子去括号化简即可。
【解析】
(1) $x^2 - 25x$
提取公因式$x$：
$x^2 - 25x = x(x - 25)$
(2) $m(a-2)+n(2-a)$
将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，改写原式：
$= m(a-2) - n(a-2)$
提取公因式$(a-2)$：
$= (a-2)(m - n)$
(3) $2x(a-2)^2 + y(2-a)^3$
将$(2-a)^3$变形为$-(a-2)^3$，改写原式：
$= 2x(a-2)^2 - y(a-2)^3$
提取公因式$(a-2)^2$：
$= (a-2)^2[2x - y(a-2)]$
对括号内去括号化简：
$= (a-2)^2(2x - ay + 2y)$
【答案】
(1) $x(x - 25)$；(2) $(a-2)(m - n)$；(3) $(a-2)^2(2x - ay + 2y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，因式符号变换，整式去括号化简
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规基础题，核心考查公因式的识别能力，重点需要注意互为相反数的因式的符号转换规则，提取公因式后要将剩余整式化简到最简，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.75
10. (★)多项式$-8x^2y^3z + 12xy^2z^3 - 24x^3yz^2$的公因式是 【 】
A.$-xyz$
B.$-4x^3y^3z^3$
C.$-4xyz$
D.$-x^3y^3z^3$
A.$-xyz$
B.$-4x^3y^3z^3$
C.$-4xyz$
D.$-x^3y^3z^3$
答案
C
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，可按照“三定”步骤思考：①定系数：先找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项系数为负，公因式系数要带负号；②定字母：找出各项中都含有的相同字母；③定指数：相同字母的指数取各项中该字母的最低次幂，将三部分组合起来就是公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
第一步，确定系数：多项式各项系数为-8、12、-24，系数绝对值的最大公约数是4，又因为首项系数为负，所以公因式的系数为-4；
第二步，确定相同字母：观察三项$-8x^2y^3z$、$12xy^2z^3$、$-24x^3yz^2$，都含有字母x、y、z；
第三步，确定相同字母的最低次幂：x的次数分别为2、1、3，最低次是1；y的次数分别为3、2、1，最低次是1；z的次数分别为1、3、2，最低次是1；
综上，该多项式的公因式为$-4xyz$。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定方法，牢记找公因式的三个步骤即可快速解题，是掌握提公因式法分解因式的必备基础。
【难度系数】
0.8
要确定多项式的公因式，可按照“三定”步骤思考：①定系数：先找各项系数绝对值的最大公约数，若多项式首项系数为负，公因式系数要带负号；②定字母：找出各项中都含有的相同字母；③定指数：相同字母的指数取各项中该字母的最低次幂，将三部分组合起来就是公因式，再对应选项判断即可。
【解析】
第一步，确定系数：多项式各项系数为-8、12、-24，系数绝对值的最大公约数是4，又因为首项系数为负，所以公因式的系数为-4；
第二步，确定相同字母：观察三项$-8x^2y^3z$、$12xy^2z^3$、$-24x^3yz^2$，都含有字母x、y、z；
第三步，确定相同字母的最低次幂：x的次数分别为2、1、3，最低次是1；y的次数分别为3、2、1，最低次是1；z的次数分别为1、3、2，最低次是1；
综上，该多项式的公因式为$-4xyz$。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定、提公因式法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查公因式的确定方法，牢记找公因式的三个步骤即可快速解题，是掌握提公因式法分解因式的必备基础。
【难度系数】
0.8
11. (★)一个多项式，把它分解因式后有一个因式为$x-1$，请你写出一个符合条件的多项式：
答案
解：$2x-2$（答案不唯一）
解析
【分析】
解题时可利用因式分解与整式乘法的互逆关系思考：因式分解是将多项式化为多个整式乘积的形式，反过来，用$x-1$乘任意一个整式，得到的多项式分解后必然含有因式$x-1$。我们可以选择最简单的整式（如常数、一次单项式等）和$x-1$相乘，就能快速得到符合要求的多项式。
【解析】
已知多项式分解因式后有因式$x-1$，根据因式分解和整式乘法的互逆性，该多项式可写成$(x-1)$与任意整式的乘积形式。
取与$x-1$相乘的整式为常数2，计算得：$(x-1) × 2 = 2x - 2$。
验证：将$2x-2$提公因式分解得$2(x-1)$，确实含有因式$x-1$，符合题目要求。（答案不唯一）
【答案】
$2x-2$（答案不唯一）
【知识点】
1.因式分解的概念
2.整式乘法与因式分解的互逆性
3.提公因式法分解因式
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对因式分解定义的理解，以及对因式分解和整式乘法互逆关系的掌握，解题时可通过构造简单整式乘积的方式快速得到结果，灵活度较高。
【难度系数】
0.9
解题时可利用因式分解与整式乘法的互逆关系思考：因式分解是将多项式化为多个整式乘积的形式，反过来，用$x-1$乘任意一个整式，得到的多项式分解后必然含有因式$x-1$。我们可以选择最简单的整式（如常数、一次单项式等）和$x-1$相乘，就能快速得到符合要求的多项式。
【解析】
已知多项式分解因式后有因式$x-1$，根据因式分解和整式乘法的互逆性，该多项式可写成$(x-1)$与任意整式的乘积形式。
取与$x-1$相乘的整式为常数2，计算得：$(x-1) × 2 = 2x - 2$。
验证：将$2x-2$提公因式分解得$2(x-1)$，确实含有因式$x-1$，符合题目要求。（答案不唯一）
【答案】
$2x-2$（答案不唯一）
【知识点】
1.因式分解的概念
2.整式乘法与因式分解的互逆性
3.提公因式法分解因式
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对因式分解定义的理解，以及对因式分解和整式乘法互逆关系的掌握，解题时可通过构造简单整式乘积的方式快速得到结果，灵活度较高。
【难度系数】
0.9
