12. (★★)把多项式$2(m-n)+6x(n-m)$分解因式，结果是
【 】

A.$(m-n)(2+6x)$
B.$(m-n)(2-6x)$
C.$2(m-n)(1+3x)$
D.$2(m-n)(1-3x)$

D

【分析】
解决这道因式分解题可按以下步骤思考：第一步，先统一多项式中相似因式的形式，观察到$(m-n)$和$(n-m)$互为相反数，可将$(n-m)$转化为$-(m-n)$，方便找公因式；第二步，确定公因式，系数的最大公因数是2，相同因式是$(m-n)$，因此公因式为$2(m-n)$；第三步，提取公因式后化简剩余项，注意最终因式分解结果要分解到不能再分解为止，再对应选项判断即可。
【解析】
先对原式变形，将$(n-m)$改写为$-(m-n)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(m-n)+6x·[-(m-n)]\\&=2(m-n)-6x(m-n)\end{aligned}$
提取公因式$2(m-n)$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2(m-n)×1 - 2(m-n)×3x\\&=2(m-n)(1-3x)\end{aligned}$
对比选项，对应D选项。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解；多项式符号变形
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查提公因式法的规范使用，易错点有两处：一是处理互为相反数的因式时符号出错，二是提取公因式时漏提系数的最大公因数，导致结果没有分解彻底。
【难度系数】
0.8

13. (★★)分解因式:
(1)$3a - 12a^2 + 6a^3$;
(2)$2(m - n)^2 - m(m - n)$;
(3)$3a(x - y) - 3b(y - x)$;
(4)$6x(x - y)^2 + 3(y - x)^3$.

解：
(1) 原式$=3a·1 - 3a·4a + 3a·2a^2$
$=3a(2a^2 - 4a + 1)$
(2) 原式$=(m-n)·2(m-n) - (m-n)· m$
$=(m-n)[2(m-n)-m]$
$=(m-n)(2m-2n -m)$
$=(m-n)(m-2n)$
(3) 原式$=3a(x-y) + 3b(x-y)$
$=3(x-y)(a + b)$
(4) 原式$=6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$
$=3(x-y)^2·2x - 3(x-y)^2·(x-y)$
$=3(x-y)^2[2x - (x-y)]$
$=3(x-y)^2(x + y)$

【分析】
这四道题均考查用提公因式法分解因式，解题思路可按照以下步骤进行：第一步，先确定多项式各项的公因式：系数取各项系数的最大公约数，相同因式取次数最低的幂；第二步，若多项式中存在互为相反数的因式（如$y-x$与$x-y$），先通过符号变形统一为相同因式；第三步，提取公因式后，对剩余的整式部分进行化简，保证最终分解结果不能再继续分解。
【解析】
(1) 先确定公因式为$3a$，将各项拆分为含$3a$的乘积形式：
原式$=3a·1 - 3a·4a + 3a·2a^2$
提取公因式$3a$可得：$=3a(2a^2 - 4a + 1)$
(2) 确定公因式为$(m-n)$：
原式$=(m-n)·2(m-n) - (m-n)· m$
提取公因式$(m-n)$得：$=(m-n)[2(m-n)-m]$
去括号化简剩余部分：$=(m-n)(2m-2n -m)$
合并同类项得：$=(m-n)(m-2n)$
(3) 先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，统一公因式为$3(x-y)$：
原式$=3a(x-y) + 3b(x-y)$
提取公因式$3(x-y)$得：$=3(x-y)(a + b)$
(4) 先将$(y-x)^3$变形为$-(x-y)^3$，确定公因式为$3(x-y)^2$：
原式$=6x(x-y)^2 - 3(x-y)^3$
拆分各项为含公因式的形式：$=3(x-y)^2·2x - 3(x-y)^2·(x-y)$
提取公因式$3(x-y)^2$得：$=3(x-y)^2[2x - (x-y)]$
去括号合并同类项得：$=3(x-y)^2(x + y)$
【答案】
(1) $3a(2a^2 - 4a + 1)$
(2) $(m-n)(m-2n)$
(3) $3(x-y)(a + b)$
(4) $3(x-y)^2(x + y)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，整式化简
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规基础题，重点考查公因式的识别与提取能力，解题时需注意互为相反数的因式的符号转换，提取公因式后要化简剩余整式，确保分解彻底。
【难度系数】
0.8

14. (★★)利用因式分解计算：
(1) $168 × 278 - 168 × 78$；
(2) $2026^2 + 2026 - 2027^2$。

解：
(1) 原式$=168×(278 - 78)$
$=168×200$
$=33600$
(2) 原式$=2026×(2026 + 1) - 2027^2$
$=2026×2027 - 2027^2$
$=2027×(2026 - 2027)$
$=2027×(-1)$
$=-2027$

【分析】
本题考查利用提公因式法因式分解进行简便计算，解题思路如下：
(1) 观察算式发现两个乘法项都含有相同因数168，符合提公因式法的结构特征，先提取公因式168，计算剩余部分278-78的差后再算乘法，可大幅简化运算。
(2) 观察算式先处理前两项：2026²+2026的两项都含公因式2026，先提取2026得到2026×(2026+1)=2026×2027，此时算式变为2026×2027 - 2027²，两项出现新的公因式2027，再次提取公因式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$=168×(278 - 78)$
$=168×200$
$=33600$
(2) 原式$=2026×(2026 + 1) - 2027^2$
$=2026×2027 - 2027^2$
$=2027×(2026 - 2027)$
$=2027×(-1)$
$=-2027$
【答案】
(1) $33600$；(2) $-2027$
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解的简便应用
【点评】
本题是因式分解简化运算的基础典型题，解题核心是准确识别算式中隐藏的公因式，通过分步提取公因式将复杂的大数运算转化为简单的四则运算，降低计算出错概率。
【难度系数】
0.8

15. (★★)在物理学中,求串联电路的总电压时,有公式 $U = IR_1 + IR_2 + IR_3$, 当 $R_1 = 19.7\ \Omega, R_2 = 32.4\ \Omega, R_3 = 35.9\ \Omega, I = 2.5\ A$ 时,求该电路的总电压 $U$(单位:V).

解：
对公式$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，得
$U=I(R_1+R_2+R_3)$
将$R_1=19.7\ \Omega$，$R_2=32.4\ \Omega$，$R_3=35.9\ \Omega$，$I=2.5\ A$代入上式：
$R_1+R_2+R_3=19.7+32.4+35.9=88\ (\Omega)$
$U=2.5×88=220\ (\mathrm{V})$
答：该电路的总电压$U$为220V。

【分析】
观察给出的总电压公式，发现每一项都含有公因式$I$，若直接代入数值计算需要分别计算三次乘法再相加，计算量较大。我们可以先利用提公因式法对公式进行变形，先计算三个电阻的和，再与电流相乘，能有效简化计算步骤，降低计算出错的概率。
【解析】
解：对公式$U=IR_1+IR_2+IR_3$提取公因式$I$，得：
$U=I(R_1+R_2+R_3)$
将$R_1=19.7\ \Omega$，$R_2=32.4\ \Omega$，$R_3=35.9\ \Omega$，$I=2.5\ A$代入上式：
先计算总电阻：$R_1+R_2+R_3=19.7+32.4+35.9=88\ (\Omega)$
再计算总电压：$U=2.5×88=220\ (\mathrm{V})$
【答案】
$220\ \mathrm{V}$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值
【点评】
本题是数学知识在物理学科中的实际应用，通过运用提公因式法对代数式变形，能够简化运算过程，提升计算的准确率，体现了因式分解在简化运算中的作用。
【难度系数】
0.8

16. (★★★)已知$a-b=5,b-c=-6$,求代数式$a^2-ac-b(a-c)$的值.

解：
先对所求代数式分解因式：
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c)&=a(a - c) - b(a - c)\\&=(a - c)(a - b)\end{aligned}$
由已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，可得：
$a - c = (a - b) + (b - c) = 5 + (-6) = -1$
将$a - b = 5$，$a - c = -1$代入分解后的式子：
原式$= (-1) × 5 = -5$

【分析】
本题没有给出a、b、c的具体数值，无法直接代入计算，解题思路如下：第一步先对所求代数式用提公因式法化简：先将前两项$a^2-ac$提取公因式a，得到$a(a-c)$，此时整个式子出现公因式$(a-c)$，再提取公因式$(a-c)$，即可将代数式化简为两个整式乘积的形式；第二步结合已知的$a-b$和$b-c$的取值，通过整式加法求出$a-c$的值；第三步将$a-b$和$a-c$的数值整体代入化简后的式子计算，即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式分解因式：
$\begin{aligned}a^2 - ac - b(a - c)&=a(a - c) - b(a - c)\\&=(a - c)(a - b)\end{aligned}$
由已知$a - b = 5$，$b - c = -6$，可得：
$a - c = (a - b) + (b - c) = 5 + (-6) = -1$
将$a - b = 5$，$a - c = -1$代入分解后的式子：
原式$= (-1) × 5 = -5$
【答案】
$-5$
【知识点】
提公因式法分解因式，代数式求值，整体代入
【点评】
本题重点考查因式分解在代数式求值中的应用，无需单独求出每个字母的取值，通过因式分解化简代数式，结合整体代入思想即可快速求解，能有效锻炼学生的代数化简能力和整体思维。
【难度系数】
0.7