登录
9. (★★) 下列各式,是整式乘法的是,是因式分解的是.(填序号)
①$(5a - 1)^2 = 25a^2 - 10a + 1$；②$(a - 6)(a + 6) = a^2 - 36$；③$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$；④$2xy - 2xz = 2x(y - z)$.
①$(5a - 1)^2 = 25a^2 - 10a + 1$；②$(a - 6)(a + 6) = a^2 - 36$；③$m^2 - 4 = (m + 2)(m - 2)$；④$2xy - 2xz = 2x(y - z)$.
答案
整式乘法的是$\boldsymbol{①②}$，因式分解的是$\boldsymbol{③④}$。
解析
解：
整式乘法是将几个整式的乘积运算展开为多项式的运算，因此属于整式乘法的是①②；
因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式的运算，因此属于因式分解的是③④。
整式乘法是将几个整式的乘积运算展开为多项式的运算，因此属于整式乘法的是①②；
因式分解是将一个多项式化为几个整式的积的形式的运算，因此属于因式分解的是③④。
10. (★★)多项式$8m^2n+2mn$中，各项的公因式是 【 】
A.$2mn$
B.$mn$
C.$2$
D.$8m^2n$
A.$2mn$
B.$mn$
C.$2$
D.$8m^2n$
答案
A
解析
找多项式各项公因式步骤如下：1. 取各项系数8和2的最大公约数，得2；2. 取两项都含有的相同字母m、n；3. 取相同字母的最低次幂：m的最低次数为1，n的最低次数为1；综上，该多项式各项的公因式是2mn。
11. (★★)多项式$3x^2y^2z - 9y^2z + 12x^2z$的公因式是。
答案
解：
先确定公因式的系数部分：多项式各项系数3、-9、12的最大公约数是3；
再确定字母部分：观察各项所含字母，x不是所有项都共有，y不是所有项都共有，仅z是三项都含有的相同字母，且z的最低次数为1。
因此该多项式的公因式是$3z$。
先确定公因式的系数部分：多项式各项系数3、-9、12的最大公约数是3；
再确定字母部分：观察各项所含字母，x不是所有项都共有，y不是所有项都共有，仅z是三项都含有的相同字母，且z的最低次数为1。
因此该多项式的公因式是$3z$。
12. (★)分解因式:
(1) $ mx+my $;
(2) $ 2x^2+6xy+2xy^2 $;
(3) $ -2x^3+4x^2-8x $;
(4) $ -3x^2+3x $.
(1) $ mx+my $;
(2) $ 2x^2+6xy+2xy^2 $;
(3) $ -2x^3+4x^2-8x $;
(4) $ -3x^2+3x $.
答案
解：
(1) 原式 = m·x + m·y
= m(x + y)
(2) 原式 = 2x·x + 2x·3y + 2x·y²
= 2x(x + 3y + y²)
(3) 原式 = -2x·x² + (-2x)·(-2x) + (-2x)·4
= -2x(x² - 2x + 4)
(4) 原式 = -3x·x + (-3x)·(-1)
= -3x(x - 1)
(1) 原式 = m·x + m·y
= m(x + y)
(2) 原式 = 2x·x + 2x·3y + 2x·y²
= 2x(x + 3y + y²)
(3) 原式 = -2x·x² + (-2x)·(-2x) + (-2x)·4
= -2x(x² - 2x + 4)
(4) 原式 = -3x·x + (-3x)·(-1)
= -3x(x - 1)
13. (★★)利用因式分解计算：
(1)$57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×(-20)$；
(2)$23×2.718+5.9×27.18-(-18)×2.718$。
(1)$57.6×1.6+57.6×18.4+57.6×(-20)$；
(2)$23×2.718+5.9×27.18-(-18)×2.718$。
答案
解：
(1) 原式$=57.6×(1.6+18.4-20)$
$=57.6×0$
$=0$
(2) 原式$=23×2.718 + 59×2.718 + 18×2.718$
$=2.718×(23+59+18)$
$=2.718×100$
$=271.8$
(1) 原式$=57.6×(1.6+18.4-20)$
$=57.6×0$
$=0$
(2) 原式$=23×2.718 + 59×2.718 + 18×2.718$
$=2.718×(23+59+18)$
$=2.718×100$
$=271.8$
14. (★★)已知$a+b=5$,$ab=6$,求$a^3b+ab^3$的值.
答案
解：
对$a^3b+ab^3$提取公因式，得：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)$
由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$
再将$ab=6$，$a^2+b^2=13$代入分解后的式子：
$a^3b + ab^3 = 6×13 = 78$
对$a^3b+ab^3$提取公因式，得：
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)$
由完全平方公式变形可得：
$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
将$a+b=5$，$ab=6$代入上式：
$a^2 + b^2 = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$
再将$ab=6$，$a^2+b^2=13$代入分解后的式子：
$a^3b + ab^3 = 6×13 = 78$
15. (★★★)$81^7 - 27^9 - 9^{13}$ 能被45整除吗？
为什么？
为什么？
答案
解：能，理由如下：
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}\\&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3 - 1)\\&=3^{26}× 5\\&=3^{24}× 3^2 × 5\\&=45× 3^{24}\end{aligned}$
因为$45× 3^{24}$是45的整数倍，所以$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被45整除。
$\begin{aligned}81^7 - 27^9 - 9^{13}&=(3^4)^7 - (3^3)^9 - (3^2)^{13}\\&=3^{28} - 3^{27} - 3^{26}\\&=3^{26}×(3^2 - 3 - 1)\\&=3^{26}× 5\\&=3^{24}× 3^2 × 5\\&=45× 3^{24}\end{aligned}$
因为$45× 3^{24}$是45的整数倍，所以$81^7 - 27^9 - 9^{13}$能被45整除。
