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知识点 分式的加减法法则
同分母分式相加减，
用字母表示为：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=$
异分母分式相加减，先通分，变为
通分的目的是化
用字母表示为：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=$
同分母分式相加减，
分母不变
，把分子相加减
；用字母表示为：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=$
$\frac{a+b}{c}$
，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=$$\frac{a-b}{c}$
；异分母分式相加减，先通分，变为
同分母
的分式，再加减。通分的目的是化
异分母分式
为同分母分式
。用字母表示为：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=$
$\frac{ad+bc}{bd}$
，$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=$$\frac{ad-bc}{bd}$
。答案
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
用字母表示为：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
通分的目的是化异分母分式为同分母分式。
用字母表示为：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$，$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$。
用字母表示为：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
通分的目的是化异分母分式为同分母分式。
用字母表示为：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$，$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$。
解析
【分析】
本题考查分式加减法的基础概念，属于记忆类基础题型，解题时直接结合教材所学的分式加减法相关规则逐一对应填空即可：首先回忆同分母分式加减的运算规则，写出对应的字母表达式；再回忆异分母分式加减的运算要求、通分的作用，写出异分母分式加减的字母表达式，所有内容均为教材基础定义，直接匹配填写即可。
【解析】
根据分式加减法的相关法则：
1. 同分母分式相加减时，运算规则为分母不变，把分子相加减；按照规则推导可得字母表达式：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$；
2. 异分母分式相加减时，首先要通分，将异分母分式转化为同分母的分式后，再按照同分母分式的加减规则运算；通分的本质目的就是化异分母分式为同分母分式，统一运算规则；将异分母分式通分后推导可得字母表达式：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$，$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$。
【答案】
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
用字母表示为：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
通分的目的是化异分母分式为同分母分式。
用字母表示为：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$，$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$。
【知识点】
分式加减法法则，分式的通分
【点评】
本题是对分式运算基础概念的直接考查，属于必须熟练掌握的核心基础内容，是后续学习分式混合运算、分式方程的前提，需要准确牢记相关规则，避免运算时出现概念性错误。
【难度系数】
0.9
本题考查分式加减法的基础概念，属于记忆类基础题型，解题时直接结合教材所学的分式加减法相关规则逐一对应填空即可：首先回忆同分母分式加减的运算规则，写出对应的字母表达式；再回忆异分母分式加减的运算要求、通分的作用，写出异分母分式加减的字母表达式，所有内容均为教材基础定义，直接匹配填写即可。
【解析】
根据分式加减法的相关法则：
1. 同分母分式相加减时，运算规则为分母不变，把分子相加减；按照规则推导可得字母表达式：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$；
2. 异分母分式相加减时，首先要通分，将异分母分式转化为同分母的分式后，再按照同分母分式的加减规则运算；通分的本质目的就是化异分母分式为同分母分式，统一运算规则；将异分母分式通分后推导可得字母表达式：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$，$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$。
【答案】
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
用字母表示为：$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$，$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
通分的目的是化异分母分式为同分母分式。
用字母表示为：$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$，$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$。
【知识点】
分式加减法法则，分式的通分
【点评】
本题是对分式运算基础概念的直接考查，属于必须熟练掌握的核心基础内容，是后续学习分式混合运算、分式方程的前提，需要准确牢记相关规则，避免运算时出现概念性错误。
【难度系数】
0.9
例 计算：
(1) $\frac{x^2}{x-1} - x + 1$；(2) $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n} + \frac{2mn}{m^2 - n^2}$.
分析：先通分，再根据同分母分式加减法法则计算即可，注意最后要将结果化为最简分式.
解：(1) 原式 $= \frac{x^2}{x-1} - (x - 1) = \frac{x^2}{x-1} - \frac{x-1}{1} = \frac{x^2}{x-1} - \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1} = \frac{x^2 - (x^2 - 2x + 1)}{x-1} = \frac{2x -1}{x-1}$.
(2) 原式 $= \frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{m-n}$.
方法点拨 在分式的加减运算中，如果是异分母分式，那么必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再加减.
(1) $\frac{x^2}{x-1} - x + 1$；(2) $\frac{m}{m-n} - \frac{n}{m+n} + \frac{2mn}{m^2 - n^2}$.
分析：先通分，再根据同分母分式加减法法则计算即可，注意最后要将结果化为最简分式.
解：(1) 原式 $= \frac{x^2}{x-1} - (x - 1) = \frac{x^2}{x-1} - \frac{x-1}{1} = \frac{x^2}{x-1} - \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1} = \frac{x^2 - (x^2 - 2x + 1)}{x-1} = \frac{2x -1}{x-1}$.
(2) 原式 $= \frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{m-n}$.
方法点拨 在分式的加减运算中，如果是异分母分式，那么必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再加减.
答案
解：
(1) 原式$=\frac{x^2}{x-1}-(x-1)$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x-1}{1}$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x-1)^2}{x-1}$
$=\frac{x^2-(x^2-2x+1)}{x-1}$
$=\frac{2x-1}{x-1}$
(2) 原式$=\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)}-\frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)}+\frac{2mn}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}$
(1) 原式$=\frac{x^2}{x-1}-(x-1)$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x-1}{1}$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x-1)^2}{x-1}$
$=\frac{x^2-(x^2-2x+1)}{x-1}$
$=\frac{2x-1}{x-1}$
(2) 原式$=\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)}-\frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)}+\frac{2mn}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}$
解析
【分析】
这两道题属于分式加减法运算，解题思路如下：1. 处理异分母分式（或整式与分式）的加减时，先通分化为同分母分式，通分的关键是确定最简公分母：（1）中整式$-x+1$可变形为$-(x-1)$，看作分母为1的分式，最简公分母为$x-1$；（2）中第三个分式的分母$m^2-n^2$可因式分解为$(m-n)(m+n)$，因此三个分式的最简公分母为$(m-n)(m+n)$。2. 按照同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，计算时注意去括号要变号。3. 最后对结果的分子、分母因式分解，约去公因式，化为最简分式。
【解析】
(1) 原式$=\frac{x^2}{x-1}-(x-1)$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x-1}{1}$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x-1)^2}{x-1}$
$=\frac{x^2-(x^2-2x+1)}{x-1}$
$=\frac{2x-1}{x-1}$
(2) 原式$=\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)}-\frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)}+\frac{2mn}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}$
【答案】
(1) $\frac{2x-1}{x-1}$；(2) $\frac{m+n}{m-n}$
【知识点】
分式的加减运算、通分、约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考察通分、同分母分式加减法则的应用，需要注意整式参与分式运算时的变形方式，去括号时的符号处理，以及最终结果要化为最简分式，熟练掌握相关规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
这两道题属于分式加减法运算，解题思路如下：1. 处理异分母分式（或整式与分式）的加减时，先通分化为同分母分式，通分的关键是确定最简公分母：（1）中整式$-x+1$可变形为$-(x-1)$，看作分母为1的分式，最简公分母为$x-1$；（2）中第三个分式的分母$m^2-n^2$可因式分解为$(m-n)(m+n)$，因此三个分式的最简公分母为$(m-n)(m+n)$。2. 按照同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，计算时注意去括号要变号。3. 最后对结果的分子、分母因式分解，约去公因式，化为最简分式。
【解析】
(1) 原式$=\frac{x^2}{x-1}-(x-1)$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x-1}{1}$
$=\frac{x^2}{x-1}-\frac{(x-1)^2}{x-1}$
$=\frac{x^2-(x^2-2x+1)}{x-1}$
$=\frac{2x-1}{x-1}$
(2) 原式$=\frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)}-\frac{n(m-n)}{(m-n)(m+n)}+\frac{2mn}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m^2+mn-mn+n^2+2mn}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m^2+2mn+n^2}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)}$
$=\frac{m+n}{m-n}$
【答案】
(1) $\frac{2x-1}{x-1}$；(2) $\frac{m+n}{m-n}$
【知识点】
分式的加减运算、通分、约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考察通分、同分母分式加减法则的应用，需要注意整式参与分式运算时的变形方式，去括号时的符号处理，以及最终结果要化为最简分式，熟练掌握相关规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
