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阅读下面的材料,并解答问题:
分式$\frac{2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是多少?
解:$\frac{2x+8}{x+2}=\frac{2x+4+4}{x+2}=\frac{2(x+2)+4}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}+\frac{4}{x+2}=2+\frac{4}{x+2}$.
因为$x≥0$,所以$x+2$的最小值是2.所以$\frac{4}{x+2}$的最大值是2.
所以$2+\frac{4}{x+2}$的最大值是4,即$\frac{2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是4.
根据上述方法,分式$\frac{3m^2+5}{m^2+2}$的最小值是
分式$\frac{2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是多少?
解:$\frac{2x+8}{x+2}=\frac{2x+4+4}{x+2}=\frac{2(x+2)+4}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}+\frac{4}{x+2}=2+\frac{4}{x+2}$.
因为$x≥0$,所以$x+2$的最小值是2.所以$\frac{4}{x+2}$的最大值是2.
所以$2+\frac{4}{x+2}$的最大值是4,即$\frac{2x+8}{x+2}(x≥0)$的最大值是4.
根据上述方法,分式$\frac{3m^2+5}{m^2+2}$的最小值是
$\frac{5}{2}$
.答案
$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时先仿照题干给出的分离常数方法，将所求分式的分子拆成含有分母的整式与常数的差的形式，把分式拆成一个常数减一个分式的形式，再根据平方的非负性确定分母的取值范围，进而得到拆分后分式的取值范围，最终求出整个分式的最小值。
【解析】
首先对分式进行分离常数变形：
$\frac{3m^2+5}{m^2+2}=\frac{3(m^2+2)-1}{m^2+2}=\frac{3(m^2+2)}{m^2+2}-\frac{1}{m^2+2}=3-\frac{1}{m^2+2}$
因为任意实数的平方都是非负数，所以$m^2≥0$，因此$m^2+2$的最小值为$0+2=2$。
对于正分式$\frac{1}{m^2+2}$，分子固定为1，分母越小，分式的值越大，因此$\frac{1}{m^2+2}$的最大值为$\frac{1}{2}$。
在式子$3-\frac{1}{m^2+2}$中，被减数3固定，减去的数越大，所得的差越小，因此当$\frac{1}{m^2+2}$取最大值$\frac{1}{2}$时，整个式子的值最小，最小值为：
$3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
分式化简，非负数性质，最值计算
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心是掌握例题用到的分离常数法拆分分式，结合偶次方的非负性分析分式的取值范围即可求解，考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
解题时先仿照题干给出的分离常数方法，将所求分式的分子拆成含有分母的整式与常数的差的形式，把分式拆成一个常数减一个分式的形式，再根据平方的非负性确定分母的取值范围，进而得到拆分后分式的取值范围，最终求出整个分式的最小值。
【解析】
首先对分式进行分离常数变形：
$\frac{3m^2+5}{m^2+2}=\frac{3(m^2+2)-1}{m^2+2}=\frac{3(m^2+2)}{m^2+2}-\frac{1}{m^2+2}=3-\frac{1}{m^2+2}$
因为任意实数的平方都是非负数，所以$m^2≥0$，因此$m^2+2$的最小值为$0+2=2$。
对于正分式$\frac{1}{m^2+2}$，分子固定为1，分母越小，分式的值越大，因此$\frac{1}{m^2+2}$的最大值为$\frac{1}{2}$。
在式子$3-\frac{1}{m^2+2}$中，被减数3固定，减去的数越大，所得的差越小，因此当$\frac{1}{m^2+2}$取最大值$\frac{1}{2}$时，整个式子的值最小，最小值为：
$3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
分式化简，非负数性质，最值计算
【点评】
本题属于材料阅读类题型，核心是掌握例题用到的分离常数法拆分分式，结合偶次方的非负性分析分式的取值范围即可求解，考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
1. 计算：$\frac{2a+b}{3a^2b} + \frac{a-2b}{3a^2b} - \frac{a-b}{3a^2b} =$
$\frac{2}{3ab}$
答案
$\frac{2}{3ab}$
解析
【分析】
观察到题目中三个分式的分母完全相同，属于同分母分式的加减运算，解题思路为：第一步根据同分母分式加减法法则，保持分母不变，将三个分式的分子相加减；第二步对分子进行去括号、合并同类项化简；第三步将化简后的分式约分，得到最简结果即可。
【解析】
根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
原式$=\frac{(2a+b)+(a-2b)-(a-b)}{3a^2b}$
对分子去括号、合并同类项：
分子$=2a+b+a-2b-a+b=(2a+a-a)+(b-2b+b)=2a$
因此原式化简为：
$\frac{2a}{3a^2b}$
约去分子分母的公因式$a$（$a≠0$），得：
$\frac{2}{3ab}$
【答案】
$\frac{2}{3ab}$
【知识点】
同分母分式加减法、合并同类项、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同分母分式的加减运算规则，解题时要注意分子相加减时去括号的符号问题，最终运算结果需化为最简分式（或整式）。
【难度系数】
0.9
观察到题目中三个分式的分母完全相同，属于同分母分式的加减运算，解题思路为：第一步根据同分母分式加减法法则，保持分母不变，将三个分式的分子相加减；第二步对分子进行去括号、合并同类项化简；第三步将化简后的分式约分，得到最简结果即可。
【解析】
根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，可得：
原式$=\frac{(2a+b)+(a-2b)-(a-b)}{3a^2b}$
对分子去括号、合并同类项：
分子$=2a+b+a-2b-a+b=(2a+a-a)+(b-2b+b)=2a$
因此原式化简为：
$\frac{2a}{3a^2b}$
约去分子分母的公因式$a$（$a≠0$），得：
$\frac{2}{3ab}$
【答案】
$\frac{2}{3ab}$
【知识点】
同分母分式加减法、合并同类项、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查同分母分式的加减运算规则，解题时要注意分子相加减时去括号的符号问题，最终运算结果需化为最简分式（或整式）。
【难度系数】
0.9
2. 计算：$\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1} =$
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母相同，均为$x-1$，符合同分母分式减法的运算条件；接下来根据同分母分式加减法法则，分母保持不变，将两个分子相减；最后对得到的分式进行约分化简，即可得到结果。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则：分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1}&=\frac{1 - x}{x-1}\\&=\frac{-(x - 1)}{x - 1}\\&=-1 \quad (x≠1)\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同分母分式的加减运算规则，计算过程中需注意分子相减时的符号处理，约分前可对分子适当变形简化计算，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
本题考查同分母分式的减法运算，解题思路如下：首先观察两个分式的分母相同，均为$x-1$，符合同分母分式减法的运算条件；接下来根据同分母分式加减法法则，分母保持不变，将两个分子相减；最后对得到的分式进行约分化简，即可得到结果。
【解析】
解：两个分式为同分母分式，根据同分母分式减法法则：分母不变，分子相减，可得：
$\begin{aligned}\frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1}&=\frac{1 - x}{x-1}\\&=\frac{-(x - 1)}{x - 1}\\&=-1 \quad (x≠1)\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
同分母分式加减法、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，重点考查同分母分式的加减运算规则，计算过程中需注意分子相减时的符号处理，约分前可对分子适当变形简化计算，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
3. 计算：$\dfrac{1}{a-1} - \dfrac{2}{a^2 -1} =$
$\frac{1}{a+1}$
.答案
$\frac{1}{a+1}$
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先观察分母，发现第二个分母$a^2-1$可以用平方差公式分解为$(a-1)(a+1)$，由此确定两个分式的最简公分母是$(a-1)(a+1)$；第二步根据分式的基本性质，把第一个分式的分子分母同时乘$(a+1)$，将异分母分式转化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；第四步对得到的分式化简，分子合并后约去公因式，即可得到最简结果。
【解析】
解：先对第二个分母因式分解，得：
原式$=\dfrac{1}{a-1} - \dfrac{2}{(a-1)(a+1)}$
通分，将第一个分式化为以$(a-1)(a+1)$为分母的分式：
$=\dfrac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \dfrac{2}{(a-1)(a+1)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\dfrac{a+1 - 2}{(a-1)(a+1)}$
化简分子：
$=\dfrac{a - 1}{(a-1)(a+1)}$
约去分子分母的公因式$a-1$（$a≠\pm1$）：
$=\dfrac{1}{a+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{a+1}$
【知识点】
异分母分式加减法、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算步骤，解题的关键是正确分解分母确定最简公分母，运算时要注意通分过程中分子不要漏乘，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先观察分母，发现第二个分母$a^2-1$可以用平方差公式分解为$(a-1)(a+1)$，由此确定两个分式的最简公分母是$(a-1)(a+1)$；第二步根据分式的基本性质，把第一个分式的分子分母同时乘$(a+1)$，将异分母分式转化为同分母分式；第三步按照同分母分式减法法则，分母不变，分子相减；第四步对得到的分式化简，分子合并后约去公因式，即可得到最简结果。
【解析】
解：先对第二个分母因式分解，得：
原式$=\dfrac{1}{a-1} - \dfrac{2}{(a-1)(a+1)}$
通分，将第一个分式化为以$(a-1)(a+1)$为分母的分式：
$=\dfrac{a+1}{(a-1)(a+1)} - \dfrac{2}{(a-1)(a+1)}$
根据同分母分式减法法则，分母不变，分子相减：
$=\dfrac{a+1 - 2}{(a-1)(a+1)}$
化简分子：
$=\dfrac{a - 1}{(a-1)(a+1)}$
约去分子分母的公因式$a-1$（$a≠\pm1$）：
$=\dfrac{1}{a+1}$
【答案】
$\dfrac{1}{a+1}$
【知识点】
异分母分式加减法、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，重点考查异分母分式加减的运算步骤，解题的关键是正确分解分母确定最简公分母，运算时要注意通分过程中分子不要漏乘，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
4. 在分式加减运算中，常用到下列四个依据：
Ⅰ. 合并同类项
Ⅱ. 约分
Ⅲ. 同分母分式的加减法则
Ⅳ. 通分
计算：$\frac{1 - m^2}{m^2 - 2m + 1} - \frac{m}{1 - m}$
$= \frac{1 - m^2}{(m - 1)^2} + \frac{m^2 - m}{(m - 1)^2}$ ①
$= \frac{1 - m^2 + m^2 - m}{(m - 1)^2}$ ②
$= \frac{1 - m}{(m - 1)^2}$ ③
$= -\frac{1}{m - 1}$ ④
则正确的表示是 （
A.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅰ,④-Ⅱ
B.①-Ⅳ,②-Ⅰ,③-Ⅲ,④-Ⅱ
C.①-Ⅱ,②-Ⅰ,③-Ⅲ,④-Ⅳ
D.①-Ⅱ,②-Ⅲ,③-Ⅰ,④-Ⅳ
Ⅰ. 合并同类项
Ⅱ. 约分
Ⅲ. 同分母分式的加减法则
Ⅳ. 通分
计算：$\frac{1 - m^2}{m^2 - 2m + 1} - \frac{m}{1 - m}$
$= \frac{1 - m^2}{(m - 1)^2} + \frac{m^2 - m}{(m - 1)^2}$ ①
$= \frac{1 - m^2 + m^2 - m}{(m - 1)^2}$ ②
$= \frac{1 - m}{(m - 1)^2}$ ③
$= -\frac{1}{m - 1}$ ④
则正确的表示是 （
A
）A.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅰ,④-Ⅱ
B.①-Ⅳ,②-Ⅰ,③-Ⅲ,④-Ⅱ
C.①-Ⅱ,②-Ⅰ,③-Ⅲ,④-Ⅳ
D.①-Ⅱ,②-Ⅲ,③-Ⅰ,④-Ⅳ
答案
A
解析
【分析】
要解决本题，需逐步骤分析分式运算每一步的操作，再匹配对应的运算依据即可。首先明确四个依据的含义：通分是将异分母分式转化为同分母分式的操作；同分母分式加减法则是同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减；合并同类项是将多项式中同类项合并化简的操作；约分是约去分式分子分母公因式的操作。接下来逐一对应①~④步的操作即可选出正确选项。
【解析】
我们逐步骤分析每一步对应的依据：
1. 步骤①：原式两个分式分母分别为$(m-1)^2$和$1-m$，属于异分母，该步骤将两个分式都转化为分母为$(m-1)^2$的同分母分式，属于通分，对应Ⅳ；
2. 步骤②：两个同分母分式相加，保持分母不变，将分子相加，符合同分母分式的加减法则，对应Ⅲ；
3. 步骤③：对分子的多项式$1-m^2+m^2-m$进行化简，合并同类项$-m^2$和$+m^2$后得到$1-m$，属于合并同类项，对应Ⅰ；
4. 步骤④：分子$1-m=-(m-1)$，与分母$(m-1)^2$的公因式$(m-1)$约去，得到$-\frac{1}{m-1}$，属于约分，对应Ⅱ。
综上对应关系为①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅰ,④-Ⅱ，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，合并同类项，约分与通分
【点评】
本题侧重考查分式加减运算各步骤的理论依据，需要学生熟练掌握分式加减的完整流程，明确每一步操作的目的，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.85
要解决本题，需逐步骤分析分式运算每一步的操作，再匹配对应的运算依据即可。首先明确四个依据的含义：通分是将异分母分式转化为同分母分式的操作；同分母分式加减法则是同分母分式相加减时，分母不变，分子相加减；合并同类项是将多项式中同类项合并化简的操作；约分是约去分式分子分母公因式的操作。接下来逐一对应①~④步的操作即可选出正确选项。
【解析】
我们逐步骤分析每一步对应的依据：
1. 步骤①：原式两个分式分母分别为$(m-1)^2$和$1-m$，属于异分母，该步骤将两个分式都转化为分母为$(m-1)^2$的同分母分式，属于通分，对应Ⅳ；
2. 步骤②：两个同分母分式相加，保持分母不变，将分子相加，符合同分母分式的加减法则，对应Ⅲ；
3. 步骤③：对分子的多项式$1-m^2+m^2-m$进行化简，合并同类项$-m^2$和$+m^2$后得到$1-m$，属于合并同类项，对应Ⅰ；
4. 步骤④：分子$1-m=-(m-1)$，与分母$(m-1)^2$的公因式$(m-1)$约去，得到$-\frac{1}{m-1}$，属于约分，对应Ⅱ。
综上对应关系为①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅰ,④-Ⅱ，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算，合并同类项，约分与通分
【点评】
本题侧重考查分式加减运算各步骤的理论依据，需要学生熟练掌握分式加减的完整流程，明确每一步操作的目的，属于基础概念应用型题目。
【难度系数】
0.85
5. 计算$\frac{1}{a-3}-\frac{6}{a^2-9}$的结果是（
A.$\frac{1}{a+3}$
B.$a-3$
C.$a+3$
D.$\frac{1}{a-3}$
A
）A.$\frac{1}{a+3}$
B.$a-3$
C.$a+3$
D.$\frac{1}{a-3}$
答案
A
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，观察到第二个分式的分母$a^2-9$符合平方差公式的形式，可分解为$(a+3)(a-3)$，由此确定两个分式的最简公分母是$(a+3)(a-3)$；第二步将第一个分式通分，转化为同分母的分式；第三步按照同分母分式减法法则计算，分母不变，分子相减；第四步对计算结果约分，化为最简分式后匹配选项即可。
【解析】
首先对分母因式分解：$a^2-9=(a+3)(a-3)$，
对原式通分计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{a-3}-\frac{6}{a^2-9}&=\frac{1}{a-3}-\frac{6}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}-\frac{6}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{a+3-6}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{1}{a+3}\end{aligned}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，核心是掌握异分母分式的运算步骤，先因式分解找最简公分母，通分后计算，最后结果要化为最简分式，计算时注意分子相加减时的符号问题。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题思路如下：第一步先对分母进行因式分解，观察到第二个分式的分母$a^2-9$符合平方差公式的形式，可分解为$(a+3)(a-3)$，由此确定两个分式的最简公分母是$(a+3)(a-3)$；第二步将第一个分式通分，转化为同分母的分式；第三步按照同分母分式减法法则计算，分母不变，分子相减；第四步对计算结果约分，化为最简分式后匹配选项即可。
【解析】
首先对分母因式分解：$a^2-9=(a+3)(a-3)$，
对原式通分计算：
$\begin{aligned}\frac{1}{a-3}-\frac{6}{a^2-9}&=\frac{1}{a-3}-\frac{6}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{a+3}{(a+3)(a-3)}-\frac{6}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{a+3-6}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}\\&=\frac{1}{a+3}\end{aligned}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，核心是掌握异分母分式的运算步骤，先因式分解找最简公分母，通分后计算，最后结果要化为最简分式，计算时注意分子相加减时的符号问题。
【难度系数】
0.8
