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6. 下面是小康同学进行分式化简的过程,请你认真阅读并完成相应的任务:
$\frac{2x^2 - 2}{x^2 - 2x + 1} + \frac{1 - 6x}{3x - 3}$
$= \frac{2(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} + \frac{1 - 6x}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第一步)}$
$= \frac{2(x+1)}{x-1} + \frac{1 - 6x}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第二步)}$
$= \frac{6(x+1)}{3(x-1)} + \frac{1 - 6x}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第三步)}$
$= \frac{6x + 6 + 1 - 6x}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第四步)}$
$= \frac{7}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第五步)}$
$= \frac{7}{3x - 1}. \quad \mathrm{(第六步)}$
任务:
(1)以上化简过程中,第
(2)以上化简过程中,有一步出现了错误,这一步是第
(3)除纠正上述错误外,就分式化简的过程还需要注意的一些事项,请给同学们提出一条合理化建议.
$\frac{2x^2 - 2}{x^2 - 2x + 1} + \frac{1 - 6x}{3x - 3}$
$= \frac{2(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} + \frac{1 - 6x}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第一步)}$
$= \frac{2(x+1)}{x-1} + \frac{1 - 6x}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第二步)}$
$= \frac{6(x+1)}{3(x-1)} + \frac{1 - 6x}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第三步)}$
$= \frac{6x + 6 + 1 - 6x}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第四步)}$
$= \frac{7}{3(x-1)} \quad \mathrm{(第五步)}$
$= \frac{7}{3x - 1}. \quad \mathrm{(第六步)}$
任务:
(1)以上化简过程中,第
三
步是分式的通分,通分的依据是分式的基本性质
.(2)以上化简过程中,有一步出现了错误,这一步是第
六
步,错误的原因是去括号时,括号里的第二项没有乘3
,并直接写出正确的结果:$\frac{7}{3x-3}$
.(3)除纠正上述错误外,就分式化简的过程还需要注意的一些事项,请给同学们提出一条合理化建议.
答案
(1)三 分式的基本性质
(2)六 去括号时,括号里的第二项没有乘3，正确结果为$\frac{7}{3x-3}$
(3)分式化简的结果要化成最简分式或整式等.
(2)六 去括号时,括号里的第二项没有乘3，正确结果为$\frac{7}{3x-3}$
(3)分式化简的结果要化成最简分式或整式等.
解析
【分析】
解决本题需逐步骤梳理分式化简的操作对应知识点：首先明确通分是将异分母分式转化为同分母分式的操作，结合变形判断通分步骤，回忆通分的理论依据；再逐行核对每一步变形的正确性，重点关注去括号、加减运算的规则，找出错误步骤并分析原因，计算正确结果；最后结合分式化简的常见易错点，提出合理的运算建议即可。
【解析】
(1) 观察化简流程：第一步是对分子、分母因式分解，第二步是对第一个分式约分，第三步将第一个分式的分子、分母同乘3，把两个异分母分式转化为同分母分式，因此第三步是通分；通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
(2) 核对后续变形：第五步得到$\frac{7}{3(x-1)}$，第六步展开分母的括号时，根据乘法分配律，$3(x-1)=3x-3$，题中第六步误写为$\frac{7}{3x-1}$，因此第六步出错；错误原因是去括号时，括号里的第二项没有乘3；正确的化简结果为$\frac{7}{3x-3}$。
(3) 结合分式化简的常见注意事项，可提出建议：分式化简的结果要化成最简分式或整式（答案不唯一，合理即可，如去括号时要正确运用乘法分配律，不要漏乘括号内的项等）。
【答案】
(1) 三；分式的基本性质
(2) 六；去括号时，括号里的第二项没有乘3；$\frac{7}{3x-3}$
(3) 分式化简的结果要化成最简分式或整式（合理即可）
【知识点】
分式的基本性质；分式的加减运算；去括号法则
【点评】
本题通过辨析分式化简的步骤，考查学生对分式运算流程的掌握程度，能有效检验学生对运算易错点的辨识能力，帮助学生养成严谨的运算习惯。
【难度系数】
0.8
解决本题需逐步骤梳理分式化简的操作对应知识点：首先明确通分是将异分母分式转化为同分母分式的操作，结合变形判断通分步骤，回忆通分的理论依据；再逐行核对每一步变形的正确性，重点关注去括号、加减运算的规则，找出错误步骤并分析原因，计算正确结果；最后结合分式化简的常见易错点，提出合理的运算建议即可。
【解析】
(1) 观察化简流程：第一步是对分子、分母因式分解，第二步是对第一个分式约分，第三步将第一个分式的分子、分母同乘3，把两个异分母分式转化为同分母分式，因此第三步是通分；通分的依据是分式的基本性质，即分式的分子与分母乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
(2) 核对后续变形：第五步得到$\frac{7}{3(x-1)}$，第六步展开分母的括号时，根据乘法分配律，$3(x-1)=3x-3$，题中第六步误写为$\frac{7}{3x-1}$，因此第六步出错；错误原因是去括号时，括号里的第二项没有乘3；正确的化简结果为$\frac{7}{3x-3}$。
(3) 结合分式化简的常见注意事项，可提出建议：分式化简的结果要化成最简分式或整式（答案不唯一，合理即可，如去括号时要正确运用乘法分配律，不要漏乘括号内的项等）。
【答案】
(1) 三；分式的基本性质
(2) 六；去括号时，括号里的第二项没有乘3；$\frac{7}{3x-3}$
(3) 分式化简的结果要化成最简分式或整式（合理即可）
【知识点】
分式的基本性质；分式的加减运算；去括号法则
【点评】
本题通过辨析分式化简的步骤，考查学生对分式运算流程的掌握程度，能有效检验学生对运算易错点的辨识能力，帮助学生养成严谨的运算习惯。
【难度系数】
0.8
7. 已知$F$为整式，若计算$\dfrac{F}{ab+b^2}-\dfrac{b}{a^2+ab}$的结果为$\dfrac{a-b}{ab}$，则$F=$（
A.$a-b$
B.$a+b$
C.$b$
D.$a$
D
）A.$a-b$
B.$a+b$
C.$b$
D.$a$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先根据题目给出的运算结果列出对应的等式，接下来观察等式中各分式的分母，先对分母因式分解找到最简公分母，通过等式两边同乘最简公分母的方法消去分母，将分式等式转化为整式等式，最后化简整式等式即可求出F的值，也可代入原式检验结果是否正确。
【解析】
根据题意可列等式：
$\dfrac{F}{ab+b^2}-\dfrac{b}{a^2+ab}=\dfrac{a-b}{ab}$
第一步对各分母因式分解：
$ab+b^2 = b(a+b)$，$a^2+ab = a(a+b)$，可得最简公分母为$ab(a+b)$。
因为$a$、$b$均为分母的因式，所以$a≠0$，$b≠0$，$a+b≠0$，等式两边同时乘$ab(a+b)$消去分母，得：
$aF - b· b = (a-b)(a+b)$
分别化简左右两边：
左边为$aF - b^2$，右边利用平方差公式展开得$a^2 - b^2$，因此等式变为：
$aF - b^2 = a^2 - b^2$
两边同时加$b^2$得：$aF = a^2$，两边同时除以$a$（$a≠0$），解得：$F=a$。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式的运算
2. 因式分解
3. 整式化简
【点评】
本题是分式运算的常规应用题型，重点考查学生对分式去分母、整式化简等基础方法的掌握程度，计算时要注意给等式每一项都乘最简公分母，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：首先根据题目给出的运算结果列出对应的等式，接下来观察等式中各分式的分母，先对分母因式分解找到最简公分母，通过等式两边同乘最简公分母的方法消去分母，将分式等式转化为整式等式，最后化简整式等式即可求出F的值，也可代入原式检验结果是否正确。
【解析】
根据题意可列等式：
$\dfrac{F}{ab+b^2}-\dfrac{b}{a^2+ab}=\dfrac{a-b}{ab}$
第一步对各分母因式分解：
$ab+b^2 = b(a+b)$，$a^2+ab = a(a+b)$，可得最简公分母为$ab(a+b)$。
因为$a$、$b$均为分母的因式，所以$a≠0$，$b≠0$，$a+b≠0$，等式两边同时乘$ab(a+b)$消去分母，得：
$aF - b· b = (a-b)(a+b)$
分别化简左右两边：
左边为$aF - b^2$，右边利用平方差公式展开得$a^2 - b^2$，因此等式变为：
$aF - b^2 = a^2 - b^2$
两边同时加$b^2$得：$aF = a^2$，两边同时除以$a$（$a≠0$），解得：$F=a$。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式的运算
2. 因式分解
3. 整式化简
【点评】
本题是分式运算的常规应用题型，重点考查学生对分式去分母、整式化简等基础方法的掌握程度，计算时要注意给等式每一项都乘最简公分母，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.8
8. 计算下列各题：
(1) $1 - \frac{a}{a-1} + \frac{2}{a^2 -1}$；
(2) $\frac{2xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{x+y} - \frac{y}{y-x}$。
(1) $1 - \frac{a}{a-1} + \frac{2}{a^2 -1}$；
(2) $\frac{2xy}{x^2 - y^2} + \frac{x}{x+y} - \frac{y}{y-x}$。
答案
(1) $-\frac{1}{a+1}$
(2) $\frac{x+y}{x-y}$
(2) $\frac{x+y}{x-y}$
解析
【分析】
这两道题属于异分母分式的加减运算，解题思路如下：①先对各分式的分母因式分解，找到所有分母的最简公分母；②利用分式的基本性质将异分母分式通分为同分母分式；③根据同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，计算分子部分；④对计算结果的分子、分母因式分解，约去公因式，化为最简分式即可。注意通分时要关注符号变化，比如$y-x$可以变形为$-(x-y)$，避免符号错误。
【解析】
(1) 先对分母因式分解得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此最简公分母为$(a+1)(a-1)$，通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{a(a+1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{2}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{(a^2-1) - a(a+1) + 2}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a^2 -1 -a^2 -a +2}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{-a +1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{-(a-1)}{(a+1)(a-1)}\\&=-\frac{1}{a+1}\end{aligned}$
(2) 先对分母因式分解得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$y-x=-(x-y)$，因此最简公分母为$(x+y)(x-y)$，通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{2xy + x(x-y) + y(x+y)}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{2xy + x^2 -xy + xy + y^2}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{x+y}{x-y}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{a+1}$；(2) $\frac{x+y}{x-y}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，核心考查异分母分式加减的运算流程，解题的关键是正确对分母因式分解、处理好通分时的符号变化，最后结果要保证是最简分式，能帮助学生熟练掌握分式加减的运算技能。
【难度系数】
0.7
这两道题属于异分母分式的加减运算，解题思路如下：①先对各分式的分母因式分解，找到所有分母的最简公分母；②利用分式的基本性质将异分母分式通分为同分母分式；③根据同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，计算分子部分；④对计算结果的分子、分母因式分解，约去公因式，化为最简分式即可。注意通分时要关注符号变化，比如$y-x$可以变形为$-(x-y)$，避免符号错误。
【解析】
(1) 先对分母因式分解得$a^2-1=(a+1)(a-1)$，因此最简公分母为$(a+1)(a-1)$，通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{a(a+1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{2}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{(a^2-1) - a(a+1) + 2}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a^2 -1 -a^2 -a +2}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{-a +1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{-(a-1)}{(a+1)(a-1)}\\&=-\frac{1}{a+1}\end{aligned}$
(2) 先对分母因式分解得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，$y-x=-(x-y)$，因此最简公分母为$(x+y)(x-y)$，通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2xy}{(x+y)(x-y)} + \frac{x(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{y(x+y)}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{2xy + x(x-y) + y(x+y)}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{2xy + x^2 -xy + xy + y^2}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{x^2 + 2xy + y^2}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{(x+y)^2}{(x+y)(x-y)}\\&=\frac{x+y}{x-y}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{a+1}$；(2) $\frac{x+y}{x-y}$
【知识点】
分式的加减运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的常规题型，核心考查异分母分式加减的运算流程，解题的关键是正确对分母因式分解、处理好通分时的符号变化，最后结果要保证是最简分式，能帮助学生熟练掌握分式加减的运算技能。
【难度系数】
0.7
9. 计算：$\frac{5}{a-2} - a - 2$.（用两种方法计算）
答案
方法1:原式$=\frac{5}{a-2}-\frac{a(a-2)}{a-2}-\frac{2(a-2)}{a-2}$
$=\frac{5-a^2+2a-2a+4}{a-2}$
$=\frac{9-a^2}{a-2}.$
方法2:原式$=\frac{5}{a-2}-(a+2)$
$=\frac{5-(a+2)(a-2)}{a-2}$
$=\frac{9-a^2}{a-2}.$
$=\frac{5-a^2+2a-2a+4}{a-2}$
$=\frac{9-a^2}{a-2}.$
方法2:原式$=\frac{5}{a-2}-(a+2)$
$=\frac{5-(a+2)(a-2)}{a-2}$
$=\frac{9-a^2}{a-2}.$
解析
【分析】
本题是分式与整式的加减运算，有两种常见解题思路：方法1可将所有整式项分别转化为分母为$a-2$的分式，统一为同分母分式后，按“分母不变、分子相加减”的法则运算，最后化简分子即可；方法2可先将后两项合并为整体$-(a+2)$，再将整体与前面的分式通分，分子部分可利用平方差公式简化计算，运算时需注意符号处理。
【解析】
方法1：
将整式项通分，统一分母为$a-2$：
原式$=\frac{5}{a-2}-\frac{a(a-2)}{a-2}-\frac{2(a-2)}{a-2}$
合并分子并化简：
$=\frac{5-a(a-2)-2(a-2)}{a-2}$
$=\frac{5-a^2+2a-2a+4}{a-2}$
$=\frac{9-a^2}{a-2}$
方法2：
先将后两项合并为整体：
原式$=\frac{5}{a-2}-(a+2)$
整体通分，分子利用平方差公式计算：
$=\frac{5-(a+2)(a-2)}{a-2}$
$=\frac{5-(a^2-4)}{a-2}$
$=\frac{9-a^2}{a-2}$
【答案】
$\frac{9-a^2}{a-2}$
【知识点】
分式的加减法；通分；平方差公式
【点评】
本题考查分式与整式的加减运算，两种解法分别对应分步通分和整体通分的技巧，其中整体通分结合乘法公式可大幅简化计算步骤，解题时要格外注意通分、去括号过程中的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
本题是分式与整式的加减运算，有两种常见解题思路：方法1可将所有整式项分别转化为分母为$a-2$的分式，统一为同分母分式后，按“分母不变、分子相加减”的法则运算，最后化简分子即可；方法2可先将后两项合并为整体$-(a+2)$，再将整体与前面的分式通分，分子部分可利用平方差公式简化计算，运算时需注意符号处理。
【解析】
方法1：
将整式项通分，统一分母为$a-2$：
原式$=\frac{5}{a-2}-\frac{a(a-2)}{a-2}-\frac{2(a-2)}{a-2}$
合并分子并化简：
$=\frac{5-a(a-2)-2(a-2)}{a-2}$
$=\frac{5-a^2+2a-2a+4}{a-2}$
$=\frac{9-a^2}{a-2}$
方法2：
先将后两项合并为整体：
原式$=\frac{5}{a-2}-(a+2)$
整体通分，分子利用平方差公式计算：
$=\frac{5-(a+2)(a-2)}{a-2}$
$=\frac{5-(a^2-4)}{a-2}$
$=\frac{9-a^2}{a-2}$
【答案】
$\frac{9-a^2}{a-2}$
【知识点】
分式的加减法；通分；平方差公式
【点评】
本题考查分式与整式的加减运算，两种解法分别对应分步通分和整体通分的技巧，其中整体通分结合乘法公式可大幅简化计算步骤，解题时要格外注意通分、去括号过程中的符号变化，避免符号出错。
【难度系数】
0.7
10. 如图,标号为①②③④的长方形不重叠地围成长方形$PQMN$,已知①和②能够重合,③和④能够重合,这四个长方形的面积都是$S$,若$\frac{AE - 3DE}{2AE}=0$,则$\frac{S_{长方形ABCD}}{S_{长方形PQMN}}$的值为
4
.答案
4
解析
【分析】
首先根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），推导出AE和DE的数量关系，用参数表示出AE、DE的长度；再结合四个小长方形面积相等、①②重合、③④重合的条件，推出小长方形相邻边的数量关系；最后分别表示出长方形ABCD和PQMN的面积，化简计算即可得到比值。
【解析】
解：
∵ $\frac{AE - 3DE}{2AE}=0$，且分母$2AE≠0$
∴ $AE - 3DE = 0$，即 $AE=3DE$
设 $DE=x$，则 $AE=3x$，$AD=AE+DE=4x$
设长方形①的宽为$a$，则①的面积$S=AE · a = 3xa$
∵ 长方形③的面积也为$S$，且③的长为$DE=x$，设③的宽为$b$
∴ $S = xb$
∴ $3xa = xb$，化简得 $b=3a$
则大长方形$ABCD$的宽$AB = a + b = a + 3a = 4a$
∴ $S_{长方形ABCD}=AD · AB = 4x · 4a = 16xa$
再分析长方形$PQMN$的边长：
$PQMN$的长 = $AE - DE = 3x - x = 2x$
$PQMN$的宽 = $b - a = 3a - a = 2a$
∴ $S_{长方形PQMN}=2x · 2a = 4xa$
因此 $\frac{S_{长方形ABCD}}{S_{长方形PQMN}}=\frac{16xa}{4xa}=4$
【答案】
4
【知识点】
分式值为0的条件，长方形面积计算，代数式化简
【点评】
本题结合几何图形考查分式性质和面积计算，解题的关键是合理设参数，利用面积相等推导各边的数量关系，需要具备基本的数形结合分析能力。
【难度系数】
0.6
首先根据分式值为0的条件（分子为0且分母不为0），推导出AE和DE的数量关系，用参数表示出AE、DE的长度；再结合四个小长方形面积相等、①②重合、③④重合的条件，推出小长方形相邻边的数量关系；最后分别表示出长方形ABCD和PQMN的面积，化简计算即可得到比值。
【解析】
解：
∵ $\frac{AE - 3DE}{2AE}=0$，且分母$2AE≠0$
∴ $AE - 3DE = 0$，即 $AE=3DE$
设 $DE=x$，则 $AE=3x$，$AD=AE+DE=4x$
设长方形①的宽为$a$，则①的面积$S=AE · a = 3xa$
∵ 长方形③的面积也为$S$，且③的长为$DE=x$，设③的宽为$b$
∴ $S = xb$
∴ $3xa = xb$，化简得 $b=3a$
则大长方形$ABCD$的宽$AB = a + b = a + 3a = 4a$
∴ $S_{长方形ABCD}=AD · AB = 4x · 4a = 16xa$
再分析长方形$PQMN$的边长：
$PQMN$的长 = $AE - DE = 3x - x = 2x$
$PQMN$的宽 = $b - a = 3a - a = 2a$
∴ $S_{长方形PQMN}=2x · 2a = 4xa$
因此 $\frac{S_{长方形ABCD}}{S_{长方形PQMN}}=\frac{16xa}{4xa}=4$
【答案】
4
【知识点】
分式值为0的条件，长方形面积计算，代数式化简
【点评】
本题结合几何图形考查分式性质和面积计算，解题的关键是合理设参数，利用面积相等推导各边的数量关系，需要具备基本的数形结合分析能力。
【难度系数】
0.6
