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8. 先化简,再求值:
$( \frac{a+b}{2ab^2} )^3 ÷ ( \frac{a^2 - b^2}{ab^3} )^2 ÷ [ \frac{1}{2(a - b)} ]^2, 其中 a = -\frac{1}{2},$
$b = \frac{2}{3}.$
$( \frac{a+b}{2ab^2} )^3 ÷ ( \frac{a^2 - b^2}{ab^3} )^2 ÷ [ \frac{1}{2(a - b)} ]^2, 其中 a = -\frac{1}{2},$
$b = \frac{2}{3}.$
答案
8. 原式$=\dfrac{a+b}{2a}$.
当 $a=-\dfrac{1}{2},b=\dfrac{2}{3}$ 时,原式$=\dfrac{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{2×(-\dfrac{1}{2})}=-\dfrac{1}{6}$.
当 $a=-\dfrac{1}{2},b=\dfrac{2}{3}$ 时,原式$=\dfrac{-\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}}{2×(-\dfrac{1}{2})}=-\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
这是一道分式乘方及乘除混合运算的化简求值题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后代值计算”的顺序：①先利用分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算三个分式的乘方，同时把$a^2-b^2$用平方差公式因式分解，方便后续约分；②将除法运算统一转化为乘法运算；③找出所有公因式约分得到最简分式；④最后代入$a、b$的值计算，比直接代入原式计算更简便，能降低出错概率。
【解析】
解：先计算乘方，再将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a+b)^3}{(2ab^2)^3} ÷ \frac{(a^2-b^2)^2}{(ab^3)^2} ÷ \frac{1}{[2(a-b)]^2}\\&=\frac{(a+b)^3}{8a^3b^6} ÷ \frac{(a+b)^2(a-b)^2}{a^2b^6} ÷ \frac{1}{4(a-b)^2}\\&=\frac{(a+b)^3}{8a^3b^6} × \frac{a^2b^6}{(a+b)^2(a-b)^2} × 4(a-b)^2\\&=\frac{a+b}{2a}\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{2}{3}$代入化简结果：
$\mathrm{原式}=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{2×(-\frac{1}{2})}=\frac{\frac{1}{6}}{-1}=-\frac{1}{6}$
【答案】
$-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式乘方运算；分式乘除混合运算；平方差公式
【点评】
本题核心考查分式混合运算的运算法则，优先化简再代值可大幅降低运算难度，运算过程中要注意因式分解的正确使用、公因式的准确判断，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
这是一道分式乘方及乘除混合运算的化简求值题，解题遵循“先乘方、再乘除、最后代值计算”的顺序：①先利用分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算三个分式的乘方，同时把$a^2-b^2$用平方差公式因式分解，方便后续约分；②将除法运算统一转化为乘法运算；③找出所有公因式约分得到最简分式；④最后代入$a、b$的值计算，比直接代入原式计算更简便，能降低出错概率。
【解析】
解：先计算乘方，再将除法转化为乘法运算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(a+b)^3}{(2ab^2)^3} ÷ \frac{(a^2-b^2)^2}{(ab^3)^2} ÷ \frac{1}{[2(a-b)]^2}\\&=\frac{(a+b)^3}{8a^3b^6} ÷ \frac{(a+b)^2(a-b)^2}{a^2b^6} ÷ \frac{1}{4(a-b)^2}\\&=\frac{(a+b)^3}{8a^3b^6} × \frac{a^2b^6}{(a+b)^2(a-b)^2} × 4(a-b)^2\\&=\frac{a+b}{2a}\end{aligned}$
将$a=-\frac{1}{2}$，$b=\frac{2}{3}$代入化简结果：
$\mathrm{原式}=\frac{-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}}{2×(-\frac{1}{2})}=\frac{\frac{1}{6}}{-1}=-\frac{1}{6}$
【答案】
$-\dfrac{1}{6}$
【知识点】
分式乘方运算；分式乘除混合运算；平方差公式
【点评】
本题核心考查分式混合运算的运算法则，优先化简再代值可大幅降低运算难度，运算过程中要注意因式分解的正确使用、公因式的准确判断，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.7
9. 如图,将长、宽分别为a,b的长方形硬纸片拼成“带孔”的正方形,已知拼成的大正方形的面积为49,中间的小正方形的面积为1,求$(a^4 - b^4)÷\frac{a^2 + b^2}{ab}÷(6a - 6b)$的值.
答案
9. 14
解析
【分析】
解题时先从几何图形的面积条件入手：首先根据大、小正方形的面积求出边长，结合图形得到a+b和a-b的值；再利用完全平方公式计算出ab的值；接下来对待求的分式混合运算式化简，先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解，约分得到最简形式后，代入前面求出的数值计算即可。
【解析】
1. 求$a+b$和$a-b$的值
由题意得，大正方形面积为49，因此大正方形边长为$\sqrt{49}=7$，结合图形可知$a+b=7$；
小正方形面积为1，因此小正方形边长为$\sqrt{1}=1$，结合图形可知$a-b=1$。
2. 求$ab$的值
根据完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1$ ②
用①-②得：$4ab=48$，解得$ab=12$。
3. 化简待求式
将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4)÷\frac{a^2 + b^2}{ab}÷(6a - 6b)\\=&(a^2-b^2)(a^2+b^2)×\frac{ab}{a^2+b^2}×\frac{1}{6(a-b)}\\=&(a-b)(a+b)×ab×\frac{1}{6(a-b)}\\=&\frac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
4. 代入求值
将$a+b=7$，$ab=12$代入最简式：
原式$=\frac{12×7}{6}=14$
【答案】
14
【知识点】
分式的乘除运算，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是先通过图形的面积关系得到代数式需要的参数值，再正确化简分式后代入计算，计算时注意先约分再求值可简化运算过程。
【难度系数】
0.7
解题时先从几何图形的面积条件入手：首先根据大、小正方形的面积求出边长，结合图形得到a+b和a-b的值；再利用完全平方公式计算出ab的值；接下来对待求的分式混合运算式化简，先将除法转化为乘法，再对多项式因式分解，约分得到最简形式后，代入前面求出的数值计算即可。
【解析】
1. 求$a+b$和$a-b$的值
由题意得，大正方形面积为49，因此大正方形边长为$\sqrt{49}=7$，结合图形可知$a+b=7$；
小正方形面积为1，因此小正方形边长为$\sqrt{1}=1$，结合图形可知$a-b=1$。
2. 求$ab$的值
根据完全平方公式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=1$ ②
用①-②得：$4ab=48$，解得$ab=12$。
3. 化简待求式
将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\begin{aligned}&(a^4 - b^4)÷\frac{a^2 + b^2}{ab}÷(6a - 6b)\\=&(a^2-b^2)(a^2+b^2)×\frac{ab}{a^2+b^2}×\frac{1}{6(a-b)}\\=&(a-b)(a+b)×ab×\frac{1}{6(a-b)}\\=&\frac{ab(a+b)}{6}\end{aligned}$
4. 代入求值
将$a+b=7$，$ab=12$代入最简式：
原式$=\frac{12×7}{6}=14$
【答案】
14
【知识点】
分式的乘除运算，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题核心是先通过图形的面积关系得到代数式需要的参数值，再正确化简分式后代入计算，计算时注意先约分再求值可简化运算过程。
【难度系数】
0.7
10. 某校有一块边长为$x$ m的正方形空地，现设想按图①、图②两种方式种植草皮：
①如图①，在正方形空地上留两条宽为$2m$ m的小路，其余种植草皮；
②如图②，正方形空地四周各留一块边长为$m$ m的正方形空地植树，其余种植草皮。
该校准备两种方式各用5 000元购进草皮。
(1)试分别写出按图①、图②两种方式购进每平方米草皮的价格；
(2)图①中每平方米草皮的价格是图②中每平方米草皮价格的多少倍？
①如图①，在正方形空地上留两条宽为$2m$ m的小路，其余种植草皮；
②如图②，正方形空地四周各留一块边长为$m$ m的正方形空地植树，其余种植草皮。
该校准备两种方式各用5 000元购进草皮。
(1)试分别写出按图①、图②两种方式购进每平方米草皮的价格；
(2)图①中每平方米草皮的价格是图②中每平方米草皮价格的多少倍？
答案
10. (1)
∵ 图①中种植草皮的面积为$(x-2m)^2\ \mathrm{m}^2$,图②中种植草皮的面积为$(x^2-4m^2)\ \mathrm{m}^2$,
∴ 按图①的方式购进每平方米草皮的价格为$\dfrac{5\ 000}{(x-2m)^2}$元,按图②的方式购进每平方米草皮的价格为$\dfrac{5\ 000}{x^2-4m^2}$元.
(2) $\dfrac{5\ 000}{(x-2m)^2} ÷ \dfrac{5\ 000}{x^2-4m^2}$
$=\dfrac{5\ 000}{(x-2m)^2} · \dfrac{(x+2m)(x-2m)}{5\ 000}$
$=\dfrac{x+2m}{x-2m}$.
∴ 图①中每平方米草皮的价格是图②中每平方米草皮价格的$\dfrac{x+2m}{x-2m}$倍.
∵ 图①中种植草皮的面积为$(x-2m)^2\ \mathrm{m}^2$,图②中种植草皮的面积为$(x^2-4m^2)\ \mathrm{m}^2$,
∴ 按图①的方式购进每平方米草皮的价格为$\dfrac{5\ 000}{(x-2m)^2}$元,按图②的方式购进每平方米草皮的价格为$\dfrac{5\ 000}{x^2-4m^2}$元.
(2) $\dfrac{5\ 000}{(x-2m)^2} ÷ \dfrac{5\ 000}{x^2-4m^2}$
$=\dfrac{5\ 000}{(x-2m)^2} · \dfrac{(x+2m)(x-2m)}{5\ 000}$
$=\dfrac{x+2m}{x-2m}$.
∴ 图①中每平方米草皮的价格是图②中每平方米草皮价格的$\dfrac{x+2m}{x-2m}$倍.
解析
【分析】
解题前先明确核心关系：每平方米草皮价格=总购进费用÷草皮种植面积，按以下思路逐步推导：
1. 求草皮面积：图①可通过平移草皮块，得到草皮拼接后是边长为$(x-2m)$的正方形，直接计算面积；图②用大正方形面积减去4个边长为$m$的小正方形面积，即可得到草皮面积。
2. 求单价：用总费用5000元分别除以两个草皮面积，得到对应单价。
3. 求倍数：用图①的单价除以图②的单价，将分式除法转化为乘法，结合平方差公式因式分解后约分，即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算两种方案的草皮种植面积：
图①中，4块草皮平移拼接后为边长$(x-2m)$的正方形，草皮面积为$(x-2m)^2\ \mathrm{m}^2$；
图②中，大正方形面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$，4块植树小正方形总面积为$4m^2\ \mathrm{m}^2$，草皮面积为$(x^2-4m^2)\ \mathrm{m}^2$。
已知两种方式购进总费用均为5000元，因此：
图①每平方米草皮价格为$\dfrac{5000}{(x-2m)^2}$元；
图②每平方米草皮价格为$\dfrac{5000}{x^2-4m^2}$元。
(2) 求图①单价是图②单价的倍数，列式计算如下：
$\begin{aligned}\dfrac{5000}{(x-2m)^2} ÷ \dfrac{5000}{x^2-4m^2}&=\dfrac{5000}{(x-2m)^2} · \dfrac{x^2-4m^2}{5000}\\&=\dfrac{5000}{(x-2m)^2} · \dfrac{(x+2m)(x-2m)}{5000}\\&=\dfrac{x+2m}{x-2m}\end{aligned}$
【答案】
(1) 图①每平方米草皮价格为$\boldsymbol{\dfrac{5000}{(x-2m)^2}}$元，图②每平方米草皮价格为$\boldsymbol{\dfrac{5000}{x^2-4m^2}}$元；
(2) 图①中每平方米草皮的价格是图②的$\boldsymbol{\dfrac{x+2m}{x-2m}}$倍。
【知识点】
列代数式，分式除法运算，平方差公式
【点评】
本题结合实际种植场景考查代数式与分式运算的应用，解题核心是准确求出两种方案的草皮面积，计算分式除法时先因式分解再约分，可简化计算过程、降低出错率。
【难度系数】
0.7
解题前先明确核心关系：每平方米草皮价格=总购进费用÷草皮种植面积，按以下思路逐步推导：
1. 求草皮面积：图①可通过平移草皮块，得到草皮拼接后是边长为$(x-2m)$的正方形，直接计算面积；图②用大正方形面积减去4个边长为$m$的小正方形面积，即可得到草皮面积。
2. 求单价：用总费用5000元分别除以两个草皮面积，得到对应单价。
3. 求倍数：用图①的单价除以图②的单价，将分式除法转化为乘法，结合平方差公式因式分解后约分，即可得到结果。
【解析】
(1) 先计算两种方案的草皮种植面积：
图①中，4块草皮平移拼接后为边长$(x-2m)$的正方形，草皮面积为$(x-2m)^2\ \mathrm{m}^2$；
图②中，大正方形面积为$x^2\ \mathrm{m}^2$，4块植树小正方形总面积为$4m^2\ \mathrm{m}^2$，草皮面积为$(x^2-4m^2)\ \mathrm{m}^2$。
已知两种方式购进总费用均为5000元，因此：
图①每平方米草皮价格为$\dfrac{5000}{(x-2m)^2}$元；
图②每平方米草皮价格为$\dfrac{5000}{x^2-4m^2}$元。
(2) 求图①单价是图②单价的倍数，列式计算如下：
$\begin{aligned}\dfrac{5000}{(x-2m)^2} ÷ \dfrac{5000}{x^2-4m^2}&=\dfrac{5000}{(x-2m)^2} · \dfrac{x^2-4m^2}{5000}\\&=\dfrac{5000}{(x-2m)^2} · \dfrac{(x+2m)(x-2m)}{5000}\\&=\dfrac{x+2m}{x-2m}\end{aligned}$
【答案】
(1) 图①每平方米草皮价格为$\boldsymbol{\dfrac{5000}{(x-2m)^2}}$元，图②每平方米草皮价格为$\boldsymbol{\dfrac{5000}{x^2-4m^2}}$元；
(2) 图①中每平方米草皮的价格是图②的$\boldsymbol{\dfrac{x+2m}{x-2m}}$倍。
【知识点】
列代数式，分式除法运算，平方差公式
【点评】
本题结合实际种植场景考查代数式与分式运算的应用，解题核心是准确求出两种方案的草皮面积，计算分式除法时先因式分解再约分，可简化计算过程、降低出错率。
【难度系数】
0.7
