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8. (★)若一个正多边形的每个内角为144°,则这个正多边形的中心角的度数为.
答案
$\boldsymbol{36°}$
解析
【分析】
要解决本题，首先需要求出该正多边形的边数，再根据正多边形中心角的计算公式求解。解题思路如下：①正多边形的每个内角与相邻外角互补，可先求出外角度数；②任意正多边形的外角和恒为360°，用外角和除以单个外角度数即可得到边数；③正多边形的中心角等于360°除以边数，代入计算即可得到结果。也可通过多边形内角和公式列方程先求边数，再计算中心角。
【解析】
解法1：利用外角和求解
1. 求外角度数：
∵正多边形的内角与相邻外角互为邻补角，
∴每个外角的度数为 $180° - 144° = 36°$。
2. 求正多边形的边数$n$：
∵正多边形外角和为$360°$，
∴边数 $n = 360° ÷ 36° = 10$。
3. 求中心角：
正多边形的中心角公式为$\mathrm{中心角} = \frac{360°}{n}$，代入$n=10$得：
$\mathrm{中心角} = 360° ÷ 10 = 36°$。
解法2：利用内角和公式求解
设该正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180° = n× \mathrm{每个内角度数}$，列方程：
$(n-2)×180° = 144° n$
展开得：$180n - 360 = 144n$
移项合并得：$36n = 360$
解得：$n=10$
则中心角为 $360° ÷ 10 = 36°$。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
正多边形的性质，多边形外角和定理，正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形相关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握正多边形内角与外角的关系、外角和恒为360°的特点，以及中心角和边数的对应关系，计算难度低，属于基础必得分题型。
【难度系数】
0.85
要解决本题，首先需要求出该正多边形的边数，再根据正多边形中心角的计算公式求解。解题思路如下：①正多边形的每个内角与相邻外角互补，可先求出外角度数；②任意正多边形的外角和恒为360°，用外角和除以单个外角度数即可得到边数；③正多边形的中心角等于360°除以边数，代入计算即可得到结果。也可通过多边形内角和公式列方程先求边数，再计算中心角。
【解析】
解法1：利用外角和求解
1. 求外角度数：
∵正多边形的内角与相邻外角互为邻补角，
∴每个外角的度数为 $180° - 144° = 36°$。
2. 求正多边形的边数$n$：
∵正多边形外角和为$360°$，
∴边数 $n = 360° ÷ 36° = 10$。
3. 求中心角：
正多边形的中心角公式为$\mathrm{中心角} = \frac{360°}{n}$，代入$n=10$得：
$\mathrm{中心角} = 360° ÷ 10 = 36°$。
解法2：利用内角和公式求解
设该正多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式$(n-2)×180° = n× \mathrm{每个内角度数}$，列方程：
$(n-2)×180° = 144° n$
展开得：$180n - 360 = 144n$
移项合并得：$36n = 360$
解得：$n=10$
则中心角为 $360° ÷ 10 = 36°$。
【答案】
$\boldsymbol{36°}$
【知识点】
正多边形的性质，多边形外角和定理，正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形相关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握正多边形内角与外角的关系、外角和恒为360°的特点，以及中心角和边数的对应关系，计算难度低，属于基础必得分题型。
【难度系数】
0.85
9. (★★)已知圆内接正六边形的边长为$a$，半径为$R$，边心距为$r$，则$a:R:r=$【 】
A.$1:1:\sqrt{3}$
B.$2:2:\sqrt{3}$
C.$1:2:3$
D.$1:2:\sqrt{3}$
A.$1:1:\sqrt{3}$
B.$2:2:\sqrt{3}$
C.$1:2:3$
D.$1:2:\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
解决本题首先回忆圆内接正六边形的性质：圆内接正六边形的中心角为60°，中心到相邻顶点的连线构成的三角形是等边三角形，因此正六边形边长等于外接圆半径。再通过作边心距构造直角三角形，利用勾股定理求出边心距与边长的关系，最后化简三者的比值即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 圆内接正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，
连接正六边形的中心和相邻两个顶点，得到以半径$R$为腰的等腰三角形，
∵ 顶角为$60°$，
∴ 该等腰三角形是等边三角形，
∴ 正六边形的边长$a=R$，即$a:R=1:1$。
过中心作边的垂线，即边心距$r$，此时$r$是边长为$a$的等边三角形的高，
根据勾股定理：$r=\sqrt{R^2 - (\frac{a}{2})^2}$，将$R=a$代入得：
$r=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴ $a:R:r=a:a:\frac{\sqrt{3}}{2}a=2:2:\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础应用题，解题的核心是掌握圆内接正六边形的边长等于其外接圆半径这一特殊性质，再结合直角三角形的相关性质求出边心距，即可快速得到比值。
【难度系数】
0.7
解决本题首先回忆圆内接正六边形的性质：圆内接正六边形的中心角为60°，中心到相邻顶点的连线构成的三角形是等边三角形，因此正六边形边长等于外接圆半径。再通过作边心距构造直角三角形，利用勾股定理求出边心距与边长的关系，最后化简三者的比值即可得到答案。
【解析】
解：
∵ 圆内接正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，
连接正六边形的中心和相邻两个顶点，得到以半径$R$为腰的等腰三角形，
∵ 顶角为$60°$，
∴ 该等腰三角形是等边三角形，
∴ 正六边形的边长$a=R$，即$a:R=1:1$。
过中心作边的垂线，即边心距$r$，此时$r$是边长为$a$的等边三角形的高，
根据勾股定理：$r=\sqrt{R^2 - (\frac{a}{2})^2}$，将$R=a$代入得：
$r=\sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
∴ $a:R:r=a:a:\frac{\sqrt{3}}{2}a=2:2:\sqrt{3}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是正多边形与圆的基础应用题，解题的核心是掌握圆内接正六边形的边长等于其外接圆半径这一特殊性质，再结合直角三角形的相关性质求出边心距，即可快速得到比值。
【难度系数】
0.7
10. (★★)已知一个正多边形的每个内角都比相邻外角的3倍还多20°,求这个正多边形的中心角的度数.
答案
解：设这个正多边形的每个外角的度数为x，则与它相邻的内角的度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角互补，列方程得：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得$x=40°$。
∵任意多边形的外角和为$360°$，
∴这个正多边形的边数为$360° ÷ 40° = 9$。
∴该正多边形的中心角的度数为$360° ÷ 9 = 40°$。
根据内角与相邻外角互补，列方程得：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得$x=40°$。
∵任意多边形的外角和为$360°$，
∴这个正多边形的边数为$360° ÷ 40° = 9$。
∴该正多边形的中心角的度数为$360° ÷ 9 = 40°$。
解析
【分析】
解题时先从正多边形相邻内角和外角互补的性质入手，结合题目给出的内角与外角的数量关系，设未知数列方程先求出单个外角的度数；再利用任意多边形外角和恒为360°的规律，计算出正多边形的边数；最后根据正多边形中心角的计算公式（中心角=360°÷边数），即可求出中心角的度数。
【解析】
设这个正多边形的每个外角的度数为x，则与它相邻的内角的度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角互补（和为180°），列方程得：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得$x=40°$。
∵任意多边形的外角和为$360°$，
∴这个正多边形的边数为$360° ÷ 40° = 9$。
∵正多边形的中心角 = $360° ÷$ 边数，
∴该正多边形的中心角的度数为$360° ÷ 9 = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
正多边形内外角关系；多边形外角和定理；正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握正多边形相邻内角外角互补、外角和固定为360°的核心性质，理清已知条件和所求量的逻辑关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从正多边形相邻内角和外角互补的性质入手，结合题目给出的内角与外角的数量关系，设未知数列方程先求出单个外角的度数；再利用任意多边形外角和恒为360°的规律，计算出正多边形的边数；最后根据正多边形中心角的计算公式（中心角=360°÷边数），即可求出中心角的度数。
【解析】
设这个正多边形的每个外角的度数为x，则与它相邻的内角的度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角互补（和为180°），列方程得：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得$x=40°$。
∵任意多边形的外角和为$360°$，
∴这个正多边形的边数为$360° ÷ 40° = 9$。
∵正多边形的中心角 = $360° ÷$ 边数，
∴该正多边形的中心角的度数为$360° ÷ 9 = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
正多边形内外角关系；多边形外角和定理；正多边形中心角计算
【点评】
本题是正多边形性质的基础应用题，解题关键是熟练掌握正多边形相邻内角外角互补、外角和固定为360°的核心性质，理清已知条件和所求量的逻辑关联即可快速求解。
【难度系数】
0.7
11. (★★)如图,正六边形ABCDEF的中心为原点O,顶点B,E在x轴上,半径长为4,则顶点F的坐标为【 】
A.$(-2,2\sqrt{3})$
B.$(2,2\sqrt{3})$
C.$(-2,4)$
D.$(2\sqrt{3},4)$
A.$(-2,2\sqrt{3})$
B.$(2,2\sqrt{3})$
C.$(-2,4)$
D.$(2\sqrt{3},4)$
答案
B
解析
【分析】
要确定顶点F的坐标，可结合正六边形的性质分析：首先正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，且正六边形的半径等于边长，连接OF可知OF的长度等于半径4；再确定OF与x轴正方向的夹角，过F作x轴的垂线，利用三角函数分别计算F点的横、纵坐标即可。
【解析】
连接OF，
∵正六边形ABCDEF的中心为原点O，半径为4，
∴正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，$OF=4$。
由图可知OF与x轴正半轴的夹角为$60°$，过点F作$FG⊥ x$轴于点G，
在$Rt△ FOG$中：
横坐标$OG=OF·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
纵坐标$FG=OF·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∵F在第一象限，
∴F点坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形，平面直角坐标系
【点评】
本题是正六边形性质的基础应用题，解题核心是熟记正六边形中心角为$60°$、半径等于边长的特点，结合三角函数即可快速求出点的坐标，是平面几何与坐标系结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
要确定顶点F的坐标，可结合正六边形的性质分析：首先正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，且正六边形的半径等于边长，连接OF可知OF的长度等于半径4；再确定OF与x轴正方向的夹角，过F作x轴的垂线，利用三角函数分别计算F点的横、纵坐标即可。
【解析】
连接OF，
∵正六边形ABCDEF的中心为原点O，半径为4，
∴正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，$OF=4$。
由图可知OF与x轴正半轴的夹角为$60°$，过点F作$FG⊥ x$轴于点G，
在$Rt△ FOG$中：
横坐标$OG=OF·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
纵坐标$FG=OF·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∵F在第一象限，
∴F点坐标为$(2,2\sqrt{3})$。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质，解直角三角形，平面直角坐标系
【点评】
本题是正六边形性质的基础应用题，解题核心是熟记正六边形中心角为$60°$、半径等于边长的特点，结合三角函数即可快速求出点的坐标，是平面几何与坐标系结合的常考题型。
【难度系数】
0.7
12. (★★)如图,在边长为2的正八边形中,把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD,则四边形ABCD的周长是
【 】
A.24
B.$12\sqrt{2}$
C.16
D.$8+8\sqrt{2}$
【 】
A.24
B.$12\sqrt{2}$
C.16
D.$8+8\sqrt{2}$
答案
D
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察图形特征，正八边形的各边相等、各内角相等，其不相邻边延长后形成的四边形ABCD是正方形，四个角截去的部分均为等腰直角三角形；第二步，根据正八边形边长为2，利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边长；第三步，计算正方形ABCD的边长，再乘4即可得到周长。
【解析】
∵ 正八边形的外角为45°，
∴ 四个角截去的三角形均为等腰直角三角形，且斜边长等于正八边形的边长2。
设等腰直角三角形的直角边长为$a$，由勾股定理得：
$a^2+a^2=2^2$
解得$a=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
观察可知四边形ABCD是正方形，其边长为：$\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$
∴ 四边形ABCD的周长为：$4×(2+2\sqrt{2})=8+8\sqrt{2}$
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理，正方形周长计算
【点评】
本题重点考查对组合图形的分析能力，解题的关键是识别出截去的四个小三角形为等腰直角三角形，进而求出正方形的边长，题目综合性不强，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先观察图形特征，正八边形的各边相等、各内角相等，其不相邻边延长后形成的四边形ABCD是正方形，四个角截去的部分均为等腰直角三角形；第二步，根据正八边形边长为2，利用勾股定理求出等腰直角三角形的直角边长；第三步，计算正方形ABCD的边长，再乘4即可得到周长。
【解析】
∵ 正八边形的外角为45°，
∴ 四个角截去的三角形均为等腰直角三角形，且斜边长等于正八边形的边长2。
设等腰直角三角形的直角边长为$a$，由勾股定理得：
$a^2+a^2=2^2$
解得$a=\sqrt{2}$（边长为正，舍去负解）。
观察可知四边形ABCD是正方形，其边长为：$\sqrt{2}+2+\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$
∴ 四边形ABCD的周长为：$4×(2+2\sqrt{2})=8+8\sqrt{2}$
【答案】
D
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理，正方形周长计算
【点评】
本题重点考查对组合图形的分析能力，解题的关键是识别出截去的四个小三角形为等腰直角三角形，进而求出正方形的边长，题目综合性不强，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.7
13. (★★)如图,六边形ABCDEF是$\odot O$的内接正六边形,设正六边形ABCDEF的面积为$S_1$,△ACE的面积为$S_2$,则$\frac{S_1}{S_2}$的值为.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时可先利用正六边形的性质：内接于圆的正六边形边长等于外接圆半径，每个内角为120°。我们可以设外接圆半径为参数r，先分别计算正六边形的面积$S_1$和△ACE的面积$S_2$，再求二者的比值；也可以通过图形分割，观察正六边形被对角线分割后各部分的面积关系，快速得到结果。
【解析】
设⊙O的半径为r，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴正六边形的边长$AB=BC=CD=DE=EF=FA=r$，每个内角为120°，
正六边形可分割为6个边长为r的全等正三角形，因此正六边形面积：
$S_1=6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$。
接下来求△ACE的面积：
由正六边形的对称性可得$AC=CE=EA$，即△ACE是等边三角形。
过点B作$BG⊥AC$于点G，
∵$AB=BC=r$，$∠ABC=120°$，
∴$∠ABG=60°$，
在Rt△ABG中，$AG=AB×\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴$AC=2AG=\sqrt{3}r$，
则等边△ACE的面积：
$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}r)^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$。
因此$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2}{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
正多边形和圆的性质、等边三角形面积计算、三角函数应用
【点评】
本题主要考查正六边形与等边三角形的面积计算，解题关键是掌握正六边形的边长与外接圆半径相等的性质，既可以通过参数计算面积求比值，也可以通过分割图形直观分析面积关系，方法灵活。
【难度系数】
0.7
解题时可先利用正六边形的性质：内接于圆的正六边形边长等于外接圆半径，每个内角为120°。我们可以设外接圆半径为参数r，先分别计算正六边形的面积$S_1$和△ACE的面积$S_2$，再求二者的比值；也可以通过图形分割，观察正六边形被对角线分割后各部分的面积关系，快速得到结果。
【解析】
设⊙O的半径为r，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴正六边形的边长$AB=BC=CD=DE=EF=FA=r$，每个内角为120°，
正六边形可分割为6个边长为r的全等正三角形，因此正六边形面积：
$S_1=6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$。
接下来求△ACE的面积：
由正六边形的对称性可得$AC=CE=EA$，即△ACE是等边三角形。
过点B作$BG⊥AC$于点G，
∵$AB=BC=r$，$∠ABC=120°$，
∴$∠ABG=60°$，
在Rt△ABG中，$AG=AB×\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}r$，
∴$AC=2AG=\sqrt{3}r$，
则等边△ACE的面积：
$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{3}r)^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$。
因此$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2}{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}=2$。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
正多边形和圆的性质、等边三角形面积计算、三角函数应用
【点评】
本题主要考查正六边形与等边三角形的面积计算，解题关键是掌握正六边形的边长与外接圆半径相等的性质，既可以通过参数计算面积求比值，也可以通过分割图形直观分析面积关系，方法灵活。
【难度系数】
0.7
14. (★★)如图,有一个亭子,它的地基是半径长为6 m的正六边形.
(1)求该地基的周长；
(2)求该地基的面积(结果保留根号形式)；
(3)若正六边形的半径用R表示,写出正六边形的面积S关于R的函数解析式.
(1)求该地基的周长；
(2)求该地基的面积(结果保留根号形式)；
(3)若正六边形的半径用R表示,写出正六边形的面积S关于R的函数解析式.
答案
解：
(1) 正六边形的边长等于其外接圆半径，已知该正六边形半径为6 m，
因此边长为6 m，
地基的周长为：$6 × 6 = 36\ (\mathrm{m})$。
(2) 连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG ⊥ AB$于点$G$。
$\because ∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$，$OA=OB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，$AB=OA=6\ \mathrm{m}$，$AG = \frac{1}{2}AB = 3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，边心距$OG = \sqrt{OA^2 - AG^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × AB × OG = \frac{1}{2} × 6 × 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\ (\mathrm{m}^2)$，
地基的面积为：$6 × S_{△ AOB} = 6 × 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3}\ (\mathrm{m}^2)$。
(3) 当正六边形的半径为$R$时，同理可得正六边形的边长为$R$，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
则面积$S = 6 × ( \frac{1}{2} × R × \frac{\sqrt{3}}{2}R ) = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$，
即正六边形的面积$S$关于$R$的函数解析式为$\boldsymbol{S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}$。
答：(1) 该地基的周长为36 m；(2) 该地基的面积为$54\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
(1) 正六边形的边长等于其外接圆半径，已知该正六边形半径为6 m，
因此边长为6 m，
地基的周长为：$6 × 6 = 36\ (\mathrm{m})$。
(2) 连接$OA$、$OB$，过点$O$作$OG ⊥ AB$于点$G$。
$\because ∠ AOB = \frac{360°}{6} = 60°$，$OA=OB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，$AB=OA=6\ \mathrm{m}$，$AG = \frac{1}{2}AB = 3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，边心距$OG = \sqrt{OA^2 - AG^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$，
$\therefore S_{△ AOB} = \frac{1}{2} × AB × OG = \frac{1}{2} × 6 × 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\ (\mathrm{m}^2)$，
地基的面积为：$6 × S_{△ AOB} = 6 × 9\sqrt{3} = 54\sqrt{3}\ (\mathrm{m}^2)$。
(3) 当正六边形的半径为$R$时，同理可得正六边形的边长为$R$，边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
则面积$S = 6 × ( \frac{1}{2} × R × \frac{\sqrt{3}}{2}R ) = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$，
即正六边形的面积$S$关于$R$的函数解析式为$\boldsymbol{S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2}$。
答：(1) 该地基的周长为36 m；(2) 该地基的面积为$54\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解决这道题首先要利用正六边形的核心性质：正六边形的边长等于其外接圆的半径。(1)求周长时，先确定边长，再乘6即可；(2)求面积时，可将正六边形分割为6个全等的等边三角形，先求出单个等边三角形的面积，再乘6得到总面积，计算单个三角形面积时需要先通过勾股定理求出边心距（即等边三角形的高）；(3)推导一般解析式时，把具体半径6替换为字母R，仿照(2)的计算步骤推导即可。
【解析】
(1) 正六边形的边长等于其外接圆半径，已知地基是半径为6m的正六边形，因此正六边形的边长为6m，
地基的周长为 $6×6=36\ \mathrm{m}$。
(2) 连接OA、OB，过点O作$OG⊥ AB$于点G。
$\because ∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，因此$AB=OA=6\ \mathrm{m}$，
由等腰三角形三线合一得$AG=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，由勾股定理得边心距$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
因此$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OG=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$，
地基的面积为$6× S_{△ AOB}=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
(3) 当正六边形的半径为R时，同理可得正六边形边长为R，单个等边三角形的高（边心距）为$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
单个等边三角形面积为$\frac{1}{2}× R×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}R^2$，
因此正六边形面积$S=6×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$，即S关于R的函数解析式为$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$。
【答案】
(1) 36 m；(2) $54\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$；(3) $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是正多边形相关计算的基础题，解题的关键是掌握正六边形可分割为6个全等等边三角形、边长等于外接圆半径的性质，熟练运用勾股定理计算边心距即可解决问题，该类计算是正多边形和圆章节的核心考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要利用正六边形的核心性质：正六边形的边长等于其外接圆的半径。(1)求周长时，先确定边长，再乘6即可；(2)求面积时，可将正六边形分割为6个全等的等边三角形，先求出单个等边三角形的面积，再乘6得到总面积，计算单个三角形面积时需要先通过勾股定理求出边心距（即等边三角形的高）；(3)推导一般解析式时，把具体半径6替换为字母R，仿照(2)的计算步骤推导即可。
【解析】
(1) 正六边形的边长等于其外接圆半径，已知地基是半径为6m的正六边形，因此正六边形的边长为6m，
地基的周长为 $6×6=36\ \mathrm{m}$。
(2) 连接OA、OB，过点O作$OG⊥ AB$于点G。
$\because ∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，且$OA=OB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形，因此$AB=OA=6\ \mathrm{m}$，
由等腰三角形三线合一得$AG=\frac{1}{2}AB=3\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOG$中，由勾股定理得边心距$OG=\sqrt{OA^2-AG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
因此$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× OG=\frac{1}{2}×6×3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$，
地基的面积为$6× S_{△ AOB}=6×9\sqrt{3}=54\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
(3) 当正六边形的半径为R时，同理可得正六边形边长为R，单个等边三角形的高（边心距）为$\frac{\sqrt{3}}{2}R$，
单个等边三角形面积为$\frac{1}{2}× R×\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{\sqrt{3}}{4}R^2$，
因此正六边形面积$S=6×\frac{\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$，即S关于R的函数解析式为$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$。
【答案】
(1) 36 m；(2) $54\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$；(3) $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2$
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是正多边形相关计算的基础题，解题的关键是掌握正六边形可分割为6个全等等边三角形、边长等于外接圆半径的性质，熟练运用勾股定理计算边心距即可解决问题，该类计算是正多边形和圆章节的核心考点，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
