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1. (★)各边、各角的多边形是正多边形,反过来,正多边形的各边、各角.
答案
解：各边$\boldsymbol{相等}$、各角$\boldsymbol{相等}$的多边形是正多边形，反过来，正多边形的各边$\boldsymbol{相等}$、各角$\boldsymbol{相等}$。
解析
【分析】
这道题考查正多边形的基本概念，解题时先回忆正多边形的判定条件和性质：要判定一个多边形是正多边形，需要同时满足两个核心条件，一是所有边长度相等，二是所有内角度数相等，两个条件缺一不可；而正多边形作为特殊的多边形，天然具备边相等、角相等的性质，对应填空即可。
【解析】
根据正多边形的定义可知：各边相等、各角相等的多边形是正多边形；根据正多边形的性质可知：正多边形的各边相等、各角相等。因此四个空依次填入相等、相等、相等、相等。
【答案】
相等；相等；相等；相等
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考查对正多边形定义和性质的掌握，需注意判定正多边形时必须同时满足边相等、角相等两个条件，仅满足其中一个不能判定为正多边形。
【难度系数】
0.9
这道题考查正多边形的基本概念，解题时先回忆正多边形的判定条件和性质：要判定一个多边形是正多边形，需要同时满足两个核心条件，一是所有边长度相等，二是所有内角度数相等，两个条件缺一不可；而正多边形作为特殊的多边形，天然具备边相等、角相等的性质，对应填空即可。
【解析】
根据正多边形的定义可知：各边相等、各角相等的多边形是正多边形；根据正多边形的性质可知：正多边形的各边相等、各角相等。因此四个空依次填入相等、相等、相等、相等。
【答案】
相等；相等；相等；相等
【知识点】
正多边形的定义；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念识记题，重点考查对正多边形定义和性质的掌握，需注意判定正多边形时必须同时满足边相等、角相等两个条件，仅满足其中一个不能判定为正多边形。
【难度系数】
0.9
2. (★)正多边形的叫作正多边形的中心，叫作正多边形的半径，正多边形每一边所对的叫作正多边形的中心角，叫作正多边形的边心距。
答案
解：
外接圆的圆心；
外接圆的半径；
圆心角；
中心到正多边形的一边的距离。
外接圆的圆心；
外接圆的半径；
圆心角；
中心到正多边形的一边的距离。
解析
【分析】
本题考查正多边形和圆相关的基础定义类知识点，解题时首先要明确正多边形均有唯一的外接圆，正多边形的各个核心概念均和它的外接圆要素一一对应：正多边形的中心对应外接圆的圆心，半径对应外接圆的半径，中心角是正多边形的边在外接圆中所对的圆心角，边心距是正多边形中心（即外接圆圆心）到正多边形边的距离，只需准确识记对应定义即可完成填空。
【解析】
根据正多边形的相关定义逐一填空：
1. 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心；
2. 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半径；
3. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；
4. 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
【答案】
外接圆的圆心；外接圆的半径；圆心角；中心到正多边形的一边的距离
【知识点】
正多边形基本概念；正多边形与圆的关系
【点评】
本题属于基础识记类题型，重点考察对正多边形相关核心概念的掌握程度，相关概念是解决正多边形边长、周长、面积计算等问题的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
本题考查正多边形和圆相关的基础定义类知识点，解题时首先要明确正多边形均有唯一的外接圆，正多边形的各个核心概念均和它的外接圆要素一一对应：正多边形的中心对应外接圆的圆心，半径对应外接圆的半径，中心角是正多边形的边在外接圆中所对的圆心角，边心距是正多边形中心（即外接圆圆心）到正多边形边的距离，只需准确识记对应定义即可完成填空。
【解析】
根据正多边形的相关定义逐一填空：
1. 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心；
2. 正多边形的外接圆的半径叫作正多边形的半径；
3. 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；
4. 正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
【答案】
外接圆的圆心；外接圆的半径；圆心角；中心到正多边形的一边的距离
【知识点】
正多边形基本概念；正多边形与圆的关系
【点评】
本题属于基础识记类题型，重点考察对正多边形相关核心概念的掌握程度，相关概念是解决正多边形边长、周长、面积计算等问题的基础，需要熟练记忆。
【难度系数】
0.9
3. (★)下列命题错误的是 【 】
A.各角相等的圆内接多边形是正多边形
B.各边相等的圆内接多边形是正多边形
C.正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补
D.存在一个正多边形的中心角等于其内角
A.各角相等的圆内接多边形是正多边形
B.各边相等的圆内接多边形是正多边形
C.正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补
D.存在一个正多边形的中心角等于其内角
答案
A
解析
【分析】
本题要求选出错误的命题，解题时需结合正多边形的定义、圆内接多边形的性质，以及正多边形中心角、内角的计算公式，逐一验证四个选项的正误，遇到表述绝对的命题可通过举反例的方式判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形。例如圆内接矩形，四个内角均为90°（相等），但矩形的邻边长度不一定相等，不属于正多边形，因此该命题错误。
2. 选项B：各边相等的圆内接多边形，相等的边对应的弧长相等，因此对应的圆周角也相等，即多边形的各角也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的定义，因此该命题正确。
3. 选项C：设正多边形的边数为$n$，则其中心角为$\frac{360°}{n}$，每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，两者相加得：
$\frac{360°}{n}+\frac{(n-2)×180°}{n}=\frac{360°+180° n - 360°}{n}=180°$，因此中心角与一个内角互补，该命题正确。
4. 选项D：令中心角等于内角，即$\frac{360°}{n}=\frac{(n-2)×180°}{n}$，两边同乘$n$化简得$360=180n-360$，解得$n=4$，即正方形的中心角和内角均为90°，存在这样的正多边形，该命题正确。
综上，错误的命题是A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质；圆内接多边形的性质；正多边形角度计算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察对正多边形定义及相关角度性质的理解，容易误判A选项，需要通过举反例的方式辅助验证，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
本题要求选出错误的命题，解题时需结合正多边形的定义、圆内接多边形的性质，以及正多边形中心角、内角的计算公式，逐一验证四个选项的正误，遇到表述绝对的命题可通过举反例的方式判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形。例如圆内接矩形，四个内角均为90°（相等），但矩形的邻边长度不一定相等，不属于正多边形，因此该命题错误。
2. 选项B：各边相等的圆内接多边形，相等的边对应的弧长相等，因此对应的圆周角也相等，即多边形的各角也相等，满足正多边形“各边相等、各角相等”的定义，因此该命题正确。
3. 选项C：设正多边形的边数为$n$，则其中心角为$\frac{360°}{n}$，每个内角为$\frac{(n-2)×180°}{n}$，两者相加得：
$\frac{360°}{n}+\frac{(n-2)×180°}{n}=\frac{360°+180° n - 360°}{n}=180°$，因此中心角与一个内角互补，该命题正确。
4. 选项D：令中心角等于内角，即$\frac{360°}{n}=\frac{(n-2)×180°}{n}$，两边同乘$n$化简得$360=180n-360$，解得$n=4$，即正方形的中心角和内角均为90°，存在这样的正多边形，该命题正确。
综上，错误的命题是A。
【答案】
A
【知识点】
正多边形的性质；圆内接多边形的性质；正多边形角度计算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考察对正多边形定义及相关角度性质的理解，容易误判A选项，需要通过举反例的方式辅助验证，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
4. (★)若一个正多边形的中心角为$36°$,
则这个正多边形的边数是 【 】
A.5
B.8
C.10
D.12
则这个正多边形的边数是 【 】
A.5
B.8
C.10
D.12
答案
C
解析
【分析】
要解决正多边形边数的问题，首先回忆正多边形中心角的相关性质：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角的度数相等。因此已知单个中心角的度数时，只需用周角360°除以单个中心角的度数，即可得到正多边形的边数。
【解析】
设该正多边形的边数为$ n $，根据正多边形中心角的计算公式：
$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$
已知中心角为$ 36° $，代入公式得：
$36°=\frac{360°}{n}$
解得$ n=\frac{360°}{36°}=10 $，因此这个正多边形的边数是10。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；正多边形中心角计算
【点评】
本题是基础常考题，核心考察正多边形中心角与边数的关系，只要牢记正多边形所有中心角之和为360°即可快速求解，计算量小，得分率高。
【难度系数】
0.9
要解决正多边形边数的问题，首先回忆正多边形中心角的相关性质：正多边形的所有中心角之和为周角360°，且每个中心角的度数相等。因此已知单个中心角的度数时，只需用周角360°除以单个中心角的度数，即可得到正多边形的边数。
【解析】
设该正多边形的边数为$ n $，根据正多边形中心角的计算公式：
$\mathrm{中心角}=\frac{360°}{n}$
已知中心角为$ 36° $，代入公式得：
$36°=\frac{360°}{n}$
解得$ n=\frac{360°}{36°}=10 $，因此这个正多边形的边数是10。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质；正多边形中心角计算
【点评】
本题是基础常考题，核心考察正多边形中心角与边数的关系，只要牢记正多边形所有中心角之和为360°即可快速求解，计算量小，得分率高。
【难度系数】
0.9
5. (★)将边长为3 cm的正三角形各边三等分,以这6个分点为顶点构成一个正六边形,则这个正六边形的面积为 【 】
A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{8}\ \mathrm{cm}^2$
D.$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$\frac{3\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{8}\ \mathrm{cm}^2$
D.$3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
【分析】
本题可采用割补法求解面积：首先观察图形特征，正六边形由大正三角形各边三等分点连接而成，大正三角形三个角被截去的部分均为小正三角形。第一步先根据三等分确定小正三角形的边长，第二步分别计算大正三角形和三个小正三角形的面积，第三步用大正三角形面积减去三个小正三角形的面积即可得到正六边形的面积。
【解析】
解：
∵原正三角形边长为3 cm，各边三等分后每段长度为 $3÷3=1\ \mathrm{cm}$
∵原三角形是正三角形，每个内角为60°，截去的角上的三角形两边长均为1 cm，夹角为60°
∴截去的三个三角形均为边长为1 cm的正三角形
正三角形面积公式为 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为正三角形边长）
① 大正三角形面积：$S_{\mathrm{大}}=\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
② 单个小正三角形面积：$S_{\mathrm{小}}=\frac{\sqrt{3}}{4}×1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
三个小正三角形总面积：$3S_{\mathrm{小}}=3×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
③ 正六边形面积：$S_{\mathrm{六边形}}=S_{\mathrm{大}}-3S_{\mathrm{小}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
正三角形的性质，正三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过图形特征识别出截去的小三角形为边长1cm的正三角形，利用割补法即可快速求解，也可将正六边形拆分为6个边长1cm的正三角形直接计算面积，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
本题可采用割补法求解面积：首先观察图形特征，正六边形由大正三角形各边三等分点连接而成，大正三角形三个角被截去的部分均为小正三角形。第一步先根据三等分确定小正三角形的边长，第二步分别计算大正三角形和三个小正三角形的面积，第三步用大正三角形面积减去三个小正三角形的面积即可得到正六边形的面积。
【解析】
解：
∵原正三角形边长为3 cm，各边三等分后每段长度为 $3÷3=1\ \mathrm{cm}$
∵原三角形是正三角形，每个内角为60°，截去的角上的三角形两边长均为1 cm，夹角为60°
∴截去的三个三角形均为边长为1 cm的正三角形
正三角形面积公式为 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为正三角形边长）
① 大正三角形面积：$S_{\mathrm{大}}=\frac{\sqrt{3}}{4}×3^2=\frac{9\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
② 单个小正三角形面积：$S_{\mathrm{小}}=\frac{\sqrt{3}}{4}×1^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
三个小正三角形总面积：$3S_{\mathrm{小}}=3×\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\ \mathrm{cm}^2$
③ 正六边形面积：$S_{\mathrm{六边形}}=S_{\mathrm{大}}-3S_{\mathrm{小}}=\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{cm}^2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
正三角形的性质，正三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是通过图形特征识别出截去的小三角形为边长1cm的正三角形，利用割补法即可快速求解，也可将正六边形拆分为6个边长1cm的正三角形直接计算面积，解题方法灵活。
【难度系数】
0.8
6. (★★)如图，D，E分别是$\odot O$的内接$△ ABC$的AB，AC边上的中点，若$DE=1$，$∠ A=45°$，则$\overset{\frown}{BC}$的长等于 【 】
A.$\sqrt{3}π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$π$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
A.$\sqrt{3}π$
B.$\sqrt{2}π$
C.$π$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}π$
答案
D
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，D、E是AB、AC边的中点，可利用三角形中位线定理求出BC的长度；第二步，已知圆周角∠A的度数，根据圆周角定理可求出弧BC对应的圆心角的度数；第三步，结合圆心角和BC的长度求出圆的半径，最后代入弧长公式即可算出弧BC的长度。
【解析】
1. 求BC的长度：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理得：$BC=2DE$，已知$DE=1$，
∴$BC=2×1=2$。
2. 求弧BC对应的圆心角度数：
连接OB、OC，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵$∠ BAC=45°$，
∴$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$。
3. 求⊙O的半径：
设⊙O的半径为$r$，则$OB=OC=r$，
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：$OB^2+OC^2=BC^2$，
即$r^2+r^2=2^2$，解得$r=\sqrt{2}$（半径为正，舍去负根）。
4. 计算弧BC的长度：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），
代入$n=90$，$r=\sqrt{2}$得：$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{90×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是基础综合题，将三角形中位线、圆周角定理、弧长公式三个知识点结合考查，解题的关键是梳理清各条件间的关联，逐步推导得到弧长计算所需的圆心角和半径两个核心量，熟练掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，D、E是AB、AC边的中点，可利用三角形中位线定理求出BC的长度；第二步，已知圆周角∠A的度数，根据圆周角定理可求出弧BC对应的圆心角的度数；第三步，结合圆心角和BC的长度求出圆的半径，最后代入弧长公式即可算出弧BC的长度。
【解析】
1. 求BC的长度：
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线。
根据三角形中位线定理得：$BC=2DE$，已知$DE=1$，
∴$BC=2×1=2$。
2. 求弧BC对应的圆心角度数：
连接OB、OC，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∵$∠ BAC=45°$，
∴$∠ BOC=2∠ BAC=2×45°=90°$。
3. 求⊙O的半径：
设⊙O的半径为$r$，则$OB=OC=r$，
在$Rt△ BOC$中，由勾股定理得：$OB^2+OC^2=BC^2$，
即$r^2+r^2=2^2$，解得$r=\sqrt{2}$（半径为正，舍去负根）。
4. 计算弧BC的长度：
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），
代入$n=90$，$r=\sqrt{2}$得：$\overset{\frown}{BC}$的长$=\frac{90×π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}}{2}π$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理，圆周角定理，弧长计算
【点评】
本题是基础综合题，将三角形中位线、圆周角定理、弧长公式三个知识点结合考查，解题的关键是梳理清各条件间的关联，逐步推导得到弧长计算所需的圆心角和半径两个核心量，熟练掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
7. (★★)如图,正五边形ABCDE内接于$\odot O$,P为$\overset{\frown}{DE}$上的一点(点P不与点D重合),则$∠ CPD$的度数为 【 】
A.$72°$
B.$60°$
C.$36°$
D.$30°$
A.$72°$
B.$60°$
C.$36°$
D.$30°$
答案
C
解析
【分析】
要求$∠ CPD$的度数，首先明确$∠ CPD$是$\odot O$的圆周角，它所对的弧是$\overset{\frown}{CD}$。解题思路可分为两步：第一步，利用正五边形的性质求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出$∠ CPD$的度数。
【解析】
连接$OC$、$OD$。
$\because$ 五边形$ABCDE$是正五边形，内接于$\odot O$
$\therefore$ 各边对应的圆心角相等，$∠ COD = \frac{360°}{5} = 72°$
$\because$ $∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
$\therefore$ $∠ CPD = \frac{1}{2}∠ COD = \frac{1}{2} × 72° = 36°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理、圆心角计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准圆周角所对应的弧，结合正多边形内接圆的圆心角性质和圆周角定理求解，是圆与正多边形结合的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
要求$∠ CPD$的度数，首先明确$∠ CPD$是$\odot O$的圆周角，它所对的弧是$\overset{\frown}{CD}$。解题思路可分为两步：第一步，利用正五边形的性质求出$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求出$∠ CPD$的度数。
【解析】
连接$OC$、$OD$。
$\because$ 五边形$ABCDE$是正五边形，内接于$\odot O$
$\therefore$ 各边对应的圆心角相等，$∠ COD = \frac{360°}{5} = 72°$
$\because$ $∠ CPD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆周角，$∠ COD$是$\overset{\frown}{CD}$所对的圆心角
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半
$\therefore$ $∠ CPD = \frac{1}{2}∠ COD = \frac{1}{2} × 72° = 36°$
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理、圆心角计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是找准圆周角所对应的弧，结合正多边形内接圆的圆心角性质和圆周角定理求解，是圆与正多边形结合的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
