登录
15. (★★★)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图,由六条等弧连接而成,六条弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点 O,$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心 C 恰好是△ABO 的重心.若$AB=\sqrt{3}$,则花窗的周长(图中实线部分的长度)为 【 】
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
A.$π$
B.$2π$
C.$3π$
D.$4π$
答案
D
解析
【分析】
解题时先从正六边形的性质入手，先判断△OAB的形状：正六边形的中心角为60°，且中心到顶点的距离等于边长，因此△OAB是等边三角形，可得OA=OB=AB=√3。接下来利用等边三角形重心的性质，求出弧AB所在圆的半径CA的长度，再推导弧AB对应的圆心角∠ACB的度数，最后用弧长公式计算单段弧长，乘以总弧数6即可得到花窗的总周长。
【解析】
1. 由题意，六条弧对应的弦构成正六边形，因此正六边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，又$OA=OB$（正六边形外接圆半径相等），故$△ OAB$为等边三角形，因此$OA=OB=AB=\sqrt{3}$。
2. 等边$△ OAB$的高为$h=\sqrt{AB^2-(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{3}{2}$。
3. 因为C是$△ ABO$的重心，重心分高的比为$2:1$，故弧AB所在圆的半径$CA=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}=1$。
4. 等边三角形的重心同时是角平分线的交点，因此$∠ CAB=∠ CBA=\frac{1}{2}×60°=30°$，故$∠ ACB=180°-30°-30°=120°$。
5. 单段弧$\overset{\frown}{AB}$的长度为$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120π×1}{180}=\frac{2π}{3}$。
6. 花窗共由6段等弧构成，因此总周长为$6×\frac{2π}{3}=4π$。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质，三角形重心的性质，弧长计算
【点评】
本题结合生活中的装饰元素考查几何性质的综合应用，需要依次梳理正六边形、等边三角形、重心的相关性质，结合弧长公式逐步推导即可求解，解题时要注意总弧的数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时先从正六边形的性质入手，先判断△OAB的形状：正六边形的中心角为60°，且中心到顶点的距离等于边长，因此△OAB是等边三角形，可得OA=OB=AB=√3。接下来利用等边三角形重心的性质，求出弧AB所在圆的半径CA的长度，再推导弧AB对应的圆心角∠ACB的度数，最后用弧长公式计算单段弧长，乘以总弧数6即可得到花窗的总周长。
【解析】
1. 由题意，六条弧对应的弦构成正六边形，因此正六边形的中心角$∠ AOB=\frac{360°}{6}=60°$，又$OA=OB$（正六边形外接圆半径相等），故$△ OAB$为等边三角形，因此$OA=OB=AB=\sqrt{3}$。
2. 等边$△ OAB$的高为$h=\sqrt{AB^2-(\frac{AB}{2})^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\frac{3}{2}$。
3. 因为C是$△ ABO$的重心，重心分高的比为$2:1$，故弧AB所在圆的半径$CA=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}=1$。
4. 等边三角形的重心同时是角平分线的交点，因此$∠ CAB=∠ CBA=\frac{1}{2}×60°=30°$，故$∠ ACB=180°-30°-30°=120°$。
5. 单段弧$\overset{\frown}{AB}$的长度为$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{120π×1}{180}=\frac{2π}{3}$。
6. 花窗共由6段等弧构成，因此总周长为$6×\frac{2π}{3}=4π$。
【答案】
D
【知识点】
正六边形的性质，三角形重心的性质，弧长计算
【点评】
本题结合生活中的装饰元素考查几何性质的综合应用，需要依次梳理正六边形、等边三角形、重心的相关性质，结合弧长公式逐步推导即可求解，解题时要注意总弧的数量，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
