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20. 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，梯形$AOBC$的边$OB$在$x$轴的正半轴上，$AC // OB$，$BC ⊥ OB$，过点$A$的双曲线$y = \frac{k}{x}$在第一象限交梯形对角线$OC$于点$D$，交边$BC$于点$E$。
(1) 双曲线的另一支在第
(2) 若点$C$的坐标为$(2,2)$，当点$E$在什么位置时，阴影部分的面积$S$最小？最小值为多少？
(3) 若$\frac{OD}{OC} = \frac{1}{2}$，$S_{△ OAC} = 2$，求双曲线对应的函数解析式。
(1) 双曲线的另一支在第
三
象限，$k$的取值范围是$k ＞ 0$
；(2) 若点$C$的坐标为$(2,2)$，当点$E$在什么位置时，阴影部分的面积$S$最小？最小值为多少？
(3) 若$\frac{OD}{OC} = \frac{1}{2}$，$S_{△ OAC} = 2$，求双曲线对应的函数解析式。
答案
20. (1)三，$k ＞ 0$ (2)当点$E$的坐标为$(2, 1)$，即点$E$为$BC$的中点时，阴影部分的面积$S$最小，为$\frac{3}{2}$ (3)$y = \frac{4}{3x}$
21. 如图，直线$y = k_{1}x(x ≥ 0)$与双曲线$y = \frac{k_{2}}{x}(x ＞ 0)$交于点$P(2,4)$。已知点$A(4,0)$，$B(0,3)$，连接$AB$，将$Rt△ AOB$沿$OP$方向平移，使点$O$移动到点$P$，得到$△ A'PB'$。过点$A'$作$A'C // y$轴交双曲线于点$C$。
(1) 求$k_{1}$与$k_{2}$的值；
(2) 求直线$PC$对应的函数解析式；
(3) 直接写出线段$AB$扫过的面积。
(1) 求$k_{1}$与$k_{2}$的值；
(2) 求直线$PC$对应的函数解析式；
(3) 直接写出线段$AB$扫过的面积。
答案
21. (1)$k_1 = 2, k_2 = 8$ (2)$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$ (3)$22$
解析
(1)将点$P(2,4)$代入$y = k_1x$，得$4 = 2k_1$，解得$k_1 = 2$。将点$P(2,4)$代入$y = \frac{k_2}{x}$，得$4 = \frac{k_2}{2}$，解得$k_2 = 8$。
(2)由平移知，点$O$到点$P(2,4)$的平移向量为$(2,4)$。点$A(4,0)$平移后得$A'(4 + 2, 0 + 4) = (6,4)$。因为$A'C // y$轴，所以点$C$的横坐标为$6$，代入双曲线$y = \frac{8}{x}$，得$y = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$，即$C(6,\frac{4}{3})$。设直线$PC$的解析式为$y = mx + n$，将$P(2,4)$，$C(6,\frac{4}{3})$代入，得$\begin{cases}2m + n = 4 \\ 6m + n = \frac{4}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{2}{3} \\ n = \frac{16}{3}\end{cases}$，所以直线$PC$的解析式为$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$。
(3)$22$
(2)由平移知，点$O$到点$P(2,4)$的平移向量为$(2,4)$。点$A(4,0)$平移后得$A'(4 + 2, 0 + 4) = (6,4)$。因为$A'C // y$轴，所以点$C$的横坐标为$6$，代入双曲线$y = \frac{8}{x}$，得$y = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$，即$C(6,\frac{4}{3})$。设直线$PC$的解析式为$y = mx + n$，将$P(2,4)$，$C(6,\frac{4}{3})$代入，得$\begin{cases}2m + n = 4 \\ 6m + n = \frac{4}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -\frac{2}{3} \\ n = \frac{16}{3}\end{cases}$，所以直线$PC$的解析式为$y = -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}$。
(3)$22$
