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1. 如图，A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 AB⊥y 轴于点 B，点 P 在 x 轴上，△ABP 的面积为 2，求反比例函数的解析式.
答案
1. $ y = \frac{4}{x} $
解析
解：设反比例函数解析式为$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$，点$A$的坐标为$(a,b)$。
因为点$A$在反比例函数图象上，所以$b = \frac{k}{a}$，即$k = ab$。
由于$AB ⊥ y$轴于点$B$，则$B$点坐标为$(0,b)$，$AB$的长度为$|a|$。
点$P$在$x$轴上，设$P$点坐标为$(p,0)$，则$△ ABP$中$AB$边上的高为点$P$到$y$轴的距离，即$|p|$。
已知$△ ABP$的面积为$2$，根据三角形面积公式可得：$\frac{1}{2} × |a| × |b| = 2$，即$|ab| = 4$。
因为反比例函数图象在第一象限（由图可知），所以$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$ab = 4$，即$k = 4$。
故反比例函数的解析式为$y = \frac{4}{x}$。
因为点$A$在反比例函数图象上，所以$b = \frac{k}{a}$，即$k = ab$。
由于$AB ⊥ y$轴于点$B$，则$B$点坐标为$(0,b)$，$AB$的长度为$|a|$。
点$P$在$x$轴上，设$P$点坐标为$(p,0)$，则$△ ABP$中$AB$边上的高为点$P$到$y$轴的距离，即$|p|$。
已知$△ ABP$的面积为$2$，根据三角形面积公式可得：$\frac{1}{2} × |a| × |b| = 2$，即$|ab| = 4$。
因为反比例函数图象在第一象限（由图可知），所以$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则$ab = 4$，即$k = 4$。
故反比例函数的解析式为$y = \frac{4}{x}$。
2. 如图，点 A，B 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象上，且点 A，B 的横坐标分别为 a，2a(a＞0)，AC⊥x 轴于点 C，△AOC 的面积为 2.
(1)求 k 的值；
(2)求△AOB 的面积.
(1)求 k 的值；
(2)求△AOB 的面积.
答案
2. (1) $ k = 4 $ (2) $ S_{△ AOB} = 3 $
解析
(1)解：
∵点A在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，且横坐标为$a$，
∴点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$。
∵AC⊥x轴于点C，
∴OC = $a$，AC = $\frac{k}{a}$。
∵△AOC的面积为2，
∴$\frac{1}{2} × OC × AC = 2$，即$\frac{1}{2} × a × \frac{k}{a} = 2$，
解得$k = 4$。
(2)解：由(1)知反比例函数的解析式为$y = \frac{4}{x}$。
∵点A的横坐标为$a$，点B的横坐标为$2a$，
∴点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$，点B的坐标为$(2a,\frac{2}{a})$。
∵AC⊥x轴于点C，
∴点C的坐标为$(a,0)$。
$S_{△AOB} = S_{△AOC} + S_{梯形ACDB} - S_{△BOD}$（设BD⊥x轴于点D，则D点坐标为$(2a,0)$）
$S_{△AOC} = 2$，
$S_{梯形ACDB} = \frac{1}{2}(AC + BD) × CD = \frac{1}{2}(\frac{4}{a} + \frac{2}{a}) × (2a - a) = \frac{1}{2} × \frac{6}{a} × a = 3$，
$S_{△BOD} = \frac{1}{2} × 2a × \frac{2}{a} = 2$，
∴$S_{△AOB} = 2 + 3 - 2 = 3$。
∵点A在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上，且横坐标为$a$，
∴点A的坐标为$(a,\frac{k}{a})$。
∵AC⊥x轴于点C，
∴OC = $a$，AC = $\frac{k}{a}$。
∵△AOC的面积为2，
∴$\frac{1}{2} × OC × AC = 2$，即$\frac{1}{2} × a × \frac{k}{a} = 2$，
解得$k = 4$。
(2)解：由(1)知反比例函数的解析式为$y = \frac{4}{x}$。
∵点A的横坐标为$a$，点B的横坐标为$2a$，
∴点A的坐标为$(a,\frac{4}{a})$，点B的坐标为$(2a,\frac{2}{a})$。
∵AC⊥x轴于点C，
∴点C的坐标为$(a,0)$。
$S_{△AOB} = S_{△AOC} + S_{梯形ACDB} - S_{△BOD}$（设BD⊥x轴于点D，则D点坐标为$(2a,0)$）
$S_{△AOC} = 2$，
$S_{梯形ACDB} = \frac{1}{2}(AC + BD) × CD = \frac{1}{2}(\frac{4}{a} + \frac{2}{a}) × (2a - a) = \frac{1}{2} × \frac{6}{a} × a = 3$，
$S_{△BOD} = \frac{1}{2} × 2a × \frac{2}{a} = 2$，
∴$S_{△AOB} = 2 + 3 - 2 = 3$。
3. 如图，点 E 在 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 上，点 F 在 x 轴的正半轴上，OE = EF，$ S_{△EOF} = 2 $. 求 k 的值.
答案
3. $ k = 2 $
解析
解：设点$E$的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，点$F$的坐标为$(b,0)$，其中$a＞0$，$b＞0$。
因为$OE = EF$，所以根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{a^2 + (\frac{k}{a})^2} = \sqrt{(b - a)^2 + (0 - \frac{k}{a})^2}$
两边平方化简得：$a^2 = (b - a)^2$，即$b = 2a$（$b = 0$舍去）。
又因为$S_{△ EOF} = 2$，所以$\frac{1}{2} × b × \frac{k}{a} = 2$。
将$b = 2a$代入上式：$\frac{1}{2} × 2a × \frac{k}{a} = 2$，解得$k = 2$。
故$k$的值为$2$。
因为$OE = EF$，所以根据两点间距离公式可得：
$\sqrt{a^2 + (\frac{k}{a})^2} = \sqrt{(b - a)^2 + (0 - \frac{k}{a})^2}$
两边平方化简得：$a^2 = (b - a)^2$，即$b = 2a$（$b = 0$舍去）。
又因为$S_{△ EOF} = 2$，所以$\frac{1}{2} × b × \frac{k}{a} = 2$。
将$b = 2a$代入上式：$\frac{1}{2} × 2a × \frac{k}{a} = 2$，解得$k = 2$。
故$k$的值为$2$。
4. 如图，在平面直角坐标系中，过点 M(0，2)的直线 l 与 x 轴平行，且直线 l 分别与反比例函数 $ y = \frac{6}{x}(x ＞ 0) $ 和 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 的图象交于点 P，Q，连接 OP，OQ.
(1)求点 P 的坐标；
(2)若△POQ 的面积为 8，求 k 的值.
(1)求点 P 的坐标；
(2)若△POQ 的面积为 8，求 k 的值.
答案
4. (1) $ P(3, 2) $ (2) $ -10 $
解析
(1) 解：因为直线$l$过点$M(0,2)$且与$x$轴平行，所以直线$l$的解析式为$y = 2$。
点$P$是直线$l$与$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的交点，令$\frac{6}{x}=2$，解得$x = 3$，所以点$P$的坐标为$(3,2)$。
(2) 解：设点$Q$的坐标为$(a,2)$，因为点$Q$在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，所以$2=\frac{k}{a}$，即$k = 2a$。
$△ POQ$的面积为$8$，直线$l$与$y$轴交于点$M(0,2)$，所以$OM = 2$。
$S_{△ POQ}=S_{△ OMQ}+S_{△ OMP}=\frac{1}{2}×|a|×2+\frac{1}{2}×3×2 = |a| + 3$。
由$|a| + 3 = 8$，得$|a| = 5$，因为$x＜0$，所以$a=-5$，则$k = 2a = 2×(-5)=-10$。
点$P$是直线$l$与$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的交点，令$\frac{6}{x}=2$，解得$x = 3$，所以点$P$的坐标为$(3,2)$。
(2) 解：设点$Q$的坐标为$(a,2)$，因为点$Q$在$y=\frac{k}{x}(x＜0)$上，所以$2=\frac{k}{a}$，即$k = 2a$。
$△ POQ$的面积为$8$，直线$l$与$y$轴交于点$M(0,2)$，所以$OM = 2$。
$S_{△ POQ}=S_{△ OMQ}+S_{△ OMP}=\frac{1}{2}×|a|×2+\frac{1}{2}×3×2 = |a| + 3$。
由$|a| + 3 = 8$，得$|a| = 5$，因为$x＜0$，所以$a=-5$，则$k = 2a = 2×(-5)=-10$。
