18. 小丽家饮水机中原有水的温度为$20^{\circ}C$，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温$y$（单位：$^{\circ}C$）与开机时间$x$（单位：分）满足一次函数关系。当水温达到$100^{\circ}C$时，饮水机自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温$y$与开机时间$x$成反比例关系。当水温降至$20^{\circ}C$时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示）。根据图中提供的信息，解答问题：
(1) 当$0 ≤ x ≤ 10$时，求水温$y$与开机时间$x$的函数关系；
(2) 求图中$t$的值；
(3) 若小丽在通电开机后立即外出散步，请你预测小丽散步$70$分钟回到家时饮水机内的温度。

18. (1)$y = 8x + 20$ (2)$t = 50$ (3)$50^{\circ}C$

(1) 设当$0 ≤ x ≤ 10$时，水温$y$与开机时间$x$的函数关系为$y = kx + b$。
已知当$x = 0$时，$y = 20$，代入得$20 = k × 0 + b$，解得$b = 20$。
又知当$x = 10$时，$y = 100$，代入$y = kx + 20$得$100 = 10k + 20$，解得$k = 8$。
所以函数关系为$y = 8x + 20$。
(2) 当水温下降时，设反比例函数关系为$y = \frac{m}{x}$。
因为当$x = 10$时，$y = 100$，代入得$100 = \frac{m}{10}$，解得$m = 1000$，所以$y = \frac{1000}{x}$。
当水温降至$20^{\circ}C$时，$20 = \frac{1000}{t}$，解得$t = 50$。
(3) 一个完整的循环周期为$50$分钟（加热$10$分钟，降温$40$分钟）。
$70÷50 = 1······20$，即经过$1$个完整周期后，又经过$20$分钟。
前$10$分钟加热，后$10$分钟处于降温阶段。
降温阶段函数为$y = \frac{1000}{x}$，此时$x = 10 + 10 = 20$，$y = \frac{1000}{20} = 50$。
所以小丽散步$70$分钟回到家时饮水机内的温度为$50^{\circ}C$。
(1)$y = 8x + 20$
(2)$t = 50$
(3)$50^{\circ}C$

19. 如图，矩形$ABOD$的两边$OB$，$OD$都在坐标轴的正半轴上，$OD = 3$，另两边与反比例函数$y = \frac{k}{x}(k ≠ 0)$的图象分别相交于点$E$，$F$，且$DE = 2$。过点$E$作$EH ⊥ x$轴于点$H$，过点$F$作$FG ⊥ EH$于点$G$。
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 当四边形$AEGF$为正方形时，求点$F$的坐标；
(3) 探究：当$AE ＞ EG$时，矩形$AEGF$与矩形$DOHE$能否全等？说明理由。

19. (1)$y = \frac{6}{x}$ (2)$F(3, 2)$ (3)当$AE ＞ EG$时，矩形$AEGF$与矩形$DOHE$不能全等。理由如下：假设矩形$AEGF$与矩形$DOHE$全等，则$AE = OD = 3, AF = DE = 2, \therefore$点$A$的坐标为$(5, 3)$，点$F$的坐标为$(5, 1)$，而$5 × 1 = 5 ≠ 6, \therefore F$点不在反比例函数$y = \frac{6}{x}$的图象上，$\therefore$矩形$AEGF$与矩形$DOHE$不能全等

(1)解：
∵四边形$ABOD$是矩形，$OD = 3$，$DE = 2$，
∴点$E$的纵坐标为$OD - DE = 3 - 2 = 1$，横坐标与$D$相同为$0$到$OB$间，$EH⊥x$轴，$E$的坐标为$(2, 3)$（此处根据$DE = 2$，$OD$在$y$轴，$D$为$(0, 3)$，则$E$横坐标为$2$，纵坐标$3$）。
∵点$E$在$y = \frac{k}{x}$上，
∴$k = 2×3 = 6$，
∴反比例函数解析式为$y = \frac{6}{x}$。
(2)解：设点$F$的坐标为$(a, b)$，
∵四边形$AEGF$为正方形，
∴$AE = AF$，$AE = OB - EH$，$AF = OD - FG$，
由(1)知$E(2, 3)$，$EH = 3$，$OH = 2$，
$A$点坐标为$(a, 3)$，$AE = a - 2$，$AF = 3 - b$，
∴$a - 2 = 3 - b$，即$a + b = 5$，
又
∵$F(a, b)$在$y = \frac{6}{x}$上，
∴$ab = 6$，
联立$\begin{cases}a + b = 5 \\ ab = 6\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 3 \\ b = 2\end{cases}$或$\begin{cases}a = 2 \\ b = 3\end{cases}$（舍去），
∴点$F$的坐标为$(3, 2)$。
(3)解：不能。理由如下：
假设矩形$AEGF$与矩形$DOHE$全等，
则$AE = OD = 3$，$AF = DE = 2$，
∵$E(2, 3)$，
∴点$A$的坐标为$(2 + 3, 3) = (5, 3)$，
点$F$的坐标为$(5, 3 - 2) = (5, 1)$，
∵$5×1 = 5 ≠ 6$，
∴点$F$不在反比例函数$y = \frac{6}{x}$的图象上，
∴矩形$AEGF$与矩形$DOHE$不能全等。