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15. 如图，等边$△ OAB$和等边$△ AFE$的一边都在$x$轴上，双曲线$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$经过$OB$的中点$C$和$AE$的中点$D$，且等边$△ OAB$的边长为$4$。
(1) 求该双曲线对应的函数解析式；
(2) 求等边$△ AEF$的边长。
(1) 求该双曲线对应的函数解析式；
(2) 求等边$△ AEF$的边长。
答案
15. (1)$y = \frac{\sqrt{3}}{x}(x ＞ 0)$ (2)$4\sqrt{5} - 8$
解析
(1) 解：因为△OAB是等边三角形，边长为4，所以点B的坐标为(2, 2√3)。
因为C是OB的中点，所以点C的坐标为(1, √3)。
将点C(1, √3)代入y = k/x，得k = 1×√3 = √3，
所以双曲线对应的函数解析式为y = √3/x。
(2) 解：设等边△AEF的边长为a，因为点A在x轴上，且OA = 4，所以点A的坐标为(4, 0)，点E的坐标为(4 + a/2, (√3/2)a)。
因为D是AE的中点，所以点D的坐标为(4 + a/4, (√3/4)a)。
因为点D在双曲线y = √3/x上，所以(√3/4)a = √3/(4 + a/4)，
解得a = 4√5 - 8（负值舍去），
所以等边△AEF的边长为4√5 - 8。
因为C是OB的中点，所以点C的坐标为(1, √3)。
将点C(1, √3)代入y = k/x，得k = 1×√3 = √3，
所以双曲线对应的函数解析式为y = √3/x。
(2) 解：设等边△AEF的边长为a，因为点A在x轴上，且OA = 4，所以点A的坐标为(4, 0)，点E的坐标为(4 + a/2, (√3/2)a)。
因为D是AE的中点，所以点D的坐标为(4 + a/4, (√3/4)a)。
因为点D在双曲线y = √3/x上，所以(√3/4)a = √3/(4 + a/4)，
解得a = 4√5 - 8（负值舍去），
所以等边△AEF的边长为4√5 - 8。
16. 如图，一次函数$y = kx + 3$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$的图象交于点$P$，$PA ⊥ x$轴于点$A$，$PB ⊥ y$轴于点$B$，一次函数的图象分别交$x$轴、$y$轴于点$C$、点$D$，且$S_{△ DBP} = 27$，$\frac{OC}{CA} = \frac{1}{2}$。
(1) 求点$D$的坐标；
(2) 求一次函数与反比例函数的解析式；
(3) 根据图象写出当$x$取何值时，一次函数的值不小于反比例函数的值。
(1) 求点$D$的坐标；
(2) 求一次函数与反比例函数的解析式；
(3) 根据图象写出当$x$取何值时，一次函数的值不小于反比例函数的值。
答案
16. (1)$D(0, 3)$ (2)一次函数的解析式为$y = -\frac{3}{2}x + 3$；反比例函数的解析式为$y = -\frac{36}{x}$ (3)当$0 ＜ x ≤ 6$时，一次函数的值不小于反比例函数的值
解析
(1)在一次函数$y = kx + 3$中，令$x = 0$，得$y = 3$，所以点$D$的坐标为$(0, 3)$。
(2)设点$P$的坐标为$(a, b)$，因为$PA ⊥ x$轴，$PB ⊥ y$轴，所以$A(a, 0)$，$B(0, b)$。
一次函数$y = kx + 3$与$x$轴交于点$C$，令$y = 0$，则$kx + 3 = 0$，解得$x = -\frac{3}{k}$，所以$C(-\frac{3}{k}, 0)$。
因为$\frac{OC}{CA} = \frac{1}{2}$，$OC = \left| -\frac{3}{k} \right| = -\frac{3}{k}$（$k ＜ 0$，由图象可知），$CA = a - (-\frac{3}{k}) = a + \frac{3}{k}$，所以$\frac{-\frac{3}{k}}{a + \frac{3}{k}} = \frac{1}{2}$，即$-\frac{6}{k} = a + \frac{3}{k}$，解得$a = -\frac{9}{k}$。
点$P(a, b)$在一次函数$y = kx + 3$上，所以$b = ka + 3 = k(-\frac{9}{k}) + 3 = -9 + 3 = -6$。
$DB = 3 - b = 3 - (-6) = 9$，$BP = a$，$S_{△ DBP} = \frac{1}{2} × DB × BP = \frac{1}{2} × 9 × a = 27$，解得$a = 6$。
因为$a = -\frac{9}{k} = 6$，所以$k = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$，一次函数解析式为$y = -\frac{3}{2}x + 3$。
点$P(6, -6)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$上，所以$-6 = \frac{m}{6}$，解得$m = -36$，反比例函数解析式为$y = -\frac{36}{x}$。
(3)由图象可知，当$0 ＜ x ≤ 6$时，一次函数的值不小于反比例函数的值。
(2)设点$P$的坐标为$(a, b)$，因为$PA ⊥ x$轴，$PB ⊥ y$轴，所以$A(a, 0)$，$B(0, b)$。
一次函数$y = kx + 3$与$x$轴交于点$C$，令$y = 0$，则$kx + 3 = 0$，解得$x = -\frac{3}{k}$，所以$C(-\frac{3}{k}, 0)$。
因为$\frac{OC}{CA} = \frac{1}{2}$，$OC = \left| -\frac{3}{k} \right| = -\frac{3}{k}$（$k ＜ 0$，由图象可知），$CA = a - (-\frac{3}{k}) = a + \frac{3}{k}$，所以$\frac{-\frac{3}{k}}{a + \frac{3}{k}} = \frac{1}{2}$，即$-\frac{6}{k} = a + \frac{3}{k}$，解得$a = -\frac{9}{k}$。
点$P(a, b)$在一次函数$y = kx + 3$上，所以$b = ka + 3 = k(-\frac{9}{k}) + 3 = -9 + 3 = -6$。
$DB = 3 - b = 3 - (-6) = 9$，$BP = a$，$S_{△ DBP} = \frac{1}{2} × DB × BP = \frac{1}{2} × 9 × a = 27$，解得$a = 6$。
因为$a = -\frac{9}{k} = 6$，所以$k = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$，一次函数解析式为$y = -\frac{3}{2}x + 3$。
点$P(6, -6)$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$上，所以$-6 = \frac{m}{6}$，解得$m = -36$，反比例函数解析式为$y = -\frac{36}{x}$。
(3)由图象可知，当$0 ＜ x ≤ 6$时，一次函数的值不小于反比例函数的值。
17. 如图，已知正比例函数$y = ax$的图象与反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象交于点$A(3,2)$。
(1) 试确定上述正比例函数和反比例函数的解析式；
(2) 根据图象回答：在第一象限内，当$x$取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
(3) 点$M(m,n)$是反比例函数图象上一动点，其中$0 ＜ m ＜ 3$。过点$M$作直线$MB // x$轴交$y$轴于点$B$；过点$A$作直线$AC // y$轴交$x$轴于点$C$，交直线$MB$于点$D$。当四边形$OADM$的面积为$6$时，请判断线段$BM$与$DM$的大小关系，并说明理由。
(1) 试确定上述正比例函数和反比例函数的解析式；
(2) 根据图象回答：在第一象限内，当$x$取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
(3) 点$M(m,n)$是反比例函数图象上一动点，其中$0 ＜ m ＜ 3$。过点$M$作直线$MB // x$轴交$y$轴于点$B$；过点$A$作直线$AC // y$轴交$x$轴于点$C$，交直线$MB$于点$D$。当四边形$OADM$的面积为$6$时，请判断线段$BM$与$DM$的大小关系，并说明理由。
答案
17. (1)$y = \frac{2}{3}x, y = \frac{6}{x}$ (2)$0 ＜ x ＜ 3$ (3)$BM = DM$，理由略
解析
(1)解：将点$A(3,2)$代入$y = ax$，得$2 = 3a$，解得$a=\frac{2}{3}$，所以正比例函数解析式为$y = \frac{2}{3}x$。
将点$A(3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{3}$，解得$k = 6$，所以反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2)$0 ＜ x ＜ 3$
(3)$BM = DM$，理由如下：
因为点$M(m,n)$在反比例函数$y = \frac{6}{x}$上，所以$n=\frac{6}{m}$，即$mn = 6$。
$MB// x$轴，$B$在$y$轴上，所以$B(0,n)$，$BM = m$。
$AC// y$轴，$A(3,2)$，所以$C(3,0)$，$D(3,n)$，$DM=3 - m$。
四边形$OADM$的面积$S=\frac{1}{2}(m + 3)(n - 2)+3×2$，由$S = 6$，得$\frac{1}{2}(m + 3)(n - 2)+6=6$，即$(m + 3)(n - 2)=0$。
因为$0 ＜ m ＜ 3$，所以$m + 3≠0$，则$n - 2 = 0$，$n = 2$。
又$mn = 6$，所以$m = 3$（舍去）或$m=\frac{6}{n}=\frac{6}{2}=3$（矛盾），重新计算面积：
$S=S_{梯形OBDC}-S_{△ OBM}-S_{△ ACD}$，$S_{梯形OBDC}=\frac{1}{2}(OB + CD)× OC=\frac{1}{2}(n + 2)×3$，$S_{△ OBM}=\frac{1}{2}m× n$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×3×(2 - n)$（$n ＜ 2$），则$\frac{3}{2}(n + 2)-\frac{1}{2}mn-\frac{3}{2}(2 - n)=6$，化简得$3n - 3 = 6$，$n = 3$，则$m=\frac{6}{3}=2$，$BM = 2$，$DM=3 - 2 = 1$（错误），正确方法：
$S_{OADM}=S_{矩形OBDC}-S_{△ OBM}-S_{△ ACD}$，$OB = n$，$OC = 3$，$CD = 2$，$BM = m$，$AC = 2$，$AD = n - 2$，$OD = 3$，$S_{矩形OBDC}=3n$，$S_{△ OBM}=\frac{1}{2}mn$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×3×(2 - n)$（$n ＞ 2$时$S_{△ ACD}$为负），$3n-\frac{1}{2}mn-\frac{1}{2}×3×(n - 2)=6$，将$mn = 6$代入得$3n - 3-\frac{3}{2}n + 3 = 6$，$\frac{3}{2}n=6$，$n = 4$，$m=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$BM=\frac{3}{2}$，$DM=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，所以$BM = DM$。
将点$A(3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{3}$，解得$k = 6$，所以反比例函数解析式为$y=\frac{6}{x}$。
(2)$0 ＜ x ＜ 3$
(3)$BM = DM$，理由如下：
因为点$M(m,n)$在反比例函数$y = \frac{6}{x}$上，所以$n=\frac{6}{m}$，即$mn = 6$。
$MB// x$轴，$B$在$y$轴上，所以$B(0,n)$，$BM = m$。
$AC// y$轴，$A(3,2)$，所以$C(3,0)$，$D(3,n)$，$DM=3 - m$。
四边形$OADM$的面积$S=\frac{1}{2}(m + 3)(n - 2)+3×2$，由$S = 6$，得$\frac{1}{2}(m + 3)(n - 2)+6=6$，即$(m + 3)(n - 2)=0$。
因为$0 ＜ m ＜ 3$，所以$m + 3≠0$，则$n - 2 = 0$，$n = 2$。
又$mn = 6$，所以$m = 3$（舍去）或$m=\frac{6}{n}=\frac{6}{2}=3$（矛盾），重新计算面积：
$S=S_{梯形OBDC}-S_{△ OBM}-S_{△ ACD}$，$S_{梯形OBDC}=\frac{1}{2}(OB + CD)× OC=\frac{1}{2}(n + 2)×3$，$S_{△ OBM}=\frac{1}{2}m× n$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×3×(2 - n)$（$n ＜ 2$），则$\frac{3}{2}(n + 2)-\frac{1}{2}mn-\frac{3}{2}(2 - n)=6$，化简得$3n - 3 = 6$，$n = 3$，则$m=\frac{6}{3}=2$，$BM = 2$，$DM=3 - 2 = 1$（错误），正确方法：
$S_{OADM}=S_{矩形OBDC}-S_{△ OBM}-S_{△ ACD}$，$OB = n$，$OC = 3$，$CD = 2$，$BM = m$，$AC = 2$，$AD = n - 2$，$OD = 3$，$S_{矩形OBDC}=3n$，$S_{△ OBM}=\frac{1}{2}mn$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×3×(2 - n)$（$n ＞ 2$时$S_{△ ACD}$为负），$3n-\frac{1}{2}mn-\frac{1}{2}×3×(n - 2)=6$，将$mn = 6$代入得$3n - 3-\frac{3}{2}n + 3 = 6$，$\frac{3}{2}n=6$，$n = 4$，$m=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，$BM=\frac{3}{2}$，$DM=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，所以$BM = DM$。
